高三数学高考一轮复习资料:函数的图象.pdf
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1、1 函数的图象 最新考纲 1在实际情境中,会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数 2会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式的解的 问题. 知 识 梳 理 1函数的图象及作法 2图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 yf(x) 关于x轴对称 yf(x); yf(x) 关于y轴对称 yf(x); 2 yf(x) 关于原点对称 yf(x); yax(a0 且 a1) 关于yx对称 ylogax(a0 且 a1) (3)翻折变换 yf(x) 保留x轴上方图象 将x轴下方图象翻折上去 y|f(x)|. yf(x) 保留y轴右边图象,并作其 关于y轴对称的图象 yf(
2、|x|) (4)伸缩变换 yf(x) 纵坐标伸长 a1 或缩短 0a1 为原来 的a倍,横坐标不变 y af(x)(a0) yf(x) 横坐标伸长 0a1 或缩短 a1 为原来 的 1 a倍,纵坐标不变 yf(ax)(a0) 辨 析 感 悟 1图象变换问题 (1)为了得到函数 ylgx3 10 的图象,只需把函数 ylg x 的图象上所有的点向左平 移 3 个单位长度,再向下平移1 个单位长度 () (2)若函数 yf(x)满足 f(x1)f(x1), 则函数 f(x)的图象关于直线 x1对称 () (3)当 x(0, )时,函数 y|f(x)|与 yf(|x|)的图象相同 () (4)函数
3、y2 |x1| 的图象关于直线x1 对称() (5)将函数 yf(x)的图象向右平移1 个单位得到函数 yf(x1)的图象 () 2图象应用问题 (6)( 汉中模拟改编 )方程 |x|cos x 在(, )内有且仅有两个根 (7)( 洛阳调研改编 )二次函数 yax 2bxc(a0)的图象如图所示, 则点 P a,c b 所在的象限为第二象限() 3 感悟 提升 三个防范一是函数图象中左、 右平移变换可记口诀为 “左加右减 ”,但要注意 加、减指的是自变量,如(5); 二是注意含绝对值符号的函数的对称性,如yf(|x|)与 y|f(x)|的图象是不同的, 如(3); 三是混淆条件 “f(x1)
4、f(x1)”与“f(x1)f(1x)”的区别,前者告诉周期 为 2,后者告诉图象关于直线x1 对称,如 (2). 4 考点一函数图象的辨识 【例 1】 ( 山东卷 )函数 yxcos xsin x 的图象大致为 () 解析函数 yxcos xsin x 在 x时为负,排除 A;易知函数为奇函数,图象 关于原点对称,排除 B;再比较 C,D,不难发现当 x 取接近于 0 的正数时 y0, 排除 C. 答案D 规律方法函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的 左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置(2)从函数的单调性,判断图 象的变化趋势 (3)从函数的奇偶性,判断图象
5、的对称性(4)从函数的特征点, 排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项 【训练 1】 (1)( 潍坊模拟 )函数 yxsin x在 , 上的图象是 () (2)函数 yxcos x 的大致图象是 () 解析(1)容易判断函数 yxsin x 为偶函数,可排除D.当 0x 2时,yxsin x 0,当 x 时,y0,可排除 B,C,故选 A. (2)y1sin x0,函数 yxcos x 为增函数,排除 C.又当 x0 时, y 1,排除 A,当 x 2时,y 2,排除 D,故选 B. 答案(1)A(2)B 考点二函数图象的变换 5 【例 2】函数 f(x) 3 x x1 , log1 3
6、x x1 , 则 yf(1x)的图象是 () 解析画出 yf(x)的图象,再作其关于y 轴对称的图象,得到yf(x)的图象, 再将所得图象向右平移1 个单位,得到 yf(x1)f(x1)的图象 答案C 规律方法作图象平移时,要注意不要弄错平移的方向,必要时,取特殊点进行 验证;平移变换只改变图象的位置,不改变图象的形状 【训练 2】 ( 江南十校联考 )函数 ylog2(|x|1)的图象大致是 () 解析当 x0 时,ylog2(x1),先画出 ylog2x 的图象,再将图象向左平移1 个单位,最后作出关于y 轴对称的图象,得与之相符的图象为B. 答案B 考点三函数图象的应用 【例 3】 (1
7、)已知函数 yf(x)的周期为 2,当 x1,1时,f(x)x2,那么函数 y f(x)的图象与函数 y|lg x|的图象的交点共有 () A10 个B9 个C8 个D1 个 (2)直线 y1 与曲线 yx 2|x|a有四个交点,则 a 的取值范围是 _ 审题路线(1)画出 x1,1时,f(x)x2的图象 ? 根据周期为 2 画出 x(1, )时的函数图象 ? 画出函数 y|lg x|的图象 注意x10时的情形 观察图象,得出 交点个数 解析(1)根据 f(x)的性质及 f(x)在1,1上的解析式可作图如下 可验证当 x10时,y|lg 10|1;x10 时,|lg x|1. 6 因此结合图象
8、及数据特点知yf(x)与 y|lg x|的图象交点共有10个 (2)y x 2xa,x0, x 2xa,x0, 作出图象,如图所示 此曲线与 y 轴交于 (0,a)点,最小值为 a1 4,要使 y1 与其有四个交点,只需 a 1 41a, 1a 5 4. 答案(1)A(2) 1,5 4 规律方法(1)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题,如判断方程是否 有解,有多少个解数形结合是常用的思想方法 (2)利用图象,可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质. 【训练 3】已知函数 f(x)|x 24x3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 Mm|使
9、方程 f(x)m有四个不相等的实根 解f(x) x2 21,x , 13, , x2 21,x 1,3 , 作出函数图象如图 (1)函数的增区间为 1,2,3, );函数的减区间为 (, 1,2,3 (2)在同一坐标系中作出yf(x)和 ym 的图象,使两函数图象有四个不同的交点 (如图)由图知 0m1, 7 M m|0m1 1掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技 巧,来帮助我们简化作图过程 2识图的要点:重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊 点(与 x、y轴的交点,最高、最低点等) 3识图的方法 (1)定性分析法:对函数进行定性分析,从而得出图
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