高中数学_高考数学所有知识点总结(高三复习资料).pdf
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1、- 1 - 全国通用 高中数学高考知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如:集合,、Ax yxBy yxCx y yxABC|lg|lg( , )|lg中元素各表 示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 如:集合,Ax xxBx ax| 2 2301 若,则实数 的值构成的集合为BAa (答:, ,)10 1 3 3. 注意下列性质: ( )集合,, ,的所有子集的个数是;12 12 aaan n (3)德摩根定律:
2、CCCCCC UUUUUU ABABABAB, 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 的取值范围。 5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”,“且”和( )( )“非” (). 若为真,当且仅当、 均为真pqpq 若为真,当且仅当、 至少有一个为真pqpq - 2 - 若为真,当且仅当为假pp 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射f:AB,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元 素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许
3、B 中有元素无原象。 ) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型? 10. 如何求复合函数的定义域? 如:函数的定义域是,则函数的定f xabbaF(xf xfx( )( )()0义域是 _。 (答:,)aa 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? 12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (反解x;互换x、y;注明定义域) - 3 - 如:求函数的反函数f x xx xx ( ) 10 0 2 (答:)fx xx xx 1 11 0 ( ) 13.
4、 反函数的性质有哪些? 互为反函数的图象关于直线yx 对称; 保存了原来函数的单调性、奇函数性; 14. 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性? , ) 15. 如何利用导数判断函数的单调性? - 4 - 在区间,内,若总有则为增函数。(在个别点上导数等于abfxf x()( )0 零,不影响函数的单调性),反之也对,若呢?fx()0 值是() A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 由已知在,上为增函数,则,即f x a a( )1 3 13 a 的最大值为3) 16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对
5、称) 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxf xf x()( )( ) 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxf xf xy()( )( ) 注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个 偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 - 5 - 17. 你熟悉周期函数的定义吗? 函数, T 是一个周期。 ) 如: 18. 你掌握常用的图象变换了吗? f xfxy( )()与的图象关于轴 对称 f xf xx( )( )与的图象关于轴 对称 - 6 - f xfx( )()与的图象关于 原点 对称 f xfxyx( )( )与的图象关于直线对称 1 f x
6、faxxa( )()与的图象关于 直线对称2 f xfaxa( )()()与的图象关于 点,对称20 将图象 左移个单位 右移个单位 yf x a a a a yf xa yf xa ( ) () () () () 0 0 上移个单位 下移个单位 b b b b yf xab yf xab () () () () 0 0 注意如下“翻折”变换: 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗? ( )一次函数:10ykxb k - 7 - ()反比例函数:推广为是中心,200y k x kyb k xa kO ab() 的双曲线。 ( )二次函数图象为抛物线30 2 4 4 2 2 2 yaxbx
7、c aa x b a acb a 应用:“三个二次” (二次函数、二次方程、二次不等式)的关系二次方程 求闭区间 m,n上的最值。 求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。 一元二次方程根的分布问题。 如:二次方程的两根都大于axbxck b a k f k 2 0 0 2 0( ) - 8 - 由图象记性质!(注意底数的限定! ) ( )“对勾函数”60yx k x k 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么? 20. 你在基本运算上常出现错误吗? l o gl o gl o gl o gl o g aaaa n a M N MNM n M, 1 21. 如何解抽象函数问
8、题? (赋值法、结构变换法) - 9 - (),满足,证明是偶函数。2xRf xf xyf xf yf x( )()( )( )( ) 22. 掌握求函数值域的常用方法了吗? (二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性 法,导数法等。 ) 如求下列函数的最值: 23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为,半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗? 24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义 - 10 - 又如:求函数的定义域和值域。yx12 2 cos ()12 2 120cossinxx ,如图:sinx 2 2 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正
9、切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、对称 轴吗? - 11 - yxkkkZs i n的增区间为,2 2 2 2 减区间为,2 2 2 3 2 kkkZ 图象的对称点为,对称轴为kxkkZ0 2 yxkkkZc o s的增区间为,22 减区间为,222kkkZ 图象的对称点为,对称轴为kxkkZ 2 0 yxkkkZt a n的增区间为, 22 26. y = Asinx +正弦型函数的图象和性质要熟记。或yAxcos ( )振幅,周期1 2 | | AT 若,则为对称轴。f xAxx 00 若,则,为对称点,反之也对。f xx 00 00 ()五点作图:令依次为, ,求出与 ,依点
10、20 2 3 2 2xxy ( x, y)作图 象。 ( )根据图象求解析式。(求、 、 值)3A - 12 - 解条件组求、值 正切型函数,yAxTtan | | 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值,再判定角的范 围。 28. 在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗? 29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗? (平移变换、伸缩变换) 平移公式: ( )点( , ) , 平移至 (,),则1Pxy ahk Pxy xxh yyk () ()曲线,沿向量,平移后的方程为,200f xyahkf xhyk()()() 如:函数的图象经过怎样的变
11、换才能得到的yxyx 22 4 1sinsin 图象? - 13 - 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗? “”化为的三角函数“奇变,偶不变,符号看象限”,k 2 “奇” 、 “偶”指 k 取奇、偶数。 如: costansin 9 4 7 6 21 又如:函数,则的值为yy sintan coscot A. 正值或负值B. 负值C. 非负值D. 正值 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式 及其逆向应用了吗? 理解公式之间的联系: - 14 - 应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含三 角函数,能求值,尽可能求值。) 具体方法: ( )角的
12、变换:如,,1 222 (2)名的变换:化弦或化切 (3)次数的变换:升、降幂公式 (4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。 如:已知,求的值。 sincos cos tantan 12 1 2 3 2 (由已知得:, sincos sin cos sin tan 2 2 1 1 2 2 )t ant an t ant an t ant an 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 8 32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解斜三角形? (应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。) 正弦定理: a A b B c C R aRA bRB cRC
13、 sinsinsin sin sin sin 2 2 2 2 ( )求角;1C - 15 - ( )由已知式得:11211 2 coscosABC ()由正弦定理及得:2 1 2 222 abc 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。 反正弦:,arcsinxx 22 11 反余弦:,arccosxx011 反正切:,arctanxxR 22 34. 不等式的性质有哪些? - 16 - 答案: C 35. 利用均值不等式: abab abRababab ab 22 2 22 2 ,;求最值时,你是否注 意到“,”且“等号成立”时的条件,积或和其中之一为定abRabab ()()值?(一正
14、、二 定、三相等) 注意如下结论: 当且仅当时等号成立。ab 如:若,的最大值为xx x 023 4 当且仅当,又,时,)3 4 0 23 3 24 3x x xxymax ( , 最 小 值 为)222 22 222 221xyxy 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗? (比较法、分析法、综合法、数学归纳法等) 并注意简单放缩法的应用。 - 17 - 370. ( ) ( ) 解分式不等式的一般步骤是什么? f x g x a a (移项通分,分子分母因式分解,x 的系数变为1,穿轴法解得结果。 ) 38. 用“穿轴法”解高次不等式“奇穿,偶切”,从最大根的右上方开始 39. 解含有参数
15、的不等式要注意对字母参数的讨论 40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解? (找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。) 例如:解不等式|xx311 (解集为)x x| 1 2 41.| | | | | | | | |会用不等式证明较简单的不等问题ababab 如:设,实数 满足f xxxaxa( )| 2 131 证明: - 18 - (按不等号方向放缩) 42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“”问题) 如:恒成立的最小值af xaf x( )( ) af xaf x( )( )恒成立的最大值 af xaf x( )( )能成立的最小值 例如:对
16、于一切实数,若恒成立,则的取值范围是xxxaa32 (设,它表示数轴上到两定点和 距离之和uxx3223 43. 等差数列的定义与性质 定义:为常数 ,aad daand nnn11 1() 等差中项:, 成等差数列xAyAxy2 前 项和nS aan na n n d n n1 1 2 1 2 性质:是等差数列an ( )数列,仍为等差数列;2 212 aakab nnn ( )若三个数成等差数列,可设为, ,;3adaad ()若,是等差数列,为前项和,则;4 21 21 abSTn a b S T nnnn m m m m ( )为等差数列( , 为常数,是关于的常数项为5 2 aSan
17、bnabn nn 0 的 二次 函数) - 19 - SSanbna nnn 的最值可求二次函数的最值;或者求出中的正、负分界 2 项,即: 当,解不等式组可得达到最大值时的值。ad a a Sn n n n1 1 00 0 0 当,由可得达到最小值时的值。ad a a Sn n n n1 1 00 0 0 如 : 等 差 数 列, 则aSaaaSn nnnnn 1831 123 44. 等比数列的定义与性质 等比中项:、 成等比数列,或xGyGxyGxy 2 前 项和:(要注意)nS naq aq q q n n 1 1 1 1 1 1 () () ! 性质:是等比数列an (),, 仍为等
18、比数列2 232 SSSSS nnnnn 45. 由求时应注意什么?Sa nn (时,时,)naSnaSS nnn 12 111 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗? 例如: (1)求差(商)法 - 20 - 如:满足,aaaan n n n 1 2 1 2 1 2 251 1 2 2 解: naaan n n 2 1 2 1 2 1 2 2152 1 2 2 1 1 时,, 练习 数列满足,求aSSaaa nnnnn111 5 3 4 (注意到代入得:aSS S S nnn n n 11 1 4 又,是等比数列,SSS nn n 1 44 naSS nnn n 234 1 1 时,,
19、(2)叠乘法 例如:数列中,求aa a a n n a n n n n1 1 3 1 解: (3)等差型递推公式 由,求,用迭加法aaf naaa nnn110 ( ) naaf aaf aaf n nn 22 3 21 32 1 时, , 两边相加,得: ( ) ( ) ( ) 练习 - 21 - 数列,求aaaana nn n nn1 1 1 132 (4)等比型递推公式 acad cdccd nn 1010、 为常数, 可转化为等比数列,设axc ax nn 1 是首项为, 为公比的等比数列a d c a d c c n 11 1 练习 数列满足,求aaaaa nnnn11934 ()a
20、n n 8 4 3 1 1 (5)倒数法 例如:,求aa a a a n n n n11 1 2 2 由已知得: 12 2 1 2 1 1a a aa n n nn 11 1 1 2 1 aa n 为等差数列,公差为 - 22 - 47. 你熟悉求数列前n 项和的常用方法吗? 例如: (1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。 如:是公差为的等差数列,求ad a a n kk k n 1 1 1 解: 练习 求和:, , 1 1 12 1 123 1 123n (2)错位相减法: 若为等差数列,为等比数列,求数列(差比数列)前项aba bn nnnn 和,可由求,
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