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1、第 1 页 共 7 页 中考数学压轴题解题策略 线段和差最值的存在性问题解题策略 专题攻略 两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称 轴“河流”(如图 1) 三条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射” 问题,关键是指出两条对称轴“反射镜面”(如图 2) 两条线段差的最大值问题,一般根据三角形的两边之差小于第三边,当三点共线时, 两 条线段差的最大值就是第三边的长如图3,PA 与 PB 的差的最大值就是AB,此时点 P 在 AB 的延长线上,即P 解决线段和差的最值问题,有时候求函数的最值更方便,本讲不涉及函数最值问题 图 1
2、 图 2 图 3 例题解析 例?如图 1-1,抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点C,点 P 是 抛物线对称轴上的一个动点,如果P AC 的周长最小,求点P 的坐标 图 1-1 【解析】如图1-2,把抛物线的对称轴当作河流,点A 与点 B 对称,连结BC,那么在 PBC 中, PBPC 总是大于BC 的如图1-3,当点 P 落在 BC 上时, PBPC 最小,因 此 PAPC 最小,PAC 的周长也最小 由 yx22x3,可知 OBOC3,OD1所以 DBDP2,因此 P(1,2) 第 2 页 共 7 页 图 1-2 图 1-3 例? 如图, 抛物线 21 44
3、 2 yxx 与 y 轴交于点A,B 是 OA 的中点 一个动点G 从点 B 出发,先经过x 轴上的点M,再经过抛物线对称轴上的点N,然后返回到点A如果动点 G 走过的路程最短,请找出点M、 N 的位置,并求最短路程 图 2-1 【解析】如图2-2,按照“台球两次碰壁”的模型,作点A 关于抛 物线的对称轴对称的 点 A , 作点 B 关于 x 轴对称的点B, 连结 A B 与 x 轴交于点M, 与抛物线的对称轴交于点N 在 RtAAB中, AA8,AB6,所以 A B 10,即点 G 走过的最短路程为10根据 相似比可以计算得到OM 8 3 ,MH 4 3 ,NH1所以 M( 8 3 , 0)
4、,N(4, 1) 图 2-2 例?如图 3-1,抛物线 2 48 2 93 yxx 与 y 轴交于点 A,顶点为 B点 P 是 x 轴上的 一个动点,求线段PA 与 PB 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值,并求出 相应的点 P 的坐标 图 3-1 【解析】题目读起来像绕口令,其实就是求|PAPB|的最小值与最大值 由抛物线的解析式可以得到A(0, 2),B(3, 6)设 P(x, 0) 绝对值 |PAPB|的最小值当然是0 了,此时P APB,点 P 在 AB 的垂直平分线上(如 图 3-2) 解方程x222(x3)262,得 41 6 x此时 P 41 (,0) 6 在 PAB
5、 中,根据两边之差小于第三边,那么|PAPB|总是小于AB 了如图3-3,当 第 3 页 共 7 页 点 P 在 BA 的延长线上时,|PAPB|取得最大值,最大值AB5此时 P 3 (,0) 2 图 3-2 图 3-3 例?如图 4-1,菱形 ABCD 中,AB2,A120 ,点 P、Q、K 分别为线段BC、CD、 BD 上的 任意一点,求PKQK 的最小值 图 4-1 【解析】如图4-2,点 Q 关于直线BD 的对称点为Q,在 KPQ 中, PKQK 总是 大 于 PQ 的如图4-3,当点 K 落在 PQ上时, PKQK 的最小值为PQ如图 4-4, PQ的最 小值为 Q H,Q H 就是
6、菱形ABCD 的高, QH3 这道题目应用了两个典型的最值结论:两点之间,线段最短;垂线段最短 图 4-2 图 4-3 图 4-4 例?如图 5-1,菱形 ABCD 中, A60, AB3, A、 B 的半径分别为2 和 1, P、E、F 分别是边CD、 B 和 A 上的动点,求PEPF 的最小值 图 5-1 【解析】 E、F、P 三个点都不确定,怎么办?BE1,AF2 是确定的,那么我们可以 求 PBPA3 的最小值,先求PBPA 的最 小值(如图5-2) 如图 5-3,PBPA 的最小值为AB ,AB 6所以 PEPF 的最小值等于3 第 4 页 共 7 页 图 5-2 图 5-3 例?如
7、图 6-1, 已知 A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a1, 0),求 a 为何 值时,四边形 ABEF 周长最小?请说明理由 图 6-1 【解析】在四边形ABEF 中, AB、EF 为定值,求AEBF 的最小值,先把这两条线段 经过平移,使得两条线段有公共端点 如图 6-2,将线段BF 向左平移两个单位,得到线段ME 如图 6-3,作点 A 关于 x 轴的对称点A, MA与 x 轴的交点E,满足 AEME 最小 由 AOE BHF ,得 OEHF OAHB 解方程 6(2) 24 aa ,得 4 3 a 图 6-2 图 6-3 例?如图 7-1, ABC 中, ACB90,
8、 AC2,BC 1点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上,当点A 在 x 轴上运动时,点C 也随之在y 轴上运动 在整个运动过程中, 求点 B 到原点的最大距离 图 7-1 【解析】如果把OB 放在某一个三角形中,这个三角形的另外两条边的大小是确定的, 那么根据两边之和大于第三边,可知第三边OB 的最大值就是另两边的和 显然 OBC 是不符合条件的,因为OC 边的大小不确定 第 5 页 共 7 页 如图 7-2,如果选AC 的中点 D,那么 BD、OD 都是定值, OD1, BD2 在 OBD 中,总是有OBODBD 如图 7-3,当点 D 落在 OB 上时, OB 最大,最大值为21
9、 图 7-2 图 7-3 例?如图 8-1,已知 A( 2,0)、B(4, 0)、( 5,3 3)D设 F 为线段 BD 上一点(不含端 点) ,连结 AF,一动点M 从点 A 出发,沿线段AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F,再沿 线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到D 后停止当点F 的坐标是多少时,点M 在整个运 动过程 中用时最少? 图 8-1 【解析】 点 B(4, 0)、( 5,3 3)D的坐标隐含了DBA 30,不由得让我们联想到30 角所对的直角边等于斜边的一半 如果把动点M 在两条线段上的速度统一起来,问题就转化了 如图 8-2,在 Rt DEF 中, FD 2FE如果点M 沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运 动到点 D 时,那么点 M 沿线段 FE 以每秒 1 个单位的速度正好运动到点E因此当 AFFE 最小时,点M 用时最少 如图 8-3,当 AEDE 时, AFFE 最小,此时F ( 2,2 3) 图 8-2 图 8-3 例?如图 9-1,在 RtABC 中, C90, AC6,BC 8点 E 是 BC 边上的点, 连结 AE,过点 E 作 AE 的垂线交AB 边于点 F,求 AF 的最小值
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