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1、第 1 页共 4 页 双曲线及其标准方程 王彪 2009年 12 月 一、教学目标: 1. 掌握双曲线的定义; 2.推导双曲线的标准方程; 3.掌握两类标准方程,会求双曲线的方程; 二、教学重点:双曲线的定义及应用 三、教学难点:(1)推导双曲线的方程; (2)双曲线方程的应用与求解 四、教学过程: 教学过程设计意图 一、 复 习 与 回 顾 1. 复习椭圆的定义 (注意定义中ca22这一条件); 2. 椭圆的标准方程及 a、b、 c之间的关系 1 2 2 2 2 b y a x 或1 2 2 2 2 b x a y ( 222 cba) 焦点)0 ,( c),0(c 回 顾 旧 知 识,为双
2、曲 线 内 容 的 学 习 作 准 备 二、 双 曲 线 的 定 义 1. 利用多媒体演示拉链实习,让学生自己总结出双曲线 的定义; 2. 要注意双曲线定义的条件、绝对值; 3. 要注意对ca22;ca22,ca22及0a等情况的 讨论; 注意:在|20 21F Fa条件下: aPFPF2| 21 时为双曲线的一支(含 2 F 的一支) ; aPFPF2| 12 时为双曲线的另一支 (含 1 F 的一支) 当|2 21F Fa时,aPFPF2| 21 表示两条射线 . 当|2 21F Fa时,aPFPF2| 21 不表示任何图形 . 两定点 1 F 、 2 F 叫做双曲线的焦点,| 21F F
3、叫做焦距 . 让 学 生 对 照 椭 圆 的 定义,自主 得 出 双 曲 线的定义, 并 讨 论 条 件 发 生 改 变时,方程 所 表 示 的 曲线,为双 曲 线 标 准 方 程 的 推 导做准备 第 2 页共 4 页 三、 双 曲 线 标 准 方 程 的 推 导 标准方程的推导: 取过焦点 21F F的直线为 x轴,线段 21F F的垂直平分 线为y轴。设),(yxP为双曲线上的任意一点, 双曲线的焦 距是c2)0(c. 则:)0 ,( 1 cF、)0,( 2 cF, 又设M与 21F F距 离之差的绝对值等于a2常数) aPFPFPP2 21 22 1 )(ycxPF又, aycxycx
4、2)()( 2222 , 化 简 , 得 :)()( 22222222 acayaxac, 由 定 义 ca220 22 ac令 222 bac代 入 , 得 : 222222 bayaxb,两边同除 22b a得:1 2 2 2 2 b y a x ,此 即为双曲线的标准方程。它所表示的双曲线的焦点在 x轴 上,焦点是)0,( 1 cF、)0 ,( 2 cF,其中 222 bac 若坐标系的选取不同,可得到双曲线的不同的方程: 若焦点在y轴上,则焦点是), 0( 1 cF、),0( 2 cF,将 x 、y 互换,得到1 2 2 2 2 b x a y ,也是双曲线的标准方程. 让 学 生 熟
5、 悉 推 导 曲 线 方 程 的 一般过程, 同 时 培 养 学 生 自 主 运算、化简 的能力;通 过 亲 身 推 导 双 曲 线 的方程,深 刻 体 会 双 曲线中 a 、 b、 c之间 的关系,能 够 与 椭 圆 中 a、b、c 之 间 的 关 系 区 别 开 来 四、 双 曲 线 标 准 方 程 的 应 用 例 1判断下列方程是否表示双曲线,若是,求出其焦点 的坐标 . 1 24 22 yx 1 22 22 yx 1 24 22 yx 3694 22 xy 通 过 练 习 使 学 生 能 够 判 断 所 给 出 的 方 程 是 否 表 示双曲线, 并 判 断 出 焦 点 所 在 坐标轴
6、 第 3 页共 4 页 四、 双 曲 线 标 准 方 程 的 应 用 变式训练一、如果方程1 12 22 m y m x 表示双曲线,求 m 的取值范围。 变式训练二、如果方程1 12 2 2 m y m x 表示双曲线,求 m 取值范围。 变式训练三、如果方程 1 1|2 22 m y m x 表示焦点在y上的 双曲线时,求 m 的取值范围与焦点坐标。 通 过 变 式 训练,让学 生 深 刻 体 会 到 双 曲 线 方 程 的 本 质 及 与 椭 圆 方 程 的区别 五、 双 曲 线 标 准 方 程 与 定 义 应 用 例题 2、已知两定点为)0 ,5(),0,5( 21 FF,曲线C上一点
7、P 到 21,F F的距离的差的绝对值等于6,求曲线C的标准方 程. 练习: 4. 已知 21,F F是椭圆1 34 22 yx 的两个焦点,平面内一个 动点M满足2| 21 MFMF, 则动点M的轨迹是() A.双曲线 B. 双曲线的一个分支C.两条射线 D. 一条射线 5. 过双曲线1 34 22 yx 左焦点 1 F 的直线交双曲线的左支 于M、N两点 , 2 F为 其 右 焦 点 , 则 | 22 NFMF| MN_ 通 过 本 例 题 使 学 生 掌 握 用 定 义 法 求 解 双 曲 线 的 方程,两个 练 习 主 要 是 针 对 双 曲 线 定 义 的 应 用 来 设置的,让 学 生 进 一 步 理 解 双 曲 线 的 定 义,并能够 灵活应用 六、 求 解 双 曲 线 例题 3、ABC一边的两个端点是)6,0(B和)6,0(C,另 两边所在直线的斜率之积是 9 4 ,求顶点A的轨迹 . 进 一 步 强 化 曲 线 方 程的求解, 同 时 应 该 注 意 指 出 本 例 中 的 常 数 若 为
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