高三数学高考一轮复习资料:函数与方程.pdf
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1、1 函数与方程 最新考纲 1结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程 根的存在性及根的个数 2根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解. 知 识 梳 理 1函数的零点 (1)函数的零点的概念 对于函数 yf(x),把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点 (2)函数的零点与方程的根的关系 方程 f(x)0 有实数根 ? 函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点 ? 函数 yf(x)有零点 (3)零点存在性定理 如果函数 yf(x)满足:在闭区间 a,b上连续; f(a) f(b)0;则函数 yf(x) 在(a,b)上存在零点,即存在c(a,b)
2、,使得 f(c)0,这个 c 也就是方程 f(x) 0 的根 2二分法 对于在区间 a, b上连续不断且 f(a) f(b)0 的函数 yf(x), 通过不断地把函数f(x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近 似值的方法叫做二分法 辨 析 感 悟 函数零点概念的理解及应用 (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点 () (2)对于定义域内的两个变量x1,x2,若 f(x1)f(x2)0,则函数 f(x)有零点 () (3)若 f(x)在区间 a, b上连续不断,且 f(a)f(b)0, 则 f(x)在(a, b)内没有零点() (4)若函数 yf(x
3、)在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)f(b)0, 则函数 yf(x)在区间 (a,b)内至少有一个零点 () (5)( 天津卷改编 )函数 f(x)2 x|log 0.5x|1 的零点个数为 2.() (6)( 广州模拟改编 )已知函数 f(x)x 2xa 在区间 (0,1)上有零点,则实数 a 的取 2 值范围是 (2,0)() 感悟 提升 1一点提醒函数的零点不是点,是方程f(x)0 的根,如 (1) 2 三个防范一是严格把握零点存在性定理的条件,如(2)中没有强调连续曲线; 二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零 点的充分条件,而不是必要
4、条件,如(3); 三是函数 f(x)在a,b上单调且 f(a)f(b)0,则 f(x)在a,b上只有一个零点 . 考点一函数零点的求解与判断 【例 1】 (1)设 x0是方程 ln xx4 的解,则 x0属于() A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) (2)( 郑州一模 )函数 f(x) ln xx 22x,x0, 4x1,x0 的零点个数是 _ 解析(1)令 f(x)ln xx4, 则 f(1)30,f(2)ln 220, f(3)ln 310, x0(2,3) (2)当 x0 时,令 g(x)ln x,h(x)x 22x. 画出 g(x)与 h(x)的图象如图: 故当 x
5、0 时,f(x)有 2 个零点 当 x0 时,由 4x10,得 x 1 4, 综上函数 f(x)的零点个数为 3. 答案(1)C(2)3 规律方法(1)直接求零点:令 f(x)0,如果能求出解, 则有几个解就有几个零点 3 (2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且 f(a) f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性 )才能确定函数有 多少个零点 (3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看 其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点 【训练 1】 (1)函数 f(x)2xx32 在(0,1)内的零点个数是 ()
6、 A0 B1 C2 D3 (2)( 重庆卷 )若 abc,则函数 f(x)(xa) (xb)(xb)(xc)(xc) (xa) 的两个零点分别位于区间() A(a,b)和(b,c)内B(, a)和(a,b)内 C(b,c)和(c, )内D(, a)和(c, )内 解析(1)因为 f(x)2 xln 23x20,所以函数 f(x)2xx32 在(0,1)上递增, 且 f(0)10210,f(1)21210,所以有 1 个零点 (2)由于 a0,f(b)(bc)(ba)0.因此有 f(a) f(b)0) (1)若 yg(x)m有零点,求 m的取值范围; (2)确定 m的取值范围,使得g(x)f(x
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