中考数学专题提升(十三)以圆为背景的相似三角形的计算与证明.pdf
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1、第 1 页 共 9 页 专题提升 (十三)以圆为背景的相似三角形的计算与 证明 【经典母题】 如图 Z131,DB 为半圆的直径, A 为 BD 延长线上的一点, AC 切半圆于点 E,BCAC 于点 C,交半圆于点 F.已知 AC12,BC9,求 AO 的长 图 Z131经典母题答图 解:如答图,连结 OE,设O 的半径是 R,则 OEOBR. 在 RtACB 中,由勾股定理,得 ABAC 2BC215. AC 切半圆 O 于点 E,OEAC, OEA90C,OEBC, AEOACB, OE BC AO AB, R 9 15R 15 ,解得 R 45 8 , AOABOB15R75 8 .
2、【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形,从而得 到相似三角形,利用比例线段求AO 的长 【中考变形】 1如图 Z132,在 RtACB 中, ACB90,O 是 AC 边上的一点,以O 为圆心, OC 为半径的圆与 AB 相切于点 D,连结 OD. (1)求证: ADOACB; (2)若O 的半径为 1,求证: ACAD BC. 证明: (1)AB 是O 的切线, ODAB, CADO90, AA, 图 Z132 第 2 页 共 9 页 ADOACB; (2)由(1)知, ADOACB. AD AC OD BC , ADBCAC OD,OD1,ACAD BC. 22017 德
3、州如图 Z133,已知 RtABC,C90,D 为 BC 的中点,以 AC 为直径的 O 交 AB 于点 E. (1)求证:DE 是O 的切线; (2)若 AEEB12,BC6,求 AE 的长 图 Z133 中考变形 2 答图 解:(1)证明:如答图,连结OE,EC,AC 是O 的直径, AECBEC90, D 为 BC 的中点, EDDCBD, 12, OEOC, 34, 1324,即OEDACB, ACB90, OED90, DE 是O 的切线; (2)由(1)知BEC90, 在 RtBEC与 RtBCA中, BB,BECBCA, BECBCA, BE BC BC BA, BC 2BE B
4、A,AEEB12, 设 AEx,则 BE2x,BA3x, BC6,622x 3x,解得 x6,即 AE6. 3如图 Z134,已知 AB 是O 的直径, BCAB,连结 OC,弦 ADOC,直 线 CD 交 BA 的延长线于点 E. (1)求证:直线 CD 是O 的切线; (2)若 DE2BC,求 ADOC 的值 第 3 页 共 9 页 图 Z134 中考变形 3 答图 解:(1)证明:如答图,连结DO. ADOC, DAOCOB,ADOCOD. OAOD, DAOADO, CODCOB. 又COCO,ODOB, CODCOB(SAS ), CDOCBO90,即 ODCD. 又点 D 在O 上
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