高中数学必修1指数函数的图像与性质.pdf
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1、第 1 页 共 8 页 指数函数的图像与性质 【教学目标】 (1)使学生了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系; (2)理解指数函数的的概念和意义,能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函 数的单调性和特殊点; (3)在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如具体到一般的过程、 数形结合的方法等 【教学重难点】 教学重点:指数函数的的概念和性质 教学难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质 【教学过程】 情景导入、展示目标 1 (合作讨论) 人口问题是全球性问题,由于全球人口迅猛增加,已引起全世界关注 世 界人口 2000 年大约是 6
2、0 亿,而且以每年1.3%的增长率增长,按照这种增长速度,到2050 年世界人口将达到100 多亿,大 有“人口爆炸”的趋势为此,全球范围内敲起了人口警 钟,并把每年的7 月 11 日定为“世界人口日” ,呼吁各国要控制人口增长为了控制人口过 快增长,许多国家都实行了计划生育 我国人口问题更为突出,在耕地面积只占世界7%的国土上,却养育着22%的世界人 口因此,中国的人口问题是公认的社会问题2000 年第五次人口普查,中国人口已达到 13 亿,年增长率约为1%为了有效地控制人口过快增长,实行计划生育成为我国一项基本 国策 1 按照上述材料中的1%的增长率,从2000 年起, x 年后我国的人口
3、将达到2000 年的 多少倍? 2 到 2050 年我国的人口将达到多少? 3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响? 2 上一节中 GDP 问题中时间x 与 GDP 值 y 的对应关系y=1.073 x(xN*, x20)能 否构成函数? 3一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的84%,那么 以时间 x 年为自变量,残留量y 的函数关系式是什么? 上面的几个函数有什么共同特征? 检查预习、交流展示 1根据预习说以下你是怎么理解指数函数的定义? 2指数函数的性质有哪些? 合作探究、精讲精练 探究点 一:指数函数的概念 一般地, 函数) 1a, 0a(ay x
4、 且叫做指数函数 (exponential function ) ,其中 x 是自 变量,函数的定义域为R来源 学科网 ZXXK 注意: 1 指数函数的定义是一个形式定义,要引导学生辨析; 第 2 页 共 8 页 2 注意指数函数的底数的取值范围,引导学生分析底数为什么不能是负数、零 和 1 例:指出下列函数那些是指数函数: () 4 x y() x y 4 () 4 x y() )4 ( x y() y x (6) x y 2 4(7) x x y()) 1, 2 1 ( ) 12 aay a x 解析:利用指数函数的定义解决这类问题。 解: () , () , ()为指数函数 ()是幂函数
5、 ()是与指数函数的乘积()中底数,不是指数函数 () 中指数不是自变量,而是 x 2 的函数()中底数不是常数 点评:准确理解指数函数的定义是解好本题的关键 变式训练一:函数 2 (33) x ya aa 是指数函数,则有() 或且1a 答案 :C 探究点二:指数函数的图象和性质 问题:你能类比前面讨论函数性质时的思路, 提出研究指数函数性质的内容和方法吗? 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性 探索研究: 1在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1) x ) 3 1 (y (2) x ) 2 1 (y (3) x 2
6、y (4) x 3y (5) x 5y 2 从画出的图象中你能发现函数 x 2y的图象和函数 x ) 2 1 (y的图象有什么关系?可 否利用 x 2y的图象画出 x ) 2 1 (y的图象? 3从画出的图象( x 2y、 x 3y和 x 5y)中,你能发现函数的图象与其底数之间 有什么样的规律? 4你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗? 图象特征函数性质 1a1a01a1a0 向 x、y 轴正负方向无限延伸函数的定义域为R 第 3 页 共 8 页 图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方函数的值域为R + 函数图象都过定点(0,1) 1a 0 自左向右看,
7、 图象逐渐上升 自左向右看, 图象逐渐下降 增函数减函数 在第一象限内的图 象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于1 1a,0x x 1a,0x x 在第二象限内的图 象纵坐标都小于1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于1 1a,0x x 1a, 0x x 图象上升趋势是越 来越陡 图象上升趋势是越 来越缓 函数值开始增长较 慢,到了某一值后 增长速度极快; 函数值开始减小极 快,到了某一值后 减小速度较慢; 5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在 a,b上,) 1a0a(a)x(f x 且值域是)b(f),a(f 或)a(f),b(f ; (2)若0x,则1)x(f;
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