中考数学二轮专题复习教案:专题一“最值问题”之专题复习——平面几何中的最值问题.pdf
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1、第 1 页 共 4 页 专题一:“最值问题” 专题复习平面几何中的最值问题 在平面几何中, 我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题,有时它和不等式联系在一 起,统称最值问题如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来,可以达到最经济、最节 约和最高效率 在平面几何问题中,当某几何元素在给定条件变动时,求某几何量(如线段的长度、图 形的面积、角的度数)的最大值或最小值问题,称为最值问题。 最值问题的 解决方法 通常有两种: (1) 应用几何性质: 三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边; 两点间线段最短; 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短; 定圆中的所有弦中,直径
2、最长。 (2)运用代数证法: 运用配方法求二次三项式的最值; 运用一元二次方程根的判别式。 例 1、A、B两点在直线l 的同侧,在直线L 上取一点P,使 PA+PB最小。 例 2、 已知 AB是半圆的直径,如果这个半圆是一块铁皮,ABDC是内接半圆的梯形,试问怎 样剪这个梯形,才能使梯形ABDC 的周长最大? 分析 : 本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长,可设半圆半径为R由于 AB CD ,必有 AC=BD 若设 CD=2y ,AC=x ,那么只须求梯形ABDC 的半周长u=x+y+R的最大值即可 例 3、如上右图是半圆与矩形结合而成的窗户,如果窗户的周长为8 米(m),怎样才能得出 最大面
3、积,使得窗户透光最好? 例 4、 已知 P点是半圆上一个动点,试问P在什么位置时,PA+PB最大? 分析因为 P点是半圆上的动点,当 P近于 A或 B时,显然 PA+PB渐小, 在极限状况 (P 与 A 重合时 ) 等于 AB 因此,猜想P在半圆弧中点时,PA+PB取最大值 例 5、如图,在直角ABC中, AD是斜边上的高,M ,N分别是 ABD , ACD的内心,直线 MN交 AB ,AC于 K,L求证: SABC2SAKL 例 6、 如图已知在正三角形ABC内( 包括边上 ) 有两点 P,Q 求证: PQ AB 证明:设过 P,Q的直线与AB ,AC分别交于P1,Q1,连结 P1C,显然,
4、 PQ P1Q1 因为 AQ1P1+P1Q1C=180,所以 AQ1P1和 P1Q1C中至少有一个直角或钝角 若 AQ1P190,则 PQ P1Q1 AP1AB ; 若 P1Q1C90,则 PQ P1Q1 P1C 同理,AP1C和 BP1C中也至少有一个直角或钝角,不妨设 BP1C90,则 P 1CBC=AB 对于 P,Q两点的其它位置也可作类似的讨论,因此,PQ AB 第 2 页 共 4 页 例 7、 设 ABC是边长为6 的正三角形,过顶点A引直线 l ,顶点 B,C到 l 的距离设为 d1,d2,求 d1+d2的最大值 解 如图,延长BA到 B,使 AB=AB ,连 BC则过顶点 A的直
5、线 l 或者与 BC相交,或 者与 BC相交以下分两种情况讨论 (1) 若 l 与 BC相交于 D,则 所以只有当 l BC时,取等号 (2) 若 l 与 BC相交于 D,则 所以上式只有l BC时,等号成立 例 8、 如图已知直角AOB中,直角顶点O在单位圆心上,斜边与单位圆相切,延长AO , BO分别与单位圆交于C,D试求四边形ABCD 面积的最小值 解 设 O与 AB相切于 E,有 OE=1 ,从而 即 AB2 当 AO=BO 时, AB有最小值2从而 所以,当AO=OB 时,四边形ABCD 面积的最小值为 专题复习几何的定值与最值 几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量
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