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1、1 等比数列及其前n 项和 最新考纲 1理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式及前n 项和公式 2能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问 题 3了解等比数列与指数函数的关系. 知 识 梳 理 1等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义 如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那么 这个数列叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比, 公比通常用字母q(q0) 表示 数学语言表达式: an an1q(n2),q 为常数 (2)等比中项 如果 a,G,b 成等比数列,那么G 叫做 a 与 b 的等比中项即: G 是 a 与 b 的 等比中
2、项 ? a,G,b 成等比数列 ? G 2ab. 2等比数列的通项公式及前n 项和公式 (1)若等比数列 an 的首项为 a1,公比是 q,则其通项公式为 ana1q n1; 若等比数列 an的第 m 项为 am,公比是 q,则其第 n 项 an可以表示为 anamq n m. (2)等比数列的前 n 项和公式:当 q1 时,Snna1;当 q1 时,Sna 11q n 1q a1anq 1q . 3等比数列及前 n 项和的性质 (1)若 an为等比数列,且 klmn(k,l,m,nN * ),则 ak alam an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,akm,ak2m,,
3、 仍是等比数 列,公比为 q m. 2 (3)当 q1,或 q1 且 n 为奇数时, Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等比数列, 其公比为 qn. (4)若 an,bn( 项数相同 )是等比数列,则 an( 0), 1 an , a2 n, an bn, an bn 仍是等比数列 辨 析 感 悟 1对等比数列概念的理解 (1)若一个数列从第2 项起每一项与它的前一项的比都是常数,则这个数列是等 比数列 () (2)三个数 a,b,c 成等比数列的充要条件是b 2ac.() (3)若三个数成等比数列,那么这三个数可以设为 a q,a,aq.() 2通项公式与前 n 项和的关系 (4)数列 an
4、 的通项公式是 ana n,则其前 n 项和为 S n a 1a n 1a .() (5)( 新课标全国卷改编 )设首项为 1,公比为 2 3的等比数列 an的前 n 项和为 S n, 则 Sn32an.() 3等比数列性质的活用 (6)如果数列 an为等比数列,则数列 ln an 是等差数列 () (7)( 兰州模拟改编 )在等比数列 an 中,已知 a7 a125,则 a8a9a10a1125.() (8)( 江西卷改编 )等比数列 x,3x3,6x6,, 的第四项等于2 或 0.() 感悟 提升 1一个区别等差数列的首项和公差可以为零,且等差中项唯一;而等比数列 首项和公比均不为零,等比
5、中项可以有两个值如(1)中的“常数”,应为 “同 一非零常数 ”;(2)中,若 b2ac,则不能推出 a,b,c 成等比数列,因为 a,b, c 为 0 时,不成立 2 两个防范一是在运用等比数列的前n 项和公式时,必须注意对 q1 或 q1 分类讨论,防止因忽略q1 这一特殊情形而导致解题失误,如(4) 二是运用等比数列的性质时,注意条件的限制,如(6)中当 an1 an q0 时,ln an1 ln anln q 无意义 . 3 考点一等比数列的判定与证明 【例 1】 ( 济宁测试 )设数列an 的前 n 项和为 Sn,若对于任意的正整数n 都有 Sn2an3n,设 bnan3. 求证:数
6、列 bn是等比数列,并求an. 证明由 Sn2an3n 对于任意的正整数都成立, 得 Sn12an13(n1), 两式相减,得 Sn1Sn2an13(n1)2an3n, 所以 an12an12an3,即 an12an3, 所以 an132(an3), 即b n1 bn a n13 an3 2 对一切正整数都成立, 所以数列 bn 是等比数列 由已知得: S12a13,即 a12a13,所以 a13, 所以 b1a136,即 bn6 2 n1. 故 an6 2n 133 2n3. 规律方法证明数列 an 是等比数列常用的方法: 一是定义法,证明 an an1q(n2, q 为常数 );二是等比中
7、项法,证明a 2 nan1 an1.若判断一个数列不是等比数列, 则只需举出反例即可,也可以用反证法 【训练 1】 ( 陕西卷 )设an是公比为 q 的等比数列 (1)推导 an 的前 n 项和公式; (2)设 q1,证明数列 an1不是等比数列 解(1)设an 的前 n 项和为 Sn, 当 q1 时,Sna1a1, a1na1; 当 q1 时,Sna1a1qa1q 2, a 1q n1, qSna1qa1q 2, a 1q n, 得, (1q)Sna1a1q n, Sna 11q n 1q ,Sn na1,q1, a11q n 1q ,q1. (2)假设 an1 是等比数列,则对任意的kN
8、* , 4 (ak11) 2(a k1)(ak21), a 2 k12ak11akak2akak21, a 2 1q 2k2a 1q ka 1q k1 a 1q k1a 1q k1a 1q k1, a10,2qkqk 1qk1. q0,q 22q10,q1,这与已知矛盾 假设不成立, an1不是等比数列 考点二等比数列基本量的求解 【例 2】 ( 湖北卷 )已知等比数列 an满足: |a2a3|10,a1a2a3125. (1)求数列 an 的通项公式; (2)是否存在正整数 m,使得 1 a1 1 a2, 1 am1?若存在,求 m 的最小值;若不 存在,说明理由 审题路线(1)建立关于 a
9、1与 q 的方程组可求解 (2)分两种情况,由 an? 1 an? 再用等比数列求和求 n1 m 1 an? 得到结论 解(1)设等比数列 an的公比为 q, 则由已知可得 a 3 1q 3125, |a1qa1q 2|10, 解得 a15 3, q3 或 a15, q1. 故 an5 3 3 n1 或 an5 (1)n 1. (2)若 an5 3 3 n1,则1 an 3 5 1 3 n1, 则 1 an 是首项为 3 5,公比为 1 3的等比数列 从而 n1 m 1 an 3 5 1 1 3 m 11 3 9 10 1 1 3 m a1a2,an的最大正整数 n 的值为 _ 解析由已知条件得 1 2q 1 2q 23,即 q2q60,解得 q2 或 q3(舍去), ana5q n51 22 n52n6,a1a2, an 1 32(2 n1),a1a2, an2 52423, 2n 6 , 由 a1a2, ana1a2,an,可知 2n 525 ,可求 得 n 的最大值为 12,而当 n13 时,282 5Sn 1 SnS 2 1 S2 3 4 4 3 7 12. 综上,对于 nN*,总有 7 12S n 1 Sn 5 6. 所以数列 Tn 最大项的值为 5 6,最小项的值为 7 12.
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