高中数学奥林匹克竞赛试题.pdf
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1、第 1 页 共 6 页 高中数学奥林匹克竞赛试题 (9 月 7 日上午 9:00-11 :00) 注意事项:本试卷共18 题,满分150 分 一、选择题(本大题共6 个小题,每小题6 分,满分36 分) 1. 定义在实数集R上的函数 yf( x) 的反函数是yf 1( x) ,则 (A)y f(x)是奇函数(B)y f(x) 是偶函数 (C)y f(x)既是奇函数,也是偶函数(D)y f(x) 既不是奇函数,也不是偶函数 2. 二次函数yax 2bxc 的图象如右图所示。记 N|a bc| |2a b| ,M |a b c| |2a b| ,则 (A)MN (B)MN (C)MN (D)M、N
2、的大小关系不能确定 3. 在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异 面的正方体的棱的条数是 (A) 4或 5 或 6或 7 (B) 4或 6 或 7 或 8 (C) 6或 7 或 8 (D) 4或 5 或 6 4. ABC中,若 (sinA sinB)(cosAcosB) 2sinC ,则 (A) ABC是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B) ABC是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C) ABC既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D) ABC既是等腰三角形也是直角三角形 5. ABC中, C 90。若 sinA 、sinB 是一元二次方程x 2 pxq 0 的两个根, 则下列
3、关 系中正确的是 (A)p q21 且 q 2 1 (B)p q21且 q 2 1 (C)p q21且 q 2 1 (D)p q21且 0q 2 1 6. 已知 A( 7, 0) 、B ( 7,0) 、C(2, 12)三点,若椭圆的一个焦点为C,且过 A 、 B两 点,此椭圆的另一个焦点的轨迹为 (A) 双曲线(B) 椭圆 (C) 椭圆的一部分(D) 双曲线的一部分 二、填空题(本大题共6 个小题,每小题6 分,满分36 分) 7. 满足条件 1 ,2,3 X 1 ,2,3,4, 5,6 的集合 X的个数为。 8. 函数 a|ax | xa )x(f 22 为奇函数的充要条件是。 9. 在如图
4、所示的六块土地上,种上甲或乙两种蔬菜(可只种其中一种,也可两种都种) ,要 求相邻两块土地上不都种甲种蔬菜,则种蔬菜的方案数共有种。 10. 定义在 R上的函数yf(x) ,它具有下述性质: (i) 对任何 xR ,都有 f(x 3) f3(x) , (ii)对任何 x1、x2R,x1x2,都有 f(x 1) f(x2) , x y 1 1 0 第 2 页 共 6 页 则 f(0) f(1) f( 1) 的值为。 11. 已知复数 z 满足3zzzz,且 3 ) 1zarg(,则 z。 12. 已知动点 P (x,y)满足二次方程10x2xy2y10,则此二次曲线的离心率为 。 三、解答题(本
5、大题共6 个小题,满分78 分) 13. (本题满分12 分) 如图,在棱长为a 的正方体ABCD A1B1C1D1中, E、F分别是棱AB与 BC的中点。 ( ) 求二面角B FB1E的大小; ( ) 求点 D到平面 B1EF的距离; ( ) 在棱 DD1上能否找到一点M ,使 BM 平面 EFB1? 若能,试确定点M的位置;若不能,请说明理由。 14. (本题满分13 分) 关于 x 的一元二次方程2x 2tx 20 的两个根为 、( ) 。 ( ) 若 x1、x2为区间 ,上的两个不同的点,求证:4x1x2 t(x1x2)40; ( ) 设 1x tx4 )x(f 2 ,f(x)在区间
6、, 上的最大值和最小值分别为fmax和 fmin,g(t) fmaxfmin,求 g(t) 的最小值。 15. (本题满分13 分) 已知 a11,a23,an2(n 3)an1(n 2)an,若当 m n 时, am的值都能被9 整除, 求 n 的最小值。 16. (本题满分13 分) 一台计算机装置的示意图如图,其中J1、J2表示数据入口,C是计算结 果的出口。计算过程是由J1、J2分别输入自然数m和 n,经过计算后得自然 数 K由 C输出。若此装置满足以下三个性质:J1、 J2分别输入 1,则输出 结果 1; 若 J1输入任何固定自然数不变,J2输入自然数增大1,则输出结果比 原来增大2
7、; 若 J2输入 1,J1输入自然数增大1,则输出结果为原来的2 倍,试问: J1J2 C m n K 计算机装置 A B C D A1 B1 C1D1 E F 第 3 页 共 6 页 ( ) 若 J1输入 1,J2输入自然数n,则输出结果为多少? ( ) 若 J2输入 1,J1输入自然数m ,则输出结果为多少? ( ) 若 J1输入自然数2002,J2输入自然数9,则输出结果为多少? 17. (本题满分13 分) 以 A 为圆心,以2cos ( 4 2 )为半径的圆外有一点B,已知 |AB| 2sin 。 设过点 B且与圆 A外切于点 T 的圆的圆心为M 。 ()当 取某个值时,说明点M的轨
8、迹 P是什么曲线; ()点 M是轨迹 P上的动点,点N是圆 A上的动点,把 |MN|的最小值记为f( )(不 要求证明),求 f( ) 的取值范围; ()若将题设条件中的的范围改为( 0 4 ,点 B的位置改为圆内,其它条 件不变,点M的轨迹记为P。试提出一个和具有相同结构的有意义的问题(不要求解答)。 18. (本题满分14 分) 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,其体对角线长为l ,试证: (l 4a4)(l4b4)(l4 c 4) 512a4b4c4。 湖南省 2002年高中数学竞赛试题解答 一、选择题(本大题共6 个小题,每小题6 分,满分36 分) 1. 解:由 y f 1( x
9、) 得 f(y) x,故 y f(x)是 yf 1( x) 的反函数, 即 f(x) f( x) 。所以 yf(x)是奇函数,选(A) 。 注:也可以先求得yf( x) 的反函数为y f 1(x) ,进而知 yf1(x) 是奇函数,故 yf(x)是奇函数。 2. 解:如图, f(1) abc 0,f( 1) a bc0,a0,f(0) c0, a2 b 1。 从而 b0, 2ab 0,2a b0,ac 0。 故 M N|a bc| |2a b| |a b c| |2a b| (a bc) (a b c) (2a b) (2a b) 2(a c) 0,所以选( C) 。 3. 解:由图形可知应当
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