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1、1 直线、平面平行的判定与性质 最新考纲 1以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有 关性质和判定定理 2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单 命题 知 识 梳 理 1直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件a ?a? ,b? ,ab a a , a? , b 结论aba ?ab 2.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件 ? a? ,b? ,abP, a ,b , a, b ,a? 结论 ab a 辨 析 感 悟 1对直线与平面平行的判定与性质的理解 (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条
2、直线平行于这个平面() (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直 2 线() (3)若直线 a 与平面 内无数条直线平行,则a .() (4)若直线 a ,P ,则过点 P 且平行于 a 的直线有无数条 () 2对平面与平面平行的判定与性质的理解 (5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行() (6)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面() (7)(教材练习改编 )设 l 为直线, , 是两个不同的平面,若 l , l , 则 .() 感悟 提升 三个防范一是推证线面平行时, 一定要说明一条直线在平面外, 一条直线在平
3、 面内,如 (1)、(3) 二是推证面面平行时,一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面, 如(5) 三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时,必须说明经过已知 直线的平面与已知平面相交,则该直线与交线平行,如(2)、(4) 考点一有关线面、面面平行的命题真假判断 【例 1】 (1)( 广东卷 )设 m,n 是两条不同的直线, ,是两个不同的平面,下 列命题中正确的是 () A若 ,m? ,n? ,则 mn B若 ,m? ,n? , ,则 mn C若 mn,m? ,n? ,则 D若 m ,mn,n ,则 (2)设 m,n 表示不同直线, , 表示不同平面,则下列结论中正确的
4、是() A若 m ,mn,则 n B若 m? ,n? ,m ,n ,则 C若 ,m ,mn,则 n D若 ,m ,nm,n? ,则 n 解析(1)A 中,m 与 n 可垂直、可异面、可平行; B 中 m 与 n 可平行、可异面; C 中,若 ,仍然满足 mn,m? ,n? ,故 C 错误;故 D 正确 (2)A 错误,n 有可能在平面 内;B 错误,平面 有可能与平面 相交;C 错误, 3 n 也有可能在平面 内;D 正确,易知 m或 m? ,若 m? ,又 nm,n? , n ,若 m ,过 m作平面 交平面 于直线 l,则 ml,又 nm,nl, 又 n? ,l? ,n . 答案(1)D(
5、2)D 规律方法线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现,处理方法是数形 结合,画图或结合正方体等有关模型来解题 【训练 1】 (1)( 长沙模拟 )若直线 ab,且直线 a平面 ,则直线 b 与平面 的位置关系是 () Ab? Bb Cb? 或 b Db 与 相交或 b? 或 b (2)给出下列关于互不相同的直线l,m,n 和平面 , , 的三个命题: 若 l 与 m 为异面直线, l? ,m? ,则 ; 若 ,l? ,m? ,则 lm; 若 l, m, n,l ,则 mn. 其中真命题的个数为 () A3 B2 C1 D0 解析(1)可以构造一草图来表示位置关系,经验证,当b 与 相交
6、或 b? 或 b 时,均满足直线 ab,且直线 a平面 的情况,故选 D. (2)中,当 与 相交时,也能存在符合题意的l,m;中, l 与 m 也可能异 面;中, l ,l? , m? lm,同理 ln,则 mn,正确 答案(1)D(2)C 考点二线面平行的判定与性质 【例 2】 如图,直三棱柱 ABCABC,BAC90 ,ABAC2,AA 1,点 M,N 分别为 AB 和 BC的中点 (1)证明: MN平面 AACC; (2)求三棱锥 AMNC 的体积 4 (1)证明法一连接 AB,AC,如图,由已知 BAC90 ,ABAC,三棱 柱 ABCABC为直三棱柱, 所以 M 为 AB中点 又因
7、为 N 为 BC的中点,所以MNAC. 又 MN?平面 AACC,AC? 平面 AACC, 因此 MN平面 AACC. 法二取 AB的中点 P,连接 MP,NP,AB,如图,而 M,N 分别为 AB 与 BC的中点, 所以 MPAA,PNAC, 所以 MP平面 AACC,PN平面 AACC. 又 MPNPP,因此平面 MPN平面 AACC. 而 MN? 平面 MPN,因此 MN平面 AACC. (2)解法一连接 BN,如图,由题意 ANBC,平面 ABC平面 BBCCBC, 所以 AN平面 NBC.又 AN1 2BC1, 规律方法判断或证明线面平行的常用方法: (1)利用线面平行的定义,一般用
8、反证法; 5 (2)利用线面平行的判定定理(a? ,b? ,ab? a ),其关键是在平面内找 (或 作)一条直线与已知直线平行,证明时注意用符号语言的叙述; (3)利用面面平行的性质定理( ,a? ? a ); (4)利用面面平行的性质 ( ,a? ,a ? a ) 【训练 2】 如图,在四面体 ABCD 中,F,E,H 分别是棱 AB,BD,AC 的中 点,G 为 DE 的中点证明:直线HG平面 CEF. 证明法一如图 1,连接 BH,BH 与 CF 交于 K,连接 EK. F,H 分别是 AB,AC 的中点, K 是ABC 的重心, BK BH 2 3. 又据题设条件知, BE BG 2
9、 3, BK BH BE BG,EKGH. EK? 平面 CEF,GH?平面 CEF, 直线 HG平面 CEF. 图 1 图 2 法二如图 2,取 CD 的中点 N,连接 GN、HN. 6 G 为 DE 的中点, GNCE. CE? 平面 CEF,GN?平面 CEF, GN平面 CEF.连接 FH,EN F,E,H 分别是棱 AB,BD,AC 的中点, FH 綉1 2BC,EN 綉 1 2BC,FH 綉 EN, 四边形 FHNE 为平行四边形, HNEF. EF? 平面 CEF,HN?平面 CEF, HN平面 CEF.HNGNN, 平面 GHN平面 CEF. GH? 平面 GHN,直线 HG平
10、面 CEF. 考点三面面平行的判定与性质 【例 3】 ( 陕西卷 )如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形, O 是底面中心, A1O底面 ABCD,ABAA12. (1)证明:平面 A1BD平面 CD1B1; (2)求三棱柱 ABDA1B1D1的体积 审题路线(1)判定四边形 BB1D1D 是平行四边形 ? BDB1D1? BD平面 CD1B1 ? 同理推出 A1B平面 CD1B1? 面 A1BD面 CD1B1. (2)断定 A1O 为三棱柱ABDA1B1D1的高? 用勾股定理求A1O? 求 SABD? 求 . (1)证明由题设知,BB1綉 DD1,四边形 BB1D1
11、D 是平行四边形, BDB1D1. 又 BD?平面 CD1B1, BD平面 CD1B1. A1D1綉 B1C1綉 BC, 四边形 A1BCD1是平行四边形, A1BD1C. 7 又 A1B?平面 CD1B1, A1B平面 CD1B1. 又BDA1BB, 平面 A1BD平面 CD1B1. (2)解A1O平面 ABCD, A1O 是三棱柱 ABDA1B1D1的高 又AO1 2AC1,AA1 2, A1OAA 2 1OA 21. 又SABD1 2 221, 规律方法(1)证明两个平面平行的方法有: 用定义,此类题目常用反证法来完成证明; 用判定定理或推论 (即“线线平行 ? 面面平行 ”),通过线面
12、平行来完成证明; 根据 “垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明; 借助 “传递性 ”来完成 (2)面面平行问题常转化为线面平行,而线面平行又可转化为线线平行,需要注 意转化思想的应用 【训练 3】 在正方体 ABCDA1B1C1D1中,M,N,P 分别是 C1C,B1C1,C1D1 的中点,求证:平面PMN平面 A1BD. 证明法一如图,连接 B1D1,B1C. P,N 分别是 D1C1,B1C1的中点, PNB1D1. 又 B1D1BD,PNBD. 又 PN?平面 A1BD, PN平面 A1BD. 8 同理 MN平面 A1BD. 又 PNMNN, 平面 PMN平面 A1BD. 法
13、二如图,连接 AC1,AC, 且 ACBDO, ABCDA1B1C1D1为正方体, ACBD,CC1平面 ABCD, CC1BD,又 ACCC1C, BD平面 AC1C, AC1BD.同理可证 AC1A1B, AC1平面 A1BD.同理可证 AC1平面 PMN, 平面 PMN平面 A1BD. 1平行关系的转化方向如图所示: 2在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化, 即从“线线平行 ”到“线面平行 ”,再到 “面面平行 ”;而在应用性质定理时, 其顺序恰好相反, 但也要注意, 转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可 过于“模式化 ” 9 答题模板 8如何作答平行关
14、系证明题 【典例】 (12 分)( 山东卷,文 )如图 1,几何体 EABCD 是四棱锥, ABD 为正 三角形, CBCD,ECBD. (1)求证: BEDE; (2)若BCD120 ,M 为线段 AE 的中点,求证: DM平面 BEC. 图 1 图 2 规范解答 (1)如图 2,取 BD 的中点 O,连接 CO,EO. 由于 CBCD,所以 COBD, 又 ECBD,ECCOC,CO,EC? 平面 EOC,所以 BD平面 EOC, 因此 BDEO, 又 O 为 BD 的中点, 所以 BEDE. 图 3 10 (2)法一如图 3,取 AB 的中点 N,连接 DM,DN,MN, 因为 M 是
15、AE 的中点, 所以 MNBE. 又 MN?平面 BEC,BE? 平面 BEC,MN平面 BEC.(7 分) 又因为 ABD 为正三角形, 所以 BDN30 , 又 CBCD,BCD120 , 因此 CBD30 ,所以 DNBC. 又 DN?平面 BEC,BC? 平面 BEC,所以 DN平面 BEC. 又 MNDNN,故平面 DMN平面 BEC, 又 DM? 平面 DMN,所以 DM平面 BEC. 图 4 法二如图 4,延长 AD,BC 交于点 F,连接 EF. 因为 CBCD,BCD120 , 所以 CBD30 . 因为 ABD 为正三角形, 所以 BAD60 ,ABC90 , 因此 AFB
16、30 , 所以 AB1 2AF. 又 ABAD,所以 D 为线段 AF 的中点 连接 DM,由点 M 是线段 AE 的中点,因此 DMEF.(11 分) 又 DM?平面 BEC,EF? 平面 BEC, 所以 DM平面 BEC. 反思感悟 立体几何解答题解题过程要表达准确、格式要符合要求,每步推理 11 要有理有据,不可跨度太大,以免漏掉得分点本题易忽视DM?平面 EBC,造 成步骤不完整而失分 答题模板证明线面平行问题的答题模板(一) 第一步:作 (找)出所证线面平行中的平面内的一条直线; 第二步:证明线线平行; 第三步:根据线面平行的判定定理证明线面平行; 第四步:反思回顾检查关键点及答题规
17、范 证明线面平行问题的答题模板(二) 第一步:在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面; 第二步:利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平 面平行; 第三步:证明所作平面与所证平面平行; 第四步:转化为线面平行; 第五步:反思回顾检查答题规范 【自主体验】(福建卷改编 )如图,在四棱锥 PABCD 中,ABDC, AB6,DC3,若 M 为 PA 的中点,求证: DM平面 PBC. 证明法一取 PB 中点 N,连接 MN,CN. 在PAB 中, M 是 PA 的中点, MNAB, 且 MN1 2AB3, 又 CDAB,CD3, MN 綉 CD, 四边形 MNCD 为平行
18、四边形, DMCN. 又 DM?平面 PBC,CN? 平面 PBC, DM平面 PBC. 12 法二取 AB 的中点 E, 连接 ME,DE. 在梯形 ABCD 中,BECD, 且 BECD, 四边形 BCDE 为平行四边形, DEBC,又 DE?平面 PBC, BC? 平面 PBC, DE平面 PBC. 又在 PAB 中,MEPB, ME?平面 PBC, PB? 平面 PBC, ME平面 PBC, 又 DEMEE, 平面 DME平面 PBC. 又 DM? 平面 DME, DM平面 PBC. 13 基础巩固题组 (建议用时: 40 分钟) 一、选择题 1已知直线 a,b,c 及平面 , ,下列
19、条件中,能使ab 成立的是 () Aa ,b? Ba ,b Cac,bcDa , b 解析由平行公理知 C 正确,A 中 a 与 b 可能异面 B 中 a,b 可能相交或异面, D 中 a,b 可能异面 答案C 2在梯形 ABCD 中,ABCD,AB? 平面 ,CD?平面 ,则直线 CD 与平面 内的直线的位置关系只能是() A平行B平行和异面 C平行和相交D异面和相交 解析ABCD,AB? ,CD? ? CD , CD 和平面 内的直线没有公共点 答案B 3( 陕西五校一模 )已知直线 a 和平面 ,那么 a的一个充分条件是 () A存在一条直线b,ab 且 b? B存在一条直线b,ab 且
20、 b C存在一个平面 ,a? 且 D存在一个平面 ,a且 解析在 A,B,D 中,均有可能 a? ,错误;在 C 中,两平面平行,则其中一 个平面内的任一条直线都平行于另一平面,故C 正确 答案C 4( 汕头质检 )若 m,n 为两条不重合的直线, ,为两个不重合的平面,则下 列命题中正确的是 () 14 A若 m,n 都平行于平面 ,则 m,n一定不是相交直线 B若 m,n 都垂直于平面 ,则 m,n 一定是平行直线 C已知 ,互相平行, m,n 互相平行,若 m ,则 n D若 m,n 在平面 内的射影互相平行,则m,n 互相平行 解析A 中,m,n 可为相交直线; B 正确;C 中,n
21、可以平行 ,也可以在 内; D 中,m,n 也可能异面 答案B 5在空间四边形ABCD 中,E,F 分别为 AB,AD 上的点,且 AEEBAF FD14,又 H,G 分别为 BC,CD 的中点,则 () ABD平面 EFG,且四边形 EFGH 是平行四边形 BEF平面 BCD,且四边形 EFGH 是梯形 CHG平面 ABD,且四边形 EFGH 是平行四边形 DEH平面 ADC,且四边形 EFGH 是梯形 解析如图,由题意知 EFBD, 且 EF1 5BD. HGBD,且 HG1 2BD. EFHG,且 EFHG. 四边形 EFGH 是梯形 又 EF平面 BCD,而 EH 与平面 ADC 不平
22、行故选 B. 答案B 二、填空题 6( 南京一模 )下列四个命题: 过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直; 过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行; 如果两个平行平面和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行; 如果两个平面互相垂直, 那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直 15 线必在第一个平面内 其中所有真命题的序号是_ 解析根据空间点、 线、面间的位置关系, 过平面外一点有且只有一条直线与该 平面垂直,故正确;过平面外一点有无数条直线与该平面平行,故不正确; 根据平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面和第三个平面相交,那么所 得的两条交线平行, 故正确; 根据两个平面垂直
23、的性质: 如果两个平面互相垂 直,那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内, 故正确从而正确的命题有. 答案 7( 衡阳质检 )在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E 是 DD1的中点,则 BD1与平面 ACE 的位置关系为 _ 解析如图 连接 AC,BD 交于 O 点,连接 OE,因为 OEBD1,而 OE? 平面 ACE,BD1? 平面 ACE,所以 BD1平面 ACE. 答案平行 8( 金丽衢十二校联考 )设 , , 是三个平面, a,b 是两条不同直线,有下列 三个条件: a ,b? ;a ,b ;b ,a? .如果命题“ a, b? ,且 _,则ab”为真命
24、题,则可以在横线处填入的条件是 _(把所有正确的题号填上 ) 解析由面面平行的性质定理可知,正确;当b ,a? 时,a 和 b 在同一 平面内,且没有公共点,所以平行,正确故应填入的条件为或. 答案或 三、解答题 16 9( 青岛一模 )四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, N 是 PB 中点, 过 A,N,D 三点的平面交 PC 于 M. (1)求证: PD平面 ANC; (2)求证: M 是 PC 中点 证明(1)连接 BD,AC,设 BDACO,连接 NO, ABCD 是平行四边形, O 是 BD 中点,在 PBD 中, 又 N 是 PB 中点, PDNO, 又 NO?
25、 平面 ANC,PD?平面 ANC, PD平面 ANC. (2)底面 ABCD 为平行四边形, ADBC, 又BC?平面 ADMN,AD? 平面 ADMN, BC平面 ADMN,因平面 PBC平面 ADMNMN, BCMN,又 N 是 PB 中点, M 是 PC 中点 10. 如图,已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1上,点 F 在 CC1 上,G 在 BB1上,且 AEFC1B1G1,H 是 B1C1的中点 17 (1)求证: E,B,F,D1四点共面; (2)求证:平面 A1GH平面 BED1F. 证明(1)AEB1G1,BGA1E2, BG 綉 A1E
26、,A1G 綉 BE. 又同理, C1F 綉 B1G, 四边形 C1FGB1是平行四边形, FG 綉 C1B1綉 D1A1, 四边形 A1GFD1是平行四边形 A1G 綉 D1F,D1F 綉 EB, 故 E、B、F、D1四点共面 (2)H 是 B1C1的中点, B1H3 2. 又 B1G1, B1G B1H 2 3.又 FC BC 2 3, 且FCBGB1H90 , B1HGCBF, B1GHCFBFBG, HGFB. 又由(1)知 A1GBE,且 HGA1GG, FBBEB,平面 A1GH平面 BED1F. 能力提升题组 (建议用时: 25 分钟) 一、选择题 1( 蚌埠模拟 )设 m,n 是
27、平面 内的两条不同直线; l1,l2是平面 内的两条相 交直线,则 的一个充分而不必要条件是() Am且 l1 Bml1且 nl2 Cm 且 n Dm 且 nl2 解析对于选项 A,不合题意;对于选项B,由于 l1与 l2是相交直线,而且由l1 m可得 l1 ,同理可得 l2 ,又 l1与 l2相交,故可得 ,充分性成立,而 18 由 不一定能得到 l1m,它们也可以异面,故必要性不成立,故选B;对于 选项 C,由于 m,n 不一定相交,故是必要非充分条件;对于选项D,由 nl2 可转化为 n ,同选项 C,故不符合题意 答案B 2下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点, M,N,P
28、 分别为其所 在棱的中点,能得出AB平面 MNP 的图形的序号是 () ABCD 解析对于图形:平面MNP 与 AB 所在的对角面平行,即可得到AB平面 MNP,对于图形: ABPN,即可得到 AB平面 MNP,图形,都不可以, 故选 C. 答案C 二、填空题 3( 陕西师大附中模拟 ) 如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H 分别是棱 CC1,C1D1,D1D, DC 的中点, N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则M 满足 条件_时,有 MN平面 B1BDD1. 19 解析如图,连接 FH,HN,FN, 由题意知 HN面 B1BDD1, FH
29、面 B1BDD1. 且 HNFHH, 面 NHF面 B1BDD1. 当 M 在线段 HF 上运动时, 有 MN面 B1BDD1. 答案M线段 HF 三、解答题 4( 长沙模拟 ) 一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中 M,N 分别是 AF,BC 的中点 ) (1)求证: MN平面 CDEF; (2)求多面体 ACDEF 的体积 解由三视图可知: ABBCBF2,DECF2 2,CBF 2. (1) 证明:取 BF 的中点 G,连接 MG,NG,由 M,N 分别为 AF,BC 的中点可得, NGCF,MGEF,且 NGMGG,CFEFF, 平面 MNG平面 CDEF,又 MN? 平面 MNG,MN平面 CDEF. (2)取 DE 的中点 H. ADAE,AHDE, 在直三棱柱 ADEBCF 中,平面 ADE平面 CDEF, 平面 ADE平面 CDEFDE.AH平面 CDEF. 多面体 ACDEF 是以 AH 为高,以矩形 CDEF 为底面的棱锥,在 ADE 中, 20 AH2. S矩形CDEFDE EF4 2, 棱锥 ACDEF 的体积为 V1 3 S 矩形CDEF AH1 34 2 28 3.
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