高三第一轮复习解析几何练习题含答案.pdf
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1、第九章解析几何 第 1 讲直线方程和两直线的位置关系 一、选择题 1已知直线 l 的倾斜角 满足条件 sin cos 1 5,则 l 的斜率为 ( ) A. 4 3 B. 3 4 C 4 3 D 3 4 解析 必为钝角,且 sin 的绝对值大,故选C. 答案C 2经过两点 A(4,2 y1),B(2,3)的直线的倾斜角为 3 4 ,则 y( ) A1 B3 C0 D2 解析由2y1 3 42 2y4 2 y2, 得:y2tan 3 4 1. y3. 答案B 3若直线 l:ykx3与直线 2x3y60 的交点位于第一象限,则直线l 的 倾斜角的取值范围是() A. 6, 3 B. 6, 2 C.
2、 3, 2 D. 6, 2 解析如图,直线l:ykx3,过定点P(0, 3),又 A(3,0),kPA 3 3 ,则直线 PA 的倾斜角为 6,满足条件的直线 l 的倾斜角的范围是 6, 2 . 答案B 4过点 A(2,3)且垂直于直线 2xy50 的直线方程为 () Ax2y40 B2xy70 Cx2y30 Dx2y50 解析由题意可设所求直线方程为:x2ym0,将 A(2,3)代入上式得2 23m0,即 m4,所以所求直线方程为x2y40. 答案A 5设直线 l 的方程为 xycos 30(R) ,则直线 l 的倾斜角 的范围 是( ) A0 ,) B. 4 , 2 C. 4 ,3 4 D
3、. 4 , 2 2 ,3 4 解析( 直接法或筛选法 )当 cos 0 时,方程变为x30,其倾斜角为 2 ; 当 cos 0时,由直线方程可得斜率k 1 cos . cos 1,1 且 cos 0, k( , 1 1 ,) tan ( , 1 1 ,), 又 0 ,) , 4 , 2 2 ,3 4 . 综上知,倾斜角的范围是 4 , 3 4 . 答案C 6将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点 (4,0)重合,点 (7,3)与点 (m,n)重 合,则 mn () A4 B6 C.34 5 D.36 5 解析由题可知纸的折痕应是点 (0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y2x 3,它
4、也是点 (7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是 3n 2 2 7m 2 3, n3 m7 1 2, 解得 m 3 5, n31 5 . 故 mn34 5 . 答案C 二、填空题 7若 A( 2,3) ,B(3,2),C( 1 2,m ) 三点共线,则 m的值为 _ 解析 由 kABkBC,即 23 32 m 2 1 23 ,得 m 1 2. 答案 1 2 8直线过点 (2 ,3) ,且在两个坐标轴上的截距互为相反数,则这样的直线方 程是_ 解析设直线方程为为 x a y a1 或 ykx 的形式后,代入点的坐标求得 a5 和 k 3 2. 答案 y 3 2x 或 x 5 y 51 9已知直
5、线 l1:ax3y10 与直线 l2:2x(a1)y10 垂直,则实数a _. 解析由两直线垂直的条件得2a3(a1)0,解得 a3 5. 答案 3 5 10若两平行直线3x2y10,6xayc0 之间的距离为 2 13 13 ,则 c2 a 的值 为_ 解析由题意得, 3 6 2 a 1 c ,a4 且 c2, 则 6xayc0 可化为 3x2y c 20, 由两平行线间的距离,得 2 13 13 c 21 13 , 解得 c2 或 c6,所以 c2 a 1. 答案 1 三、解答题 11已知直线 l 过点 M (2,1) ,且分别与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A、B两点, O为 原点,是否
6、存在使 ABO 面积最小的直线l ?若存在,求出;若不存在,请说 明理由 解存在理由如下 设直线 l 的方程为 y1k( x2)( k0) ,则 A 21 k,0 ,B(0,1 2k), AOB 的面积 S 1 2(12k) 2 1 k 1 2 4 4k 1 k 1 2(44) 4. 当且仅当 4k 1 k,即 k 1 2时,等号成立, 故直线 l 的方程为 y1 1 2(x2) ,即 x2y40. 12已知直线 l 经过直线 2xy50 与 x2y0 的交点 (1)点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值 解(1)经过两已知直线交
7、点的直线系方程为(2xy5) (x2y)0,即(2 )x(12 )y50, |105 5| 2 2 1223.解得 2 或 1 2. l 的方程为 x2 或 4x3y50. (2)由 2xy50, x2y0, 解得交点 P(2,1), 如图,过 P 作任一直线 l,设 d 为点 A 到 l 的距离, 则 d|PA|(当 lPA 时等号成立 ) dmax|PA|10. 13已知直线 l 过点 P(2,3),且被两条平行直线l1:3x4y70,l2:3x4y8 0 截得的线段长为d. (1)求 d 的最小值; (2)当直线 l 与 x 轴平行,试求 d 的值 解(1)因为 324370,32438
8、0,所以点P 在两条平行直线 l1,l2外 过 P 点作直线 l,使 ll1,则 ll2,设垂足分别为 G,H,则|GH|就是所求的 d 的最小值由两平行线间的距离公式,得d 的最小值为 |GH|8 7 | 3 242 3. (2)当直线 l 与 x 轴平行时, l 的方程为 y3,设直线 l 与直线 l1,l2分别交于点 A(x1,3),B(x2,3),则 3x11270,3x21280,所以 3(x1x2)15,即 x1 x25,所以 d|AB|x1x2|5. 14已知直线 l1:xy30,直线 l:xy10.若直线 l1关于直线 l 的对称直 线为 l2,求直线 l2的方程 解法一因为
9、l1l,所以 l2l, 设直线 l2:xym0(m3,m1) 直线 l1,l2关于直线 l 对称, 所以 l1与 l,l2与 l 间的距离相等 由两平行直线间的距离公式得 |3 1 | 2 |m 1 | 2 , 解得 m5 或 m3(舍去) 所以直线 l2的方程为 xy50. 法二由题意知 l1l2,设直线 l2:xym0(m3,m1) 在直线 l1上取点 M(0,3), 设点 M 关于直线 l 的对称点为 M(a,b), 于是有 b3 a 11, a0 2 b3 2 10, 解得 a4, b1, 即 M(4,1) 把点 M(4,1)代入 l2的方程,得 m5, 所以直线 l2的方程为 xy5
10、0. 第 2 讲圆的方程 一、选择题 1已知点 A(1,1),B( 1,1) ,则以线段 AB为直径的圆的方程是 ( ) Ax 2 y 22 Bx 2 y 2 2 Cx 2 y 21 D x 2 y 24 解析AB的中点坐标为: (0,0) , | AB | 11 2 11 22 2, 圆的方程为: x 2 y 22. 答案A 2设圆的方程是 x 2y22ax2y(a1)20,若 00,所以原点在圆外 答案B 3已知圆 C1:( x1) 2( y1)21,圆 C 2与圆 C1关于直线 xy10 对称,则 圆 C2的方程为 ( ) A( x2) 2(y2)21 B( x2) 2(y2)21 C(
11、x2) 2( y2) 21 D( x2) 2(y2)21 解析 只要求出圆心关于直线的对称点,就是对称圆的圆心,两个圆的半径不 变设圆 C2的圆心为 ( a,b) ,则依题意,有 a1 2 b1 2 10, b1 a11, 解得 a2, b2, 对称圆的半径不变,为1. 答案B 4若圆 (x3) 2( y5)2 r 2 上有且只有两个点到直线4x3y20 的距离等 于 1,则半径 r 的取值范围是 ( ) A(4,6) B4,6) C(4,6 D4,6 解析因为圆心 (3,5)到直线 4x3y20 的距离为 5,所以当半径 r 4 时,圆上有 1 个点到直线 4x3y20 的距离等于 1,当半
12、径 r6 时,圆上 有 3个点到直线 4x3y20的距离等于 1,所以圆上有且只有两个点到直线 4x3y20 的距离等于 1 时,4r 6. 答案A 5已知圆 C:x 2y2mx40 上存在两点关于直线 xy30 对称,则实数 m的值为 () A8 B4 C6 D无法确定 解析圆上存在关于直线xy30 对称的两点,则xy30 过圆心 m 2,0 ,即 m 2 30,m6. 答案C 6圆心为 C 1 2,3 的圆与直线 l:x2y30 交于 P,Q 两点, O 为坐标原 点,且满足 OP OQ 0,则圆 C 的方程为 () A. x 1 2 2(y3)25 2 B. x 1 2 2(y3)25
13、2 C. x1 2 2(y3)225 4 D. x 1 2 2(y3)225 4 解析法一圆心为 C 1 2,3 , 设圆的方程为x1 2 2(y3)2r2. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2) 由圆方程与直线 l 的方程联立得: 5x210x104r20, x1x22,x1x2104r 2 5 . 由OP OQ 0,得 x1x2y1y20,即: 5 4x 1x23 4(x 1x2) 9 4 104r 2 4 15 4 0, 解得 r 225 4 ,经检验满足判别式 0. 故圆 C 的方程为 x 1 2 2(y3)225 4 . 法二圆心为 C 1 2,3 , 设圆的方程为x1 2 2(y
14、3)2r2, 在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的,即x1 2 2(y3)2 25 4 ,故选 C. 答案C 二、填空题 7过两点A(0,4) ,B(4,6) ,且圆心在直线x2y20 上的圆的标准方程是 _ 解析设圆心坐标为 ( a,b),圆半径为r,则圆方程为 ( xa) 2( yb)2 r 2, 圆心在直线 x2y20 上, a2b20, 又圆过两点A(0,4) ,B(4,6) , (0a) 2(4 b)2 r 2,且 (4 a)2(6 b) 2r2, 由得: a4,b1,r5, 圆的方程为 ( x4) 2( y1)225. 答案 ( x4) 2(y1)225 8已知圆C :
15、(x3) 2( y4)21,点 A(0 ,1) ,B(0,1) P 是圆 C 上的动 点,当 | PA | 2| PB |2 取最大值时,点P的坐标是 _ 解析设 P(x0 ,y 0) ,则| PA | 2| PB |2 x 2 0(y01) 2 x 2 0(y01) 22(x2 0 y 2 0) 2, 显然 x 2 0 y 2 0的最大值为 (51) 2, d max74,此时OP 6PC ,结合点 P在圆上,解得点 P的坐标为 18 5 ,24 5 . 答案 18 5 ,24 5 9已知平面区域 x0, y0, x2y40 恰好被面积最小的圆C:(xa)2(yb)2r2 及其内部所覆盖,则
16、圆C 的方程为 _ 解析由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三 角形及其内部,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,又OPQ 为直角 三角形,故其圆心为斜边PQ 的中点 (2,1),半径为 |PQ| 2 5,圆 C 的方程为 (x2) 2(y1)25. 答案(x2)2(y1)25 10已知圆 C:(x3) 2(y4)21,点 A(1,0),B(1,0),点 P 是圆上的动点, 则 d|PA|2|PB|2的最大值为 _,最小值为 _ 解析设点 P(x0,y0),则 d(x01)2y20(x01)2y202(x20y20)2,欲求 d 的最值,只需求ux2
17、0y20的最值,即求圆C 上的点到原点的距离平方的最 值圆 C 上的点到原点的距离的最大值为6,最小值为4,故 d 的最大值为 74,最小值为 34. 答案7434 三、解答题 11已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(1,0)和 B(3,4),线段 AB的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D,且|CD|4 10. (1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程 解(1)直线 AB 的斜率 k1,AB 的中点坐标为 (1,2), 直线 CD 的方程为 y2(x1),即 xy30. (2)设圆心 P(a,b),则由 P 在 CD 上得 ab30. 又直径 |CD|4 10,|PA|2 10,
18、 (a1)2b240, 由解得 a3, b6 或 a5, b2. 圆心 P(3,6)或 P(5,2), 圆 P 的方程为 (x3)2(y6)240 或(x5)2(y2)240. 12已知圆 M 过两点 C(1,1),D(1,1),且圆心 M 在 xy20 上 (1)求圆 M 的方程; (2)设 P 是直线 3x4y80 上的动点, PA,PB 是圆 M 的两条切线, A,B 为切点,求四边形PAMB 面积的最小值 解(1)设圆 M 的方程为 (xa) 2(yb)2r2(r0), 根据题意得: 1a 2 1b2r2, 1a 2 1b2r2, ab20, 解得 ab1,r2, 故所求圆 M 的方程
19、为 (x1)2(y1)24. (2)因为四边形 PAMB 的面积 SSPAMSPBM 1 2|AM| |PA|1 2|BM| |PB|, 又|AM|BM|2,|PA|PB|,所以 S2|PA|, 而|PA|PM|2|AM| 2 |PM|24, 即 S2|PM| 24. 因此要求 S的最小值,只需求 |PM|的最小值即可, 即在直线 3x4y80 上找一点 P,使得 |PM|的值最小, 所以|PM|min|31418| 3 242 3, 所以四边形 PAMB 面积的最小值为 S2 |PM| 2 min423242 5. 13已知圆 C过点 P(1,1),且与圆 M:(x2) 2(y2)2r2(r
20、0)关于直线 xy2 0 对称 (1)求圆 C 的方程; (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点,求 PQ MQ 的最小值 解(1)设圆心 C(a,b),则 a2 2 b2 2 20, b2 a21, 解得 a0, b0, 则圆 C 的方程为 x2y2r 2,将点 P 的坐标代入得 r22, 故圆 C 的方程为 x2y22. (2)设 Q(x,y),则 x 2y22,且PQ MQ (x1,y1) (x2,y2)x2y2 xy4xy2, 令 x2cos ,y2sin , PQ MQ xy22(sin cos )2 2sin 4 2, 所以PQ MQ 的最小值为 4. 14已知点 A(3,0) ,B
21、(3,0) ,动点 P满足| PA | 2| PB |. (1) 若点 P的轨迹为曲线 C,求此曲线的方程; (2) 若点 Q在直线 l1:xy30上,直线 l 2经过点 Q且与曲线 C只有一个公 共点 M ,求| QM | 的最小值 解(1) 设点 P的坐标为 (x,y) , 则x3 2 y 22 x3 2 y 2. 化简可得 ( x5) 2 y 216,此即为所求 (2) 曲线C是以点 (5,0) 为圆心, 4 为半径的圆,如图, 由直线 l2是此圆的切线,连接 CQ , 则| QM | | CQ | 2| CM |2 | CQ | 216, 当 CQ l1时,| CQ | 取最小值, |
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