高中数学人教版必修3教案.pdf
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1、1 第一章算法初步 本章教材分析 算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算科学的重要基础. 算法的应用是学习数学的一 个重要方面 . 学生学习算法的应用, 目的就是利用已有的数学知识分析问题和解决问题.通过 算法的学习 , 对完善数学的思想,激发应用数学的意识, 培养分析问题、 解决问题的能力,增 强进行实践的能力等,都有很大的帮助. 本章主要内容:算法与程序框图、基本算法语句、算法案例和小结. 教材从学生最熟悉的算 法入手, 通过研究程序框图与算法案例,使算法得到充分的应用,同时也展现了古老算法和 现代计算机技术的密切关系. 算法案例不仅展示了数学方法的严谨性、科学性,也为计算机 的应用提供
2、了广阔的空间. 让学生进一步受到数学思想方法的熏陶,激发学生的学习热情. 在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活,从生活中学习数学,使数学在社会生活中 得到应用和提高,让学生体会到数学是有用的,从而培养学生的学习兴趣. “数学建模”也 是高考考查重点. 本章还是数学思想方法的载体,学生在学习中会经常用到“算法思想” “转化思想”,从 而提高自己数学能力. 因此应从三个方面把握本章: (1)知识间的联系; (2)数学思想方法; (3)认知规律 . 本章教学时间约需12 课时,具体分配如下(仅供参考): 1.1.1 算法的概念约 1 课时 1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构约 4 课时
3、1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句约 1 课时 1.2.2 条件语句约 1 课时 1.2.3 循环语句约 1 课时 1.3 算法案例约 3 课时 本章复习约 1 课时 1.1 算法与程序框图 1.1.1 算法的概念 整体设计 教学分析 算法在中学数学课程中是一个新的概念,但没有一个精确化的定义,教科书只对它作了如下 描述:“在数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤. ”为了 让学生更好理解这一概念,教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发,归 纳出了二元一次方程组的求解步骤,这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法. 教学中, 应从学生非常熟悉的例子引出
4、算法,再通过例题加以巩固. 三维目标 1. 正确理解算法的概念, 掌握算法的基本特点. 2. 通过例题教学,使学生体会设计算法的基本思路. 3. 通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时,激发学生学习数学的兴趣. 重点难点 教学重点:算法的含义及应用. 教学难点:写出解决一类问题的算法. 课时安排 2 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1(情境导入) 一个人带着三只狼和三只羚羊过河,只有一条船, 同船可容纳一个人和两只动物,没有人在 的时候,如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊. 该人如何将动物转移过河?请同学 们写出解决问题的步骤,解决这一问题将要用到我们今天学习的内容算法. 思路
5、2(情境导入) 大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧,宋丹丹说了一个笑话,把大象装进冰箱总共分几 步? 答案: 分三步,第一步:把冰箱门打开;第二步:把大象装进去;第三步:把冰箱门关上. 上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法,今天我们开始学习算法的概念. 思路 3(直接导入) 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里,计 算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡 通画、处理数据,计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)解二元一次方程组有几种方法? (2)结合
6、教材实例 )2(, 12 ) 1( , 12 yx yx 总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤. (3)结合教材实例 )2(, 12 ) 1( , 12 yx yx 总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤. (4)请写出解一般二元一次方程组的步骤. (5)根据上述实例谈谈你对算法的理解. (6)请同学们总结算法的特征. (7)请思考我们学习算法的意义. 讨论结果: (1)代入消元法和加减消元法. (2)回顾二元一次方程组 )2(, 12 ) 1( , 12 yx yx 的求解过程,我们可以归纳出以下步骤: 第一步, +2,得5x=1. 第二步,解,得x= 5 1 . 第三步, - 2,得 5
7、y=3. 第四步,解,得y= 5 3 . 3 第五步,得到方程组的解为 . 5 3 , 5 1 y x (3) 用代入消元法解二元一次方程组 )2(, 12 ) 1( , 12 yx yx 我们可以归纳出以下步骤: 第一步,由得x=2y1. 第二步,把代入,得2(2y 1)+y=1. 第三步,解得y= 5 3 . 第四步,把代入,得x=2 5 3 1= 5 1 . 第五步,得到方程组的解为 . 5 3 , 5 1 y x (4) 对于一般的二元一次方程组 )2( , ) 1( , 222 111 cybxa cybxa 其中 a1b2a2b10, 可以写出类似的求解步骤: 第一步,b2- b1
8、,得 (a1b2 a2b1)x=b2c1 b1c2. 第二步,解,得x= 1221 2112 baba cbcb . 第三步,a1- a2,得( a1b2a2b1)y=a1c2a2c1. 第四步,解,得y= 1221 1221 baba caca . 第五步,得到方程组的解为 . , 1221 1221 1221 2112 baba caca y baba cbcb x (5) 算法的定义:广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤,那么我们可以说洗衣机的使 用说明书是操作洗衣机的算法,菜谱是做菜的算法等等. 在数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤. 现在,算法通常可以编
9、成计算机程序,让计算机执行并解决问题. (6) 算法的特征: 确定性: 算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏 . “不重”是指不 是可有可无的, 甚至无用的步骤,“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务. 逻辑性:算 4 法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣,分工明确, “前一步”是“后 一步”的前提,“后一步”是“前一步”的继续. 有穷性:算法要有明确的开始和结束, 当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果,也就是说必须在有限步内完成任务, 不能无限制地持续进行. (7) 在解决某些问题时,需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题,这些步骤称 为解决这些问题的算
10、法. 也就是说, 算法实际上就是解决问题的一种程序性方法. 算法一般是 机械的,有时需进行大量重复的计算,它的优点是一种通法,只要按部就班地去做,总能得 到结果 . 因此算法是计算科学的重要基础. 应用示例 思路 1 例 1 ( 1)设计一个算法,判断7 是否为质数 . (2)设计一个算法,判断35 是否为质数 . 算法分析:( 1)根据质数的定义,可以这样判断:依次用26 除 7,如果它们中有一个能 整除 7,则 7 不是质数,否则7 是质数 . 算法如下:( 1)第一步,用2 除 7,得到余数1. 因为余数不为0,所以 2 不能整除7. 第二步,用3 除 7,得到余数1. 因为余数不为0,
11、所以 3 不能整除7. 第三步,用4 除 7,得到余数3. 因为余数不为0,所以 4 不能整除7. 第四步,用5 除 7,得到余数2. 因为余数不为0,所以 5 不能整除7. 第五步,用6 除 7,得到余数1. 因为余数不为0,所以 6 不能整除7. 因此, 7 是质数 . (2)类似地,可写出“判断35 是否为质数”的算法:第一步,用2 除 35,得到余数1. 因 为余数不为0,所以 2 不能整除35. 第二步,用3 除 35,得到余数2. 因为余数不为0,所以 3 不能整除35. 第三步,用4 除 35,得到余数3. 因为余数不为0,所以 4 不能整除35. 第四步,用5 除 35,得到余
12、数0. 因为余数为0,所以 5 能整除 35. 因此, 35 不是质数 . 点评: 上述算法有很大的局限性,用上述算法判断35 是否为质数还可以,如果判断1997 是否为质数就麻烦了,因此,我们需要寻找普适性的算法步骤. 变式训练 请写出判断n(n2) 是否为质数的算法. 分析: 对于任意的整数n(n2) ,若用 i 表示 2(n-1) 中的任意整数,则“判断n 是否为质 数”的算法包含下面的重复操作:用i 除 n, 得到余数r. 判断余数r 是否为 0,若是,则不 是质数;否则,将i 的值增加1,再执行同样的操作. 这个操作一直要进行到i 的值等于 (n-1) 为止 . 算法如下:第一步,给
13、定大于2的整数 n. 第二步,令i=2. 第三步,用i 除 n, 得到余数r. 第四步,判断“ r=0”是否成立. 若是,则n 不是质数,结束算法;否则,将i 的值增加1, 仍用 i 表示 . 第五步,判断“ i ( n-1 )”是否成立 . 若是,则 n 是质数,结束算法;否则,返回第三步. 例 2 写出用“二分法”求方程x 2-2=0 (x0) 的近似解的算法. 分析: 令 f(x)=x 2-2, 则方程 x2-2=0 (x0) 的解就是函数f(x)的零点 . “二分法”的基本思想是:把函数 f(x)的零点所在的区间 a,b (满足 f(a) f(b)2) 是否为质数”的算法. 解: 程序
14、框图如下: 点评: 程序框图是用图形的方式表达算法,使算法的结构更清楚,步骤更直观也更精确. 这 里只是让同学们初步了解程序框图的特点,感受它的优点,暂不要求掌握它的画法. 变式训练 观察下面的程序框图,指出该算法解决的问题. 10 解:这是一个累加求和问题,共 99 项相加, 该算法是求 10099 1 43 1 32 1 21 1 的值 . 例 2 已知一个三角形三条边的边长分别为a,b, c,利用海伦秦九韶公式设计一个计算 三角形面积的算法,并画出程序框图表示. (已知三角形三边边长分别为a,b,c ,则三角形 的面积为S=)()(cpbpapp) ,其中p= 2 cba . 这个公式被
15、称为海伦秦九韶 公式) 算法分析: 这是一个简单的问题,只需先算出p 的值,再将它代入分式,最后输出结果. 因 此只用顺序结构应能表达出算法. 算法步骤如下: 第一步,输入三角形三条边的边长a,b,c. 第二步,计算p= 2 cba . 第三步,计算S=)()(cpbpapp. 第四步,输出S. 程序框图如下: 点评: 很明显,顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,它是最简单的逻辑结构,它是 任何一个算法都离不开的基本结构. 变式训练 下图所示的是一个算法的流程图,已知a1=3,输出的b=7, 求 a2的值 . 11 解: 根据题意 2 21 aa =7, a1=3,a2=11. 即 a2的
16、值为 11. 例 3 写出通过尺轨作图确定线段AB的一个 5 等分点的程序框图. 解: 利用我们学过的顺序结构得程序框图如下: 点评: 这个算法步骤具有一般性,对于任意自然数n,都可以按照这个算法的思想,设计出 确定线段的n 等分点的步骤,解决问题,通过本题学习可以巩固顺序结构的应用. 知能训练 有关专家建议,在未来几年内,中国的通货膨胀率保持在3% 左右,这将对我国经济的稳 定有利无害 . 所谓通货膨胀率为3% , 指的是每年消费品的价格增长率为3%. 在这种情况下, 某种品牌的钢琴2004 年的价格是10 000 元,请用流程图描述这种钢琴今后四年的价格变化 情况,并输出四年后的价格. 解
17、: 用 P表示钢琴的价格,不难看出如下算法步骤: 2005 年 P=10 000( 1+3% )=10 300 ; 2006 年 P=10 300( 1+3% )=10 609 ; 2007 年 P=10 609( 1+3% )=10 927.27 ; 2008 年 P=10 927.27( 1+3% )=11 255.09 ; 因此,价格的变化情况表为: 年份2004 2005 2006 2007 2008 钢琴的价格10 000 10 300 10 609 10 927.27 11 255.09 程序框图如下: 12 点评: 顺序结构只需严格按照传统的解决数学问题的解题思路,将问题解决掉.
18、 最后将解题 步骤“细化”就可以 . “细化”指的是写出算法步骤、画出程序框图. 拓展提升 如下给出的是计算 20 1 6 1 4 1 2 1 的值的一个流程图,其中判断框内应填入的条件是 _. 答案: i10. 课堂小结 (1)掌握程序框的画法和功能. (2)了解什么是程序框图,知道学习程序框图的意义. (3)掌握顺序结构的应用,并能解决与顺序结构有关的程序框图的画法. 作业 习题 1.1A 1. 设计感想 首先,本节的引入新颖独特,旅游图的故事阐明了学习程序框图的意义. 通过丰富有趣的事 例让学生了解了什么是程序框图,进而激发学生学习程序框图的兴趣. 本节设计题目难度适 中,逐步把学生带入
19、知识的殿堂,是一节好的课例. 第 2 课时条件结构 导入新课 13 思路 1(情境导入) 我们以前听过这样一个故事,野兽与鸟发生了一场战争,蝙蝠来了,野兽们喊道:你有牙齿 是我们一伙的,鸟们喊道:你有翅膀是我们一伙的,蝙蝠一时没了主意. 过了一会儿蝙蝠有 了一个好办法, 如果野兽赢了,就加入野兽这一伙,否则加入另一伙,事实上蝙蝠用了分类 讨论思想, 在算法和程序框图中也经常用到这一思想方法,今天我们开始学习新的逻辑结构 条件结构 . 思路 2(直接导入) 前面我们学习了顺序结构,顺序结构像是一条没有分支的河流,奔流到海不复回,事实上多 数河流是有分支的,今天我们开始学习有分支的逻辑结构条件结构
20、. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)举例说明什么是分类讨论思想? (2)什么是条件结构? (3)试用程序框图表示条件结构. (4)指出条件结构的两种形式的区别. 讨论结果: (1)例如解不等式ax8(a0), 不等式两边需要同除a, 需要明确知道a 的符号,但条件没 有给出,因此需要进行分类讨论,这就是分类讨论思想. (2)在一个算法中,经常会遇到一些条件的判断,算法的流程根据条件是否成立有不同的 流向 . 条件结构就是处理这种过程的结构. (3)用程序框图表示条件结构如下 条件结构: 先根据条件作出判断,再决定执行哪一种操作的结构就称为条件结构(或分支结 构) ,如图 1 所示 . 执行
21、过程如下:条件成立,则执行A框;不成立,则执行B框 图 1 图 2 注:无论条件是否成立,只能执行A、B之一,不可能两个框都执行A、B两个框中,可以 有一个是空的,即不执行任何操作,如图2. (4)一种是在两个“分支”中均包含算法的步骤,符合条件就执行“步骤A”,否则执行 “步骤 B”;另一种是在一个“分支”中均包含算法的步骤A,而在另一个“分支”上不包 含算法的任何步骤,符合条件就执行“步骤A”,否则执行这个条件结构后的步骤. 应用示例 例 1 任意给定3 个正实数,设计一个算法,判断以这3 个正实数为三边边长的三角形 是否存在,并画出这个算法的程序框图. 算法分析: 判断以3 个任意给定的
22、正实数为三条边边长的三角形是否存在,只需验证这3 个数中任意两个数的和是否大于第3 个数 . 这个验证需要用到条件结构. 算法步骤如下: 第一步,输入3 个正实数a,b, c. 14 第二步,判断a+bc, b+ca, c+ab 是否同时成立. 若是,则存在这样的三角形;否则,不 存在这样的三角形. 程序框图如右图: 点评: 根据构成三角形的条件,判断是否满足任意两边之和大于第三边,如果满足则存在这 样的三角形,如果不满足则不存在这样的三角形. 这种分类讨论思想是高中的重点,在画程 序框图时,常常遇到需要讨论的问题,这时要用到条件结构. 例 2 设计一个求解一元二次方程ax 2 +bx+c=0
23、 的算法,并画出程序框图表示. 算法分析: 我们知道,若判别式=b 2-4ac0 ,则原方程有两个不相等的实数根 x1= a b 2 ,x2= a b 2 ; 若 =0,则原方程有两个相等的实数根x1=x2= a b 2 ; 若 b 是否成立,若成立,则执行第三步;否则执行第四步. 第三步,判断ac 是否成立,若成立,则输出a,并结束;否则输出c,并结束 . 第四步,判断bc 是否成立,若成立,则输出b,并结束;否则输出c,并结束 . 程序框图如下: 点评: 条件结构嵌套与条件结构叠加的区别: (1) 条件结构叠加, 程序执行时需依次对“条件1”“条件 2”“条件3”, 都进行判断, 只有遇到
24、能满足的条件才执行该条件对应的操作. (2)条件结构的嵌套中,“条件2”是“条件1”的一个分支,“条件3”是“条件2”的 17 一个分支 , 依此类推,这些条件中很多在算法执行过程中根据所处的分支位置不同可能不 被执行 . (3) 条件结构嵌套所涉及的“条件2”“条件 3”, 是在前面的所有条件依次一个一个的 满足“分支条件成立”的情况下才能执行的此操作,是多个条件同时成立的叠加和复合. 例 5 “特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式. 某快 递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算: f= ).50( ,85. 0)50(53. 050 ),50(
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