高三数学高考一轮复习资料:定积分与微积分基本定理.pdf
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1、1 定积分与微积分基本定理 最新考纲 1了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念 2了解微积分基本定理的含义. 知 识 梳 理 1定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数 f(x)在区间 a,b上连续,用分点将区间 a,b等分成 n 个小区间,在每 个小区间上任取一点i(i1,2,, , n),作和式 i1 n f(i) x i1 n ba n f(i),当 n时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数 叫做函数 f(x)在区间 a, b上的定积分,记作 a bf(x)dx, 即 a bf(x)dx i1 n ba n f(i) (2)定积分的几何意义 当 f(x
2、)0 时,定积分 a bf(x)dx 表示由直线 xa,xb(ab),y0和曲线 y f(x)所围成的曲边梯形的面积(图 1) 当 f(x)在区间 a,b上有正有负时,如图2 所示,则定积分 a bf(x)dx 表示介于 x 2 轴曲线 yf(x)以及直线 xa,xb(ab)之间各部分曲边梯形面积的代数和, 即 a bf(x)dxA1A3A2. 2定积分的性质 (1) a bkf(x)dxk a bf(x)dx(k为常数 ) (2) a bf1(x) f2(x)dx a bf1(x)dx a bf2(x)dx. (3) a bf(x)dx a cf(x)dx c bf(x)dx(其中 a0)所
3、围成的曲边图形的面积为 4 3,则 k_. 审题路线(1)先求二次函数 f(x)的解析式, 再利用定积分的几何意义求面积(2) 先求交点坐标,确定积分区间,再利用定积分的几何意义求面积 解析(1)设 f(x)a(x1)(x1)(a0)所围成的曲边梯形的面积为 0 k(kxx2)dx k 2x 21 3x 3 k 0 k 3 2 1 3k 34 3,即 k 38,k2. 答案(1)B(2)2 规律方法利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤:(1)画出图形; (2)确定被积 函数; (3)确定积分的上、下限,并求出交点坐标;(4)运用微积分基本定理计算 定积分,求出平面图形的面积 求解时,注意要把定
4、积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开:定积 分是一个数值 (极限值 ),可为正,可为负,也可为零,而平面图形的面积在一般 意义上总为正 【训练 2】 (1)设 a0,若曲线 y x与直线 xa,y0 所围成封闭图形的面积 为 a2,则 a_. 6 (2)曲线 yx,y2x,y 1 3x 所围成图形的面积为 _ 解析(1)S 0 a xdx2 3x 2 3 a 0 2 3a 2 3 a2,a4 9. (2)由 yx, y2x, 得交点 A(1,1);由 y2x, y 1 3x, 得交点 B(3,1) 故所求面积 S 0 1 x1 3x dx 1 3 2x1 3x dx xx 2 2 3
5、 6 1 3 2 1 0 2x1 3x 2 3 1 2 3 1 6 4 3 13 6 . 答案(1)4 9 (2)13 6 考点三定积分在物理中的应用 【例 3】 ( 湖北卷 )一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以 速度 v(t)73t 25 1t(t 的单位: s,v 的单位: m/s)行驶至停止在此期间汽车 继续行驶的距离 (单位: m)是() A125ln 5 B825ln 11 3 C425ln 5 D450ln 2 解析令 v(t)0,得 t4 或 t 8 3(舍去), 汽车行驶距离 s 0 4 73t 25 1t dt 7t3 2t 225ln(1t) 4 0 7
6、282425ln 5425ln 5. 答案C 规律方法(1)利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时,关键是求出 物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系,确定好积分区 间,得到积分表达式 (2)定积分在物理方面的应用中要注意各种具体问题中含有的物理意义防止实 际问题的物理意义不明确,导致把物理问题转化为定积分时出现错误 【训练 3】设变力 F(x)作用在质点 M 上, 使 M 沿 x 轴正向从 x1 运动到 x10, 已知 F(x)x21 且方向和x 轴正向相同,则变力F(x)对质点 M 所做的功为 _J(x的单位: m,力的单位: N) 解析由题意知变力 F(x)对质点
7、 M 所做的功为 1 3x 3x 10 1 342. 答案342 1求定积分常用的方法 (1)利用微积分基本定理 (2)运用定积分的几何意义 (曲边梯形面积易求时 )转化为求曲边梯形的面积 2定积分计算应注意的问题+ (1)利用微积分基本定理,关键是准确求出被积函数 的原函数,熟练掌握导数公式及求导法则,求导与积分互为逆运算 (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限 (3)面积非负,而定积分的结果可以为负利用定积分求平面图形的面积时一定 要准确转化,当图形的边界不同时,一定注意分情况讨论 易错辨析 4对定积分的几何意义理解不到位致误 【典例】(课标全国卷 )由曲线 yx,直线 yx
8、2 及 y 轴所围成的图形的面 积为() A. 10 3 B4 8 C.16 3 D6 错解由 yx, yx2, 得 x4, y2, yx与直线 yx2 的交点为 (4,2), 于是,围成图形的面积是 S 0 4 x(x2)dx 2 4(x2)dx 4 0 1 2x 22x 4 0 1 2x 22x 4 2 16 3 210 3 . 答案A 错因(1)不理解定积分的几何意义, 导致不能将封闭图形的面积正确地用定积 分表示 (2)求错原函数,导致计算错误 正解作出曲线 yx,直线 yx2 的草图 (如图所示 ), 所求面积为阴影部分 的面积 由 yx, yx2 得交点 A(4,2) 因此 yx与
9、 yx2 及 y 轴所围成的图形的面积为 0 4 x(x2)dx 0 4( xx2)dx x xx 2 2 1 3 22 2 3 4 0 2 38 1 21624 16 3 . 答案C 防范措施 (1)准确画出图形是正确用定积分表示面积的前提 (2)利用微积分基本定理求定积分,关键是求出被积函数的原函数,求一个函数 的原函数与求一个函数的导数互为逆运算,因此应注意掌握一些常见函数的导 数 9 【自主体验】 曲线 y1 x与直线 yx,x2 所围成的图形的面积为 _ 解析作出曲线 y 1 x,直线 yx 和 x2 的草图 (如图所示 ),所求面积为阴影部 分的面积 由 y1 x, yx 得交点
10、(1,1)因此 y1 x与 yx 及 x2 所围成的图形的面积为 S 1 2xdx 1 21 xdx 1 2x 2 2 1 ln x 2 1 3 2(ln 2ln 1) 3 2ln 2. 答案 3 2ln 2 基础巩固题组 (建议用时: 40 分钟) 一、选择题 1. 0 1(ex2x)dx 等于 () A1 Be1 Ce De1 解析 0 1(ex2x)dx(exx2) 1 0 (e 112)(e002)e. 答案C 10 2( 济南质检 )由直线 x 3,x 3,y0 与曲线 ycos x 所围成的封闭图 形的面积为() A. 1 2 B1 C. 3 2 D.3 解析由题意知 S 3 2
11、3 2 3. 答案D 3( 广州模拟 )设 f(x) 0 xsin tdt,则 f f 2 的值等于() A1 B1 Ccos 1 D1cos 1 解析f 2 1, f f 2 f(1) 0 1sin tdt(cos t) 1 0 1cos 1. 答案D 4.如图所示,曲线 yx 2 和直线 x0,x1 及 y1 4,所围成的图形 (阴影部分 )的 面积为() A. 2 3 B.1 3 C.1 2 D.1 4 解 析由 x 2 1 4 , 得 x 1 2 或 x 1 2 (舍 ), 则 阴 影 部 分 的 面 积 为S 11 1 4x 1 3x 3 1 2 0 1 3x 31 4x 1 1 2
12、 1 4. 答案D 5一物体在力 F(x) 10,0x2, 3x4,x2 (单位: N)的作用下沿与力 F(x)相同的方 向运动了 4 米,力 F(x)做功为() A44 J B46 J C48 J D50 J 解析力 F(x)所做的功为 0 210dx 2 4(3x4)dx202646(J) 答案B 二、填空题 6已知 2 1 2(kx1)dx4,则实数 k 的取值范围是 _ 解析 1 2(kx1)dx 1 2kx 2x 2 1 3 2k1, 2 3 2k14, 2 3k2. 答案 2 3,2 7.如图所示,是一个质点做直线运动的vt 图象,则质点在前6 s 内的位移为 _ m. 解析由题图
13、易知 v(t) 3 4t,0t4, 93 2t,4e7 3ln 2, S2S1S3. 答案S2S1S3 三、解答题 9已知 f(x)在 R 上可导, f(x)x 22f(2)x3,试求 0 3f(x)dx 的值 解f(x)x22f(2)x3,f(x)2x2f(2), f(2)42f(2), f(2)4,f(x)x 28x3. 0 3f(x)dx 1 3x 34x23x 3 0 18. 10求曲线 yx 2,直线 yx,y3x 围成的图形的面积 解作出曲线 yx2,直线 yx,y3x 的图象,所求面积为图中阴影部分的面 积 13 解方程组 yx 2, yx, 得交点 (1,1), 解方程组 yx
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