高三第一轮复习函数与基本初等函数练习题含答案.pdf
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1、第二章函数与基本初等函数I 第 1 讲函数及其表示 一、选择题 1下列函数中,与函数y 1 3 x 定义域相同的函数为() Ay 1 sin x By ln x x Cyxe x Dy sin x x 解析函数 y 1 3 x 的定义域为 x|x0,xR 与函数 ysin x x 的定义域相同, 故选 D. 答案D 2若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为 “同族函数”,则函数解析式为yx21,值域为 1,3 的同族函数有 () A1 个B2 个C3 个D4 个 解析由 x211,得 x0.由 x213,得 x 2,所以函数的定义域可 以是 0,2 ,0,2,0,2,
2、2,故值域为 1,3 的同族函数共 有 3 个 答案C 3若函数 yf ( x) 的定义域为 M x| 2x2,值域为 N y|0 y2,则 函数 yf (x) 的图象可能是 ( ) 解析根据函数的定义,观察得出选项B. 答案B 4已知函数f(x) |lg x|,010. 若 a,b,c 互不相等,且f(a)f(b) f(c),则 abc的取值范围是 () A(1,10) B(5,6) C(10,12) D(20,24) 解析a,b,c 互不相等,不妨设a0) ,小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分 钟,在乙地休息 10分钟后,他又匀速从乙地返回甲地用了30分钟,则小王从出 发到返回原地所经
3、过的路程y 和其所用的时间 x 的函数的图象为() 解析注意本题中选择项的横坐标为小王从出发到返回原地所用的时间,纵坐 标是经过的路程,故选D. 答案D 二、填空题 7已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出, x 123 f(x)131 x 123 g(x)321 则 fg(1)的值为 _,满足 fg(x)gf(x)的 x的值是 _ 解析 g(1)3,fg(1)f(3)1,由表格可以发现g(2)2,f(2)3, f(g(2)3,g(f(2)1. 答案12 8已知函数 f(x) x 21,x0, 1,xf(2x)的 x 的取值范围 是_ 解析由题意有 1x 20, 2x2x, 2x0 解得
4、11 时,函数 g(x)是1,3上的减函数,此时g(x)ming(3)23a,g(x)max g(1)1a,所以 h(a)2a1; 当 0a1 时,若 x1,2,则 g(x)1ax,有 g(2)g(x)g(1); 若 x(2,3,则 g(x)(1a)x1,有 g(2)1. (2)画出 yh(x)的图象,如图所示,数形结合可得h(x)minh 1 2 1 2. 12求下列函数的定义域: (1) f ( x) x x3 ; (2) y25x 2lg cos x; (3) ylg( x1)lg x1 x1 1 9x. 解(1) 4x0 x30 ,? x4 且 x3, 故该函数的定义域为 ( , 3)
5、(3,4) (2) 25x 20, cos x0, 即 5x5, 2k 2 x2k 2 ,kZ, 故所求定义域为5, 3 2 2 , 2 3 2 ,5 . (3) x10, x1 x10, 9x0, 即 x1, x1, x9 或 x1,解得 1x9. 故该函数的定义域为 (1,9) 13. 设 x0 时,f(x)=2;x0 时,f(x)=1 ,又规定: g(x)= 3fx1fx2 2 (x 0),试写出 y=g(x) 的解析式,并画出其图象 . 解 当 0x1 时,x-1 0,x-2 0, g(x)= 3 1 2 =1. 当 1x2 时,x-1 0,x-2 0, g(x)= 615 22 ;
6、当 x2 时,x-10,x-2 0, g(x)= 62 2 =2. 故 g(x)= 1(0x1) 5 (1x2), 2 2(x2) 其图象如图所示 . 14二次函数 f(x)满足 f(x1)f(x)2x,且 f(0)1. (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间1,1上,函数 yf(x)的图象恒在直线y2xm 的上方,试确定 实数 m的取值范围 解(1)由 f(0)1,可设 f(x)ax2bx1(a0),故 f(x1)f(x)a(x1)2 b(x 1)1 (ax 2 bx 1) 2ax a b,由 题 意, 得 2a2, ab0, 解 得 a1, b1, 故 f(x)x2x1. (2)由题意
7、,得x 2x12xm,即 x23x1m,对 x1,1恒成立令 g(x)x 23x1,则问题可转化为 g(x)minm,又因为g(x)在1,1上递减, 所以 g(x)ming(1)1,故 m0时,ylg x,故为 (0,)上的减函数,且 ylg |x|为偶函数 答案C 2已知函数 f ( x)为 R上的减函数,则满足f (| x|) f (1) 的实数 x 的取值范围是 ( ) A( 1,1) B(0,1) C( 1,0) (0,1) D( ,1)(1, ) 解析f ( x)在 R上为减函数且 f (| x|) f (1) , |x| 1,解得x1 或x1. 答案D 3若函数 yax与 y b
8、x在(0, ) 上都是减函数,则 yax 2bx 在(0 , ) 上是( ) A增函数 B减函数 C先增后减 D先减后增 解析yax 与 y b x在(0, )上都是减函数, a0, 0,x0, 1,x1, 0,x1, x 2,xK, 取函数 f(x)2 |x|,当 K1 2时,函数 f K(x)的单调递增区间 为() A(, 0) B(0, ) C(, 1) D(1, ) 解析f1 2(x) 2 |x|,2|x|1 2, 1 2,2 |x|1 2 ? f1 2(x) 1 2 |x|,x1或x1, 1 2,10 , x 23x x 0 . 作 出 该 函 数 的 图 像 , 观 察 图 像 知
9、 递 增 区 间 为 0, 3 2 . 答案0,3 2 9已知函数 f (x) 2ax 24( a3)x5 在区间 ( ,3)上是减函数,则 a 的取 值范围是 _ 解析当 a0 时,f ( x) 12x5 在( ,3)上为减函数;当a0 时,要使 f (x) 2ax 24(a3)x5 在区间 ( ,3) 上是减函数,则对称轴 x 3a a 必在 x3 的右边,即 3a a 3,故 0a 3 4;当 a0 时,不可能在 区间( ,3)上恒为减函数综合知:a 的取值范围是0,3 4 . 答案0, 3 4 10已知函数 f(x) e x2,x0, 2ax1,x0 (a 是常数且 a0)对于下列命题
10、: 函数 f(x)的最小值是 1; 函数 f(x)在 R 上是单调函数; 若 f(x)0 在 1 2, 上恒成立,则 a 的取值范围是 a1; 对任意的 x10 在 1 2, 上恒成立,则 2a1 2 10,a1,故正确;由图象可知在(,0)上 对任意的 x10且 a1)的单调区间 解当 a1时,函数 ya1x 2 在区间 0 ,)上是减函数,在区间 ( , 0 上是增函数; 当 0x12,则 f(x1)f(x2)x 2 1 a x1x 2 2 a x2 x1x2 x1x2 x1x2(x1x2)a, 由 x2x12,得 x1x2(x1x2)16,x1x20. 要使 f(x)在区间 2,)上是增
11、函数, 只需 f(x1)f(x2)0 恒成立,则 a16. 13已知函数 f(x)a 2 xb 3x,其中常数 a,b 满足 ab0. (1)若 ab0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 abf(x)时的 x 的取值范围 解(1)当 a0,b0 时,因为a 2x,b 3x都单调递增,所以函数f(x)单调递 增;当 a0. (i)当 a0 时, 3 2 xa 2b, 解得 xlog3 2 a 2b ; (ii) 当 a0,b0 时,f (x)1. (1) 求证: f ( x) 是 R上的增函数; (2) 若 f (4) 5,解不等式 f (3m 2m 2)0,f (x2x1)1. f (
12、x2)f ( x1) f ( x2 x 1) x1 f (x1) f ( x2x1) f (x1) 1f ( x1)f ( x2x1) 10. f ( x2)f (x1)即 f (x) 是 R上的增函数 (2) f (4) f (2 2)f (2) f (2) 15, f (2) 3, 原不等式可化为f (3m 2m 2)fsin 2 3 Bf(sin 1)f(sin 2) 解析当 x1,1时,x43,5,由 f(x)f(x2)f(x4)2|x44| 2|x|, 显然当 x1,0时,f(x)为增函数;当 x0,1时,f(x)为减函数, cos 2 3 1 2,sin 2 3 3 2 1 2,又
13、 f 1 2 f 1 2 f 3 2 ,所以 f cos 2 3 f sin 2 3 . 答案A 4已知函数 f(x) 12 x,x0, 2 x1,x0 时,f(x)2 x1f(x);当 x0时是单调函数,则满足f (2x) f x1 x4 的所有 x 之和为 _ 解析f ( x)是偶函数, f (2 x) f x1 x4 , f (|2 x|) f x1 x4 , 又f (x) 在(0, )上为单调函数, |2 x| x1 x4 , 即 2x x1 x4或 2x x1 x4, 整理得 2x 27x10 或 2x29x10, 设方程 2x 27x10 的两根为 x 1 ,x 2,方程 2x 2
14、9x10的两根为 x 3 ,x 4. 则(x1x2)(x3x4) 7 2 9 2 8. 答案 8 三、解答题 11已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对任意x,y,f(x)都满足 f(xy) yf(x)xf(y) (1)求 f(1),f(1)的值; (2)判断函数 f(x)的奇偶性 解(1)因为对定义域内任意x,y,f(x)满足 f(xy)yf(x)xf(y),所以令xy 1,得 f(1)0,令 xy1,得 f(1)0. (2)令 y1,有 f(x)f(x)xf(1),代入 f(1)0得 f(x)f(x),所 以 f(x)是(, )上的奇函数 12已知函数 f ( x)对任意 x
15、,yR,都有 f ( xy) f ( x) f ( y) ,且 x0 时, f ( x) 0,f (1) 2. (1) 求证 f (x) 是奇函数; (2) 求 f (x)在 3,3 上的最大值和最小值 (1) 证明令 xy0,知 f (0) 0;再令 yx, 则 f (0) f ( x)f ( x) 0,所以 f (x) 为奇函数 (2) 解任取 x1 x 2,则 x2 x 10,所以 f ( x2 x 1) f x2( x1) f ( x2) f ( x1) f ( x2) f (x1) 0,所以 f (x) 为减函数而 f (3) f (21)f (2) f (1) 3f (1) 6,f
16、 (3)f (3) 6. 所以 f ( x)maxf (3)6,f ( x)minf (3) 6. 13. 已知函数 f ( x)是( , ) 上的奇函数,且 f (x) 的图象关于 x1 对称,当 x0,1 时,f (x) 2 x1, (1) 求证: f ( x) 是周期函数; (2) 当 x1,2 时,求 f ( x) 的解析式; (3) 计算 f (0) f (1) f (2) f (2013) 的值 解析 (1) 证明函数 f ( x) 为奇函数,则f ( x)f (x) ,函数 f (x) 的图象 关于x1 对称,则 f(2x)f( x) f(x) ,所以f(4x) f(2 x) 2
17、 f (2x) f (x) ,所以 f (x) 是以 4 为周期的周期函数 (2) 当 x1,2 时,2x0,1 , 又 f (x) 的图象关于 x1 对称,则 f (x) f (2x)2 2x 1,x1,2 (3) f (0) 0,f (1) 1,f (2) 0, f (3) f ( 1)f (1) 1 又 f (x) 是以 4为周期的周期函数 f (0) f (1) f (2) f (2013) f (2 012) f (2 013) f (0) f (1) 1. 14已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x2)f(x) (1)求证:f(x)是周期函数; (2)若 f(x)为奇函数
18、,且当0x1 时,f(x)1 2x,求使 f(x) 1 2在0,2 014上 的所有 x 的个数 (1)证明f(x2)f(x), f(x4)f(x2)f(x)f(x), f(x)是以 4 为周期的周期函数 (2)解当 0x1 时,f(x)1 2x, 设1x0,则 0x1, f(x) 1 2(x) 1 2x. f(x)是奇函数, f(x)f(x), f(x) 1 2x,即 f(x) 1 2x. 故 f(x) 1 2x(1x1) 又设 11)的图像是 ( ) 解析ya |x| a x x 0 , a x x0 . 当 x 0时,与指数函数 ya x( a1)的图像 相同;当 x0 2 x x 0
19、,则f(9) f(0) ( ) A0 B1 C2 D3 解析f (9) log392,f (0) 2 01, f (9) f (0) 3. 答案 D 3不论 a 为何值时,函数 y(a1)2 xa 2恒过定点,则这个定点的坐标是 () A. 1, 1 2 B. 1, 1 2 C. 1, 1 2 D. 1,1 2 解析y(a1)2x a 2a 2 x1 2 2 x,令 2x1 20,得 x1,则函数 y(a 1)2 xa 2恒过定点 1, 1 2 . 答案C 4定义运算:a*b a,ab, b,ab, 如 1*2=1,则函数f(x)=2 x *2 -x 的值域为 () ARB(0, ) C(0,
20、1 D1, ) 解析f(x)2x*2 x 2 x,x0, 2 x,x0, f(x)在(,0上是增函数,在 (0, )上是减函数, 01,b0,且 a b a b2 2,则 a b a b 的值为 ( ) A.6 B2 或2 C2 D2 解析 ( a b a b)28? a2b a 2b6, (a b a b)2 a 2b a 2b24. 又 a b a b( a1,b0),ab a b2. 答案 D 6若函数 f(x)(k1)a xax(a0 且 a1)在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 g(x)loga(xk)的图象是下图中的 () 解析函数 f(x)(k1)axax为奇函数,则 f(0)
21、0,即(k1)a 0a00, 解得 k2,所以 f(x)a xax,又 f(x)axax 为减函数,故 00,且 a 1)有两个零点,则实数a 的取值范围是 _ 解析令 a x xa0 即 a xxa, 若 01,ya x 与 yxa 的图象如图所示 答案(1 , ) 10 已 知 f(x) x 2 , g(x) 1 2 x m, 若 对 ? x1 1,3, ? x2 0,2 , f(x1)g(x2),则实数 m 的取值范围是 _ 解 析x1 1,3 时 , f(x1) 0,9 , x2 0,2 时 , g(x2) 1 2 2m, 1 2 0m ,即 g(x 2) 1 4m,1m ,要使 ?
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