高三数学导数的应用复习资料.pdf
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1、1 高中数学经典的解题技巧和方法(导数小技巧) 首先, 解答导数及其应用这两个方面的问题时,先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题,同学们应 该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题: 1. 导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景。 (2)理解导数的几何意义。 2导数的运算 (1)能根据导数定义求函数的导数。 (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 (3)能求简单的复合函数(仅限于形如的复合函数)的导数。 3导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项 式
2、函数一般不超过三次)。 (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项 式函数一般不超过三次);会求闭区间了函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)。 4生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题 5定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念。 (2)了解微积分基本定理的含义。 好了,搞清楚了导数及其应用的基本内容之后,下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。 一、利用导数研究曲线的切线 考情聚焦:1 利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用,为近几年各省市高考命题的热点。 2常与函数
3、的图象、性质及解析几何知识交汇命题,多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式 出现,属容易题。 解题技巧 :1导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义是:曲线在点处的切线的斜率 (瞬时速度就是位移函数对时间的导数)。 2求曲线切线方程的步骤: (1)求出函数在点的导数,即曲线在点处切线的斜率; (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为。 注:当曲线在点处的切线平行于轴(此时导数不存在)时,由切线定义可 知,切线方程为; 当切点坐标未知时,应首先设出切点坐标,再求解。 231 (),yC Cyx yxyxyyx x 为常数 ()f axb ( )yf x ( )yf x 0 x(
4、 )fx( )yf x 00 (,()P xf x ( )s tt ( )yf x 0 xx( )yf x 00 (,()P xf x 00 (,()P xf x 000 ()()yyfxxx ( )yf x 00 (,()P xf xy 0 xx 2 例 1: (2010 海南高考理科T3)曲线在点处的切线方程为() (A)(B)(C)(D) 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义,以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数,解出斜率,然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】 选 A.因为, 所以,在点处的切线斜率, 所以,切线方程为,即,故选 A. 二、利用导数研究导
5、数的单调性 考情聚焦: 1导数是研究函数单调性有力的工具,近几年各省市高考中的单调性问题,几乎均用它解 决。 2常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题,且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式 结构,多以解答题形式考查,属中高档题目。 解题技巧 :利用导数研究函数单调性的一般步骤。 (1)确定函数的定义域; (2)求导数; (3)若求单调区间(或证明单调性),只需在函数的定义域内解(或证明)不等式0 或 0。 若已知的单调性,则转化为不等式0 或 0 在单调区间上恒成立问题求解。 例 2: (2010山东高考文科21)已知函数 (1)当时,求曲线在点处的切线方程; (2)当时,讨论的单调
6、性 . 【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力. 考查分类讨 论思想、数形结合思想和等价变换思想. 【思路点拨】 (1) 根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线的斜率; (2)直接利用 函数与导数的关系讨论函数的单调性, 同时应注意分类标准的选择. 【规范解答】(1)当所以 因此,, 即曲线 又所以曲线 2 x y x 1, 1 21yx21yx23yx22yx 2 2 (2) y x 1, 1 1 2 2 2 ( 12) x ky 12(1)yx21yx ( )fx ( )f x( )fx ( )fx ( )f x( )fx( )fx 1 ( )ln1
7、() a f xxaxaR x 1a( )yf x(2,(2)f 1 2 a( )f x ( )yfx(2,(2)f 1 ( )af x时,),0(,1 2 lnx x xx 2 2 2xx fx x 21f( )2(2) 1.yf xf在点( ,处的切线斜率为, ,22ln)2(f( )2(2) (ln 22)2, yf xfyx在点(,处的切线方程为 3 (2)因为, 所以, 令 (1)当时,所以 当时,0,此时,函数单调递减; 当时,1 时, 2x-20, 从而(x)0, 从而函数F(x)在 1,+ ) 是增函数。 又 F(1)=F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x). () 证明:
8、 (1) 若 (2)若 根据( 1) (2)得 由()可知,, 则=,所以, 从而. 因为 , 所以, 又由 ()可知函数f(x)在区间 (- , 1) 内是增函数,所以, 即2。 四、利用导数研究函数的图象 考情聚焦: 1该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值(最值)、零点及数形结合思想等重要 考点,而成为近几年高考命题专家的新宠。 2常与函数的其他性质、方程、 不等式、 解析几何知识交汇命题,且函数一般为含参数的高次、分式、 指、对数式结构,多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。 例 4: (2010福建高考理科20)( ) 已知函数 f(x)=x 3-x ,其图像记为曲线 C. (
9、i )求函数f(x)的单调区间; (ii)证明:若对于任意非零实数x1, 曲线 C与其在点P1(x1,f(x1)处的切线交于另一点P2(x2,f(x2). 曲线 C与其在点P2处的切线交于另一点P3 (x3 f(x 3) ) ,线段 P1P2,P2P3与曲线 C所围成封闭图形的面积 分别记为S1,S2,则为定值: ( )(1) x xx e ,11, ,11, 1 e 2x e 2 ( )(2) xx F xxexe 22 ( )(1)(1) xx Fxxee 2x-2 e10,0,F x e又所以 -1-1 ee0,所以 x1时,有 121212 (1)(1)0,),1.xxxxxx12由(
10、 )及f(xf(x则与矛盾。 121212 (1)(1)0,),.xxxxxx 12 由( )及f(xf(x得与矛盾。 1212 (1)(1)0,1,1.xxxx不妨设 ) 2 f(x) 2 g(x) 2 g(x) 2 f(2-x) 2 f(x) 2 f(2-x) 1 f(x) 2 f(2-x 2 1x 2 21x 1 x 2 2x 12 xx 1 2 s s 6 ()对于一般的三次函数g(x)=ax 3+bx2+cx+d(a 0),请给出类似于( )(ii)的正确命题,并予以 证明。 【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识,考查抽象概括、推理论证、运算求解能 力,考查函数与方
11、程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。 【思路点拨】第一步(1)利用导数求解函数的单调区间,(2)利用导数求解切线的斜率,写出切线方 程,并利用定积分求解及其比值;第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题,并 利用平移的方法进行证明。 【规范解答】( ) (i),令 得到,令有,因此原函数的 单调递增区间为和;单调递减区间为 ; (ii),因此过点的 切线方程为: ,即, 由得,所以或,故,进而 有,用代替,重复上面 的计算, 可得和,又,因此有 。 () 【命题】若对于任意函数的图像为曲线, 其类似于 (I)(ii)的命题为: 若对任意不等于的实数,曲线与其在点处的
12、切线交于另一点,曲线 与其在点处的切线交于另外一点,线段、与曲线所围成面积 为,则。 【证明】对于曲线,无论如何平移,其面积值是恒定的,所以这里仅考虑 的情形, 因此过点的切线方程为: 12 S ,S ) 13)(13(13)( 2 xxxxf0)( xf 3 1 3 1 xx或0)( xf 3 1 3 1 x ) 3 1 ,(), 3 1 () 3 1 , 3 1 ( 13)( 2 xxf),( 1 3 111 xxxP13)( 2 11 xxf 1 P 23 1111 31yxxxxx 23 11 312yxxx 23 11 3 312yxxx yxx 323 11 312xxxxx 1
13、xx 1 2xx 21 2xx 1 1 2 323 111 32 x x Sxx xxdx 142234 111 1 2 1327 2 424 x xx xx xx x 2 x 1 x 32 2xx 4 22 27 4 Sx 21 20xx 4 21 27 16 0 4 Sx 16 1 2 1 S S dcxbxaxxg 23 )(C a b 3 1 x)(,( 111 xgxP)(,( 222 xgxP C)(,( 222 xgxP)(,( 333 xgxP 21P P 32P PC 21 SS、 16 1 2 1 S S dcxbxaxy 23 cxbxaxy 23 cbxaxy23 2
14、),( 1 2 1 3 111 cxbxaxxPcbxaxxf 1 2 11 23)( 1 P 7 ,联立,得到: , 化简:得到 从而所以同样运用 (i) 中方法 便可以得到 所以。 【方法技巧】函数导数的内容在历届高考中主要切线方程、导数的计算,利用导数判断函数单调性、极 值、最值等问题,试题还与不等式、三角函数、数列、立几、解几等知识的联系,类型有交点个数、恒 成立问题等 , 其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法,主 要考查导数的工具性作用。 例 5 (2010江西高考理科)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出 水面,记时刻五角星露
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