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1、1 圆的方程 最新考纲 1掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程 2初步了解用代数方法处理几何问题. 知 识 梳 理 1圆的定义和圆的方程 定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准(xa)2(yb)2r2(r0) 圆心 C(a,b) 半径为 r 一般x2y2DxEyF0 充要条件: D2E24F0 圆心坐标: D 2 , E 2 半径 r 2.点与圆的位置关系 (1)确定方法:比较点与圆心的距离与半径的大小关系 (2)三种关系: 圆的标准方程 (xa) 2(yb)2r2,点 M(x 0,y0) (x0a) 2(y 0b) 2r2? 点在圆上; (x0a) 2(y
2、0b) 2r2? 点在圆外; (x0a) 2(y 0b) 2 r 2? 点在圆内 辨 析 感 悟 1对圆的方程的理解 (1)确定圆的几何要素是圆心与半径() (2)方程 x 2y2a2 表示半径为 a 的圆 () (3)方程 x 2y24mx2y5m0 表示圆 () 2 (4)( 江西卷改编 )若圆 C 经过坐标原点和点 (4,0)且与直线 y1 相切,则圆 C 的方 程是(x2)2 y3 2 225 4 . () 2对点与圆的位置关系的认识 (5)若点 M(x0, y0)在圆 x 2y2DxEyF0 外, 则 x2 0y 2 0Dx0Ey0F0.() (6)已知圆的方程为 x 2y22y0,
3、过点 A(1,2)作该圆的切线只有一条 () 感悟 提升 1一个性质圆心在任一弦的中垂线上,如(4)中可设圆心为 (2,b) 2三个防范一是含字母的圆的标准方程中注意字母的正负号,如(2)中半径应 为|a|; 二是注意一个二元二次方程表示圆时的充要条件,如(3); 三是过一定点,求圆的切线时,首先判断点与圆的位置关系若点在圆外,有两 个结果,若只求出一个,应该考虑切线斜率不存在的情况,如(6). 考点一求圆的方程 【例 1】 根据下列条件,求圆的方程 (1)求过 P(4,2),Q(1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为4 3的圆的方程 (2)已知圆的半径为10,圆心在直线 y2x 上,圆被
4、直线 xy0 截得的弦长为 4 2. 解(1)设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0) 将 P,Q 点的坐标分别代入得 4D2EF20, D3EF10, 令 x0,由得 y2EyF0. 由已知 |y1y2|4 3,其中 y1,y2是方程的两根, 所以(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48. 解、组成的方程组得 D2, E0, F12 或 D10, E8, F4. 故所求圆的方程为x2y22x120 或 x2y210x8y40. 3 (2)法一设圆的方程为 (xa) 2(yb)210. 由圆心在直线 y2x 上,得 b2a. 由圆在直线 xy0 上截得的弦长为 4 2,
5、将 yx 代入(xa)2(yb)210, 整理得 2x22(ab)xa2b2100. 由弦长公式得2ab 22 a2b210 4 2, 化简得 ab 2. 解、得 a2,b4 或 a2,b4. 故所求圆的方程为 (x2)2(y4)210 或(x2)2(y4)210. 法二根据图形的几何性质: 半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形 如图, 由勾股定理,可得弦心距 dr 2 4 2 2 2 1082. 又弦心距等于圆心 (a,b)到直线 xy0 的距离, 所以 d|ab| 2 ,即 |ab| 2 2. 又已知 b2a. 解、得 a2,b4 或 a2,b4. 故所求圆的方程是 (x2) 2(y4)
6、210 或(x2)2(y4)210. 规律方法求圆的方程,主要有两种方法: (1)几何法:具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如:圆心 在过切点且与切线垂直的直线上;圆心在任意弦的中垂线上;两圆相切时, 切点与两圆心三点共线 (2)待定系数法:根据条件设出圆的方程,再由题目给出的条件,列出等式,求 出相关量一般地,与圆心和半径有关,选择标准式,否则,选择一般式不论 是哪种形式,都要确定三个独立参数,所以应该有三个独立等式 【训练 1】 (1)( 济南模拟 )若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线4x 3y0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方程是() 4 A(x2) 2(y1
7、)21 B(x2)2(y1)21 C(x2) 2(y1)21 D(x3)2(y1)21 (2)已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则 C 的方程为 _ 解析(1)由于圆心在第一象限且与x 轴相切,故设圆心为 (a,1),又由圆与直线 4x3y0 相切,得 |4a3| 5 1,解得 a2 或 1 2(舍去)故圆的标准方程为 (x 2) 2(y1)21.故选 A. (2)依题意设所求圆的方程为(xa) 2y2r2,将 A,B 点坐标分别代入方程得 5a 21r2, 1a 29r2, 解得 a2, r 210. 所以所求圆的方程为 (x2)2y210. 答案(1)A(
8、2)(x2)2y 210 考点二与圆有关的最值问题 【例 2】 已知实数 x,y 满足方程 x2y24x10. (1)求 y x的最大值和最小值; (2)求 yx 的最大值和最小值; (3)求 x 2y2 的最大值和最小值 解原方程可化为 (x2)2y23,表示以 (2,0)为圆心,3为半径的圆 (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, 所以设 y xk,即 ykx. 当直线 ykx 与圆相切时,斜率k 取最大值或最小值,此时 |2k0| k 21 3,解得 k 3(如图 1) 所以 y x 的最大值为3,最小值为3. 5 (2)yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距,当直线
9、yxb 与圆相切时, 纵截距 b 取得最大值或最小值,此时 |20b| 2 3,解得 b2 6(如图 2) 所以 yx 的最大值为 26,最小值为 26. (3)x 2y2 表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知, 在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图 3) 又圆心到原点的距离为20 2 0022, 所以 x 2y2 的最大值是 (23) 274 3,x2y2 的最小值是 (23) 274 3. 规律方法与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型: (1)形如 yb xa形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; (2)形如 taxby 形式的最值问题,可转化为
10、动直线截距的最值问题; (3)形如(xa) 2(yb)2 形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的 最值问题 【训练 2】 ( 金华十校联考 )已知 P 是直线 l:3x4y110 上的动点, PA,PB 是圆 x2y22x2y10 的两条切线, C 是圆心,那么四边形PACB 面积的最 小值是 () A.2 B2 2 C. 3 D2 3 解析圆的标准方程为 (x1)2(y1)21,圆心为 C(1,1),半径为 r1,根据 对称性可知,四边形 PACB 的面积为 2SAPC21 2|PA|r|PA| |PC| 2r2,要使 四边形 PACB 的面积最小,则只需 |PC|最小,最小时为圆
11、心到直线l:3x4y11 0 的 距 离 d |3411| 3 2 42 10 5 2.所 以 四 边 形 PACB 面 积的 最小 值为 |PC| 2 minr 2 413. 答案C 考点三与圆有关的轨迹问题 6 【例 3】 在平面直角坐标系xOy中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为2 2,在 y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 yx 的距离为 2 2 ,求圆 P 的方程 审题路线(1)设圆心 P 为(x,y),半径为 r? 由圆的几何性质得方程组? 消去 r 可得点 P 的轨迹方程 (2)设点 P(x0,y0)? 由点到直线的距离公式可
12、得一方程? 点 P 在第(1)问所求曲线 上可得一方程 ? 以上两方程联立可解得P 点坐标与圆 P 的半径 ? 得到圆 P 的方 程 解(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 由题设 y22r2,x23r 2.从而 y22x23. 故 P 点的轨迹方程为 y 2x21. (2)设 P(x0,y0),由已知得 |x0y0| 2 2 2 . 又 P 在双曲线 y2x21 上,从而得 |x0y0|1, y 2 0x 2 01. 由 x0y01, y 2 0x 2 01 得 x00, y01. 此时,圆 P 半径 r3. 由 x0y01, y 2 0x 2 01 得 x00, y01. 此时,
13、圆 P 的半径 r3. 故圆 P 的方程为 x2(y1)23 或 x2(y1)23. 规律方法求与圆有关的轨迹方程时,常用以下方法: (1)直接法:根据题设条件直接列出方程;(2)定义法:根据圆的定义写出方程; (3)几何法:利用圆的性质列方程;(4)代入法:找出要求点与已知点的关系,代 入已知点满足的关系式 【训练 3】 已知直角三角形ABC的斜边为 AB,且 A(1,0),B(3,0),求: (1)直角顶点 C 的轨迹方程; (2)直角边 BC 中点 M 的轨迹方程 解(1)法一设顶点 C(x,y), 因为 ACBC,且 A,B,C 三点不共线,所以 x3 7 且 x1. 又 kAC y
14、x1,k BC y x3,且 k AC kBC1, 所以 y x1 y x31,化简得 x 2y22x30. 因此,直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(x3 且 x1) 法二设 AB 中点为 D, 由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知, |CD| 1 2|AB|2, 由圆的定义知,动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心,2 为半径长的圆 (由 于 A,B,C 三点不共线,所以应除去与x 轴的交点 )所以直角顶点 C 的轨迹方 程为(x1)2y24(x3 且 x1) (2)设点 M(x,y),点 C(x0,y0),因为 B(3,0),M 是线段 BC 的中点,由中点坐标
15、 公式得 xx 03 2 (x3 且 x1),y y00 2 ,于是有 x02x3,y02y. 由(1)知,点 C 在圆(x1)2y24(x3 且 x1)上运动,将 x0,y0代入该方程 得(2x4)2(2y)24, 即(x2)2y21. 因此动点 M 的轨迹方程为 (x2) 2y21(x3 且 x1) 1确定一个圆的方程,需要三个独立条件“选形式,定参数 ”是求圆的方程 的基本方法, 即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式,进而确定其中的三个参 数,同时注意利用几何法求圆的方程时,要充分利用圆的性质 2解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算 3求圆的方程时,一般考虑待定系
16、数法,但如果能借助圆的一些几何性质进行 解题,不仅能使解题思路简化,而且还能减少计算 量如弦长问题,可借助垂径定理构造直角三角形,利用勾股定理解题 方法优化 7利用几何性质巧设方程求半径 【典例】 在平面直角坐标系xOy中,曲线 yx26x1 与坐标轴的交点都在圆 8 C 上,求圆 C 的方程 一般解法 (代数法 )曲线 yx 26x1 与 y 轴的交点为 (0,1),与 x 轴交点是 (3 2 2,0),(32 2,0), 设 圆 的 方 程 是x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0) , 则 有 1EF0, 32 2 2D 32 2 F0, 32 2 2D 32 2 F0,
17、解得 D6, E2, F1, 故圆的方程是 x 2y26x2y10. 优美解法 (几何法 )曲线 yx 26x1 与 y 轴的交点为 (0,1),与 x 轴的交点为 (3 2 2,0),(322,0) 故可设 C 的圆心为 (3,t),则有 3 2(t1)2(2 2)2t2,解得 t1.则圆 C 的半 径为32 t1 23, 所以圆 C 的方程为 (x3)2(y1)29. 反思感悟 一般解法 (代数法 ):可以求出曲线yx 26x1 与坐标轴的三个交 点,设圆的方程为一般式,代入点的坐标求解析式 优美解法 (几何法 ):利用圆的性质,知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线 上,从而设圆的方程为
18、标准式,简化计算显然几何法比代数法的计算量小,因 此平时训练多采用几何法解题 【自主体验】 1圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,与y 轴相切,与 x轴相交于点 A, B,若|AB|3,则该圆的标准方程是 _ 解析根据|AB|3,可得圆心到 x 轴的距离为 1 2,故圆心坐标为 1,1 2 ,故所求 圆的标准方程为 (x1) 2 y1 2 21. 答案(x1) 2 y1 2 21 2已知圆 C 的圆心与抛物线 y 24x 的焦点关于直线 yx 对称,直线 4x3y2 0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且 |AB|6,则圆 C 的方程为 _ 解析设所求圆的半径是r,依题意得,抛物线y24x的
19、焦点坐标是 (1,0),则圆 9 C 的圆心坐标是 (0,1), 圆心到直线 4x3y20 的距离 d|40312| 4 2 32 1, 则 r2d2 |AB| 2 210,因此圆 C 的方程是 x2(y1)210. 答案x 2(y1)210 基础巩固题组 (建议用时: 40 分钟) 一、选择题 1( 长春模拟 )已知点 A(1,1),B(1,1),则以线段 AB 为直径的圆的方程是 () Ax 2y22 Bx2y2 2 Cx 2y21 Dx2y24 解析AB 的中点坐标为 (0,0), |AB|1 1 2 1122 2, 圆的方程为 x 2y22. 答案A 2若圆 x 2y22ax3by0
20、的圆心位于第三象限,那么直线 xayb0 一定 不经过 () A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 解析圆 x2y22ax3by0 的圆心为 a, 3 2b , 则 a0,b0.直线 y 1 ax b a,k 1 a0, b a0,直线不经过第四象限 答案D 3 ( 银川模拟 )圆心在 y 轴上且过点 (3,1)的圆与 x 轴相切,则该圆的方程是 () Ax 2y210y0 Bx2y210y0 Cx 2y210x0 Dx2y210x0 10 解析设圆心为 (0,b),半径为 r,则 r|b|, 圆的方程为 x2(yb)2b2,点 (3,1)在圆上, 9(1b) 2b2,解得 b5, 圆的
21、方程为 x2y210y0. 答案B 4两条直线 yx2a,y2xa 的交点 P 在圆(x1) 2(y1)24 的内部,则 实数 a 的取值范围是 () A. 1 5,1 B. , 1 5 (1, ) C.1 5,1 D. , 1 5 1, ) 解析联立 yx2a, y2xa, 解得 P(a,3a), (a1)2(3a1)24, 1 5a1,故应选 A. 答案A 5( 东营模拟 )点 P(4,2)与圆 x 2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是 () A(x2) 2(y1)21 B(x2)2(y1)24 C(x4) 2(y2)24 D(x2)2(y1)21 解析设圆上任一点为 Q(x0,y0)
22、,PQ 的中点为 M(x,y),则 x4x 0 2 , y2y 0 2 , 解 得 x02x4, y02y2. 因为点 Q 在圆 x 2y24 上,所以 x2 0y 2 04,即(2x4) 2(2y 2) 24, 化简得 (x2) 2(y1)21. 答案A 二、填空题 6已知点 M(1,0)是圆 C:x 2y24x2y0 内的一点,那么过点 M 的最短弦所 在直线的方程是 _ 11 解析过点 M 的最短弦与 CM 垂直,圆 C:x 2y24x2y0 的圆心为 C(2,1), kCM10 211,最短弦所在直线的方程为 y01(x1),即 xy10. 答案xy10 7( 南京调研 )已知直线 l
23、:xy40 与圆 C:(x1) 2(y1)22,则圆 C 上 各点到 l 的距离的最小值为 _ 解析由题意得 C 上各点到直线 l 的距离的最小值等于圆心 (1,1)到直线 l 的距离 减去半径,即 |114| 2 22. 答案2 8若圆 x 2(y1)21 上任意一点 (x,y)都使不等式 xym0 恒成立,则实 数 m的取值范围是 _ 解析据题意圆 x 2(y1)21 上所有的点都在直线 xym0 的右上方,所 以有 1m0, |1m| 2 1. 解得 m12.故 m 的取值范围是 12,) 答案1 2,) 三、解答题 9求适合下列条件的圆的方程: (1)圆心在直线 y4x上,且与直线 l
24、:xy10 相切于点 P(3,2); (2)过三点 A(1,12),B(7,10),C(9,2) 解(1)法一设圆的标准方程为 (xa) 2(yb)2r2, 则有 b4a, 3a 2 2b2r2, |ab1| 2 r, 解得 a1,b4,r2 2. 圆的方程为 (x1)2(y4)28. 法二过切点且与 xy10 垂直的直线为 y2x3,与 y4x 联立可求 得圆心为 (1,4) 12 半径 r13 2 4222 2, 所求圆的方程为 (x1)2(y4)28. (2)法一设圆的一般方程为x 2y2DxEyF0(D2E24F0), 则 1144D12EF0, 491007D10EF0, 8149D
25、2EF0. 解得 D2,E4,F95. 所求圆的方程为x2y22x4y950. 法二由 A(1,12),B(7,10), 得 AB 的中点坐标为 (4,11),kAB 1 3, 则 AB 的垂直平分线方程为3xy10. 同理得 AC 的垂直平分线方程为xy30. 联立 3xy10, xy30 得 x1, y2, 即圆心坐标为 (1,2),半径 r11 2 212210. 所求圆的方程为 (x1) 2(y2)2100. 10设定点 M(3,4),动点 N 在圆 x 2y24 上运动,以 OM,ON 为邻边作平 行四边形 MONP,求点 P 的轨迹 解如图所示,设 P(x,y),N(x0,y0),
26、则线段 OP 的中点坐标为 x 2, y 2 ,线段 MN 的中点坐标为 x03 2 ,y 04 2 .由于平行四边形的对角线互相平 分, 故 x 2 x03 2 ,y 2 y04 2 . 从而 x0x3, y0y4. N(x3,y4)在圆上, 故(x3)2(y4)24. 因此所求轨迹为圆: (x3) 2(y4)24, 13 但应除去两点9 5, 12 5 和 21 5 ,28 5 (点 P 在直线 OM 上时的情况 ) 能力提升题组 (建议用时: 25 分钟) 一、选择题 1( 东莞调研 )已知圆 C:x 2y2mx40 上存在两点关于直线 xy30 对 称,则实数 m的值为 () A8 B
27、4 C6 D无法确定 解析圆上存在关于直线xy30 对称的两点,则xy30 过圆心 m 2 ,0 ,即 m 230,m6. 答案C 2( 烟台二模 )已知抛物线 y 22px(p0)上一点 M(1,m)(m0)到其焦点 F 的距 离为 5,则以 M 为圆心且与 y 轴相切的圆的方程为 () A(x1) 2(y4)21 B(x1) 2(y4)21 C(x1) 2(y4)216 D(x1) 2(y4)216 解析抛物线的焦点为 F p 2,0 ,准线方程为 x p 2,所以 |MF|1 p 2 5, 解得 p8,即抛物线方程为 y 216x,又 m216,m0,所以 m4,即 M(1,4), 所以
28、半径为 1,所以圆的方程为 (x1) 2(y4)21. 答案A 二、填空题 3已知平面区域 x0, y0, x2y40 恰好被面积最小的圆C:(xa)2(yb)2r 2 及其内部所覆盖,则圆C 的方程为 _ 解析由题意知, 此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形 14 及其内部,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,又OPQ 为直角三角形, 故其圆心为斜边 PQ 的中点 (2,1),半径为 |PQ| 2 5,圆 C 的方程为 (x2)2(y 1)25. 答案(x2) 2(y1)25 三、解答题 4已知圆 x 2y2x6ym0 和直线 x2y30 交于 P,Q
29、 两点,且 OP OQ(O 为坐标原点 ),求该圆的圆心坐标及半径 解法一将 x32y, 代入方程 x2y2x6ym0, 得 5y220y12m0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 y1,y2满足条件: y1y24,y1y212m 5 . OPOQ,x1x2y1y20. 而 x132y1,x232y2. x1x296(y1y2)4y1y2274m 5 . 故 274m 5 12m 5 0,解得 m3, 此时 (20) 245(12m)20(8m)0,圆心坐标为 1 2,3 ,半径 r 5 2. 法二如图所示,设弦PQ 中点为M,且圆 x2y2x6ym0 的圆心为 O1 1 2,3 , 设 M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2), 由法一知, y1y24,x1x22, x0x 1x2 2 1,y0y 1y2 2 2. 即 M 的坐标为 (1,2) 15 则以 PQ 为直径的圆可设为 (x1) 2 (y2) 2r2 1. OPOQ,点 O 在以 PQ 为直径的圆上 (01)2(02)2r 2 1,即 r 2 15,|MQ| 2r2 1. 在 RtO1MQ 中,|O1Q| 2|O 1M| 2|MQ|2. 1 6 24m 4 1 21 2(32)25. m3,圆心坐标为 1 2,3 ,半径 r 5 2.
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