高中数学必修一知识讲解,巩固练习(复习补习,期末复习资料):09【提高】函数的单调性.pdf
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1、1 单调性与最大(小)值 【学习目标】 1.理解函数的单调性定义; 2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性 【要点梳理】 要点一、函数的单调性 1增函数、减函数的概念 一般地,设函数f(x) 的定义域为A,区间DA : 如果对于D内的任意两个自变量的值x1、 x2,当 x1f(x 2),那么就说f(x) 在区间D上 是减函数 . 要点诠释: (1)属于定义域A 内某个区间上; (2)任意两个自变量 12 ,x x且 12 xx; (3)都有 1212 ()()()()f xf xfxfx或; (4)图象特征:在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的,减函数的图象从左向右是下降的
2、. 2单调性与单调区间 (1)单调区间的定义 如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数f(x) 在区间D上具有单调性,D称为函数 f(x) 的单调区间 . 函数的单调性是函数在某个区间上的性质. 要点诠释: 单调区间与定义域的关系-单调区间可以是整个定义域,也可以是定义域的真子集; 单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的; 不能随意合并两个单调区间; 有的函数不具有单调性. (2)已知解析式,如何判断一个函数在所给区间上的单调性? 3函数的最大(小)值 一般地,设函数( )yf x的定义域为 I ,如果存在实数M满足: 对于任意的xI,都有( )fxM
3、(或( )f xM) ; 存在 0 xI,使得 0 ()f xM,那么,我们称M是函数( )yf x的最大值(或最小值). 要点诠释: 最值首先是一个函数值,即存在一个自变量 0 x,使 0 ()f x等于最值; 对于定义域内的任意元素x,都有 0 ( )()fxf x(或 0 ( )()f xf x) ,“ 任意 ” 两字不可省; 使函数( )f x取得最值的自变量的值有时可能不止一个; 2 函数( )f x在其定义域 (某个区间) 内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标;最小值的几何 意义是图象上最低点的纵坐标. 4.证明函数单调性的步骤 (1)取值 .设 12 xx,是( )f x定
4、义域内一个区间上的任意两个量,且 12 xx; (2)变形 .作差变形(变形方法:因式分解、配方、有理化等)或作商变形; (3)定号 .判断差的正负或商与1 的大小关系; (4)得出结论 . 5.函数单调性的判断方法 (1)定义法; (2)图象法; (3)对于复合函数,若在区间ab,上是单调函数,则在区间 ( )( )g ag b,或者( )( )g bg a,上是单调函数; 若tg x与yf t单调性相同 (同时为增或同时为 减) ,则为增函数;若tg x与yf t单调性相反,则yfg x为减函数 . 要点二、基本初等函数的单调性 1正比例函数(0)ykx k 当 k0 时,函数ykx在定义
5、域R 是增函数;当k0 时,函数ykxb在定义域R 是增函数;当k0,在区间( 2 b a ,函数是减函数;在区间) 2 b a ,+,函数是增函数; 若 a0 x1f(x 2) 1 f (x)x x 在区间-1,0上是减函数 . 同理:函数 1 f(x)x x 在区间0,1是减函数 , 函数 1 f (x)x x 在区间 1,+是增函数 . (2)函数 1 ( )fxx x 的图象如下 【总结升华】 (1)证明函数单调性要求使用定义; (2)如何比较两个量的大小?(作差 ) (3)如何判断一个式子的符号?(对差适当变形) 举一反三: 【变式 1】讨论函数( )(0) a f xxa x 的单
6、调性,并证明你的结论. 【解析】设 12 0xxa,则 12 0xx, 121212 0,0,0x xx xax xa. 1212 1212 1212 ()() ()()0 xxx xaaa f xf xxx xxx x ,即 12 ()()f xf x. ( )f x在0,a 上单调递减 . 同理可得( )f x在 ,a 上单调递增;在 ,a 上单调递增;在 ,0a 上单调递减 . 故函数( )f x在 ,a 和 ,a 上单调递增;在 ,0a 和 0,a 上单调递减 . 类型二、求函数的单调区间 例 2. 判断下列函数的单调区间; (1)y=x 2-3|x|+2; (2) 2 |1|(-2)
7、yxx 5 【思路点拨】对x进行讨论,把绝对值和根号去掉,画出函数图象。 【答案】(1)f(x) 在 3 - 2 ,上递减,在 33 -,00, 22 上递增,在上递减,在 3 + 2 ,上递增 . (2)f(x) 在-12 +,上递减,在,上递增 . 【解析】 (1)由图象对称性,画出草图 f(x) 在 3 - 2 ,上递减,在 33 -,00, 22 上递增,在上递减,在 3 + 2 ,上递增 . (2) -23 (1) |1|- 2|1 (12) 2 - 3 (2) xx yxxx xx 图象为 f(x) 在-12 +,上递减,在,上递增 . 举一反三: 【变式 1】求下列函数的单调区间
8、: (1)y=|x+1| ;(2) 1 21 y x ;(3) 2 1 y x ; (4)y=|x 2-2x-3|. 【答案】(1)函数的减区间为1,,函数的增区间为(-1,+) ; (2) , 2 1 , 2 1 , 1x2 1 y在上为减函数; (3) 2 x 1 y单调增区间为:(- ,0),单调减区间为(0,+) ; (4)单调减区间是(- ,-1) , (1,3) ;单调增区间是(-1,1) , (3,+). 6 【解析】 (1) )1x( 1x )1x(1x y画出函数图象, 函数的减区间为1,,函数的增区间为(-1,+) ; (2)定义域为 u 1 y, 1x2u, 2 1 2
9、1 ,,设,其中u=2x-1 为增函数, u 1 y在(- ,0)与 (0,+) 为减函数,则, 2 1 , 2 1 , 1x2 1 y在上为减函数; (3)定义域为 (- ,0)(0,+) , 2 x 1 y单调增区间为:(-,0),单调减区间为(0, + ). (4)先画出 y=x 2-2x-3,然后把 x轴下方的部分关于x轴对称上去,就得到了所求函数的图象,如下图 所以 y=|x 2 -2x-3|的单调减区间是(-,-1) , (1,3) ;单调增区间是(-1,1) , (3,+ ). 【总结升华】 (1)数形结合利用图象判断函数单调区间; (2)关于二次函数单调区间问题,单调性变化的点
10、与对称轴相关. (3)复合函数的单调性分析:先求函数的定义域;再将复合函数分解为内、外层函数;利用已知函数 的单调性解决.关注:内外层函数同向变化复合函数为增函数;内外层函数反向变化复合函数为减函数. 例 3.已知函数( )yf x的定义域为R,且对任意的x、 xR均有 ()( )()fxxf xf x,且对 任意的0x,都有( )0,(3)3f xf. (1)试说明:函数( )yf x是R上的单调递减函数; (2)试求函数( )yf x在,m n(,m nZ且0mn)上的值域 . 【思路点拨】(1)可根据函数单调性的定义进行论证,考虑证明过程中如何利用题设条件;(2)由 ( 1) 的结论可知
11、()f m、( )f n分别是函数( )yf x在,m n上的最大值与最小值,故求出()f m与( )f n就可 得所求的值域. 【答案】(1)证明略;(2), n m 【解析】 (1) 任取 1 x、 2 xR, 且 12 xx, 2121 ()()fxf xxx, 于是由题设条件 ()( )()f xxf xf x 7 可知: 2121 ()()()f xfxfxx. 1221 ,0xxxx 对任意的0x都有( )0f x, 21 ()0f xx. 21211 ()()()()f xf xf xxf x. 故函数( )yf x是R上的单调递减函数. (2)由于函数( )yf x是R上的单调
12、递减函数, ( )yf x 在m,n上也为单调递减函数, ( )yf x在m,n上的最大值为()f m,最小值为( )f n. 由 于()1(1) (1)(1)2(1)(2 )fnfnffnffnn f, 同 理()(1)fmm f. (3)3,(3)3 (1)3fff.(1)1,(),( )ff mm f nn. 因此函数( )yf x在,m n上的值域为, n m. 【总结升华】像本例这样不知道解析式的函数,我们称为抽样函数.研究抽象函数的单调性是依据定义 和题设来进行论证的.一般地,在高中数学中,主要有两种类型的抽象函数,一是“()f xy” 型 即给出 ()f xy所 具 有 的 性
13、质 , 如 本 例 , 二 是 “()f xy”型 . 对 于()f xy型 的 函 数 , 只 需 构 造 2121 ()()f xf xxx,再利用题设条件将它用 1 ()f x与 21 ()f xx表示出来,然后利用题设条件确定 21 ()f xx的 范 围 , 从 而 确 定 2 ()f x与 1 ()f x的 大 小 关 系 ; 对()fxy型 的 函 数 , 则 只 需 构 造 2 21 1 ()() x f xfx x 即可 . 举一反三: 【变式1】已知( )fx的定义域为(0,),且当1x时( )0f x.若对于任意两个正数x和y都有 ()( )( )f xyf xfy,试判
14、断( )f x的单调性 . 【答案】单调递增 【解析】设 12 0xx,则 11 22 1,()0 xx f xx . 8 11 1222 22 ()()()()() xx f xf xf xff x xx . ( )f x在0,上单调递增 . 【变式 2】已知增函数y=f(x)的定义域为(0 ,)且满足 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f( y) ,求满足 f(x)+f(x3)2 的 x 的范围 【答案】3 ,4 【解析】由f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y)可知, 2=1+1= f(2)+f(2) =f(4) , 所以 f(x)+f(x3)2 等价于 f(x)+f(x3) f(
15、4) , 因为()( )( )f xyf xfy, 所以 f(x)+f(x3)=fx(x3) , 所以 fx(x 3) f(4) 又因为 y=f(x)在定义域( 0,+)上单调递增 所以 (3)4 14 0 3 30 x x x x x x 34x 故满足的实数x 的取值范围是3 ,4 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值) 例 4. 已知函数( )f x是定义域为R的单调增函数 (1)比较 2 (2)f a与(2 )fa的大小; (2)若 2 ()(6)f af a,求实数a的取值范围 【思路点拨】抽象函数求字母取值范围的题目,最终一定要变形成( )(
16、)fxfy的形式,再依据函数 ( )f x的单调性把f符号脱掉得到关于字母的不等式再求解。 【答案】(1) 2 (2)(2 )f afa; (2)3a或2a 【解析】(1)因为 22 22(1)10aaa,所以 2 22aa,由已知,( )f x是单调增函数,所 以 2 (2)(2 )f afa 9 (2)因为( )f x是单调增函数,且 2 ()(6)f af a,所以 2 6aa,解得3a或2a 例 5. 求下列函数的值域: (1) 2-1 2 x y x ;1)x5,10;2)x(-3,-2)(-2, 1); (2) 2 -28yxx; (3)43 -1 - 2yxx; (4)1- 2y
17、xx. 【答案】(1)1) 9 19 , 7 12 ,2) 1 (-)(7) 3 ,; (2)0,3; ( 3) 2 -, 3 ; (4)- ,1 【解析】 (1)可应用函数的单调性;(2)中函数为二次函数开方,可先求出二次函数值域;(3)由单调性求 值域,此题也可换元解决;(4)单调性无法确定,经换元后将之转化为熟悉二次函数情形,问题得到解决, 需注意此时t 的范围 . (1) 2(2) -5-5-5 22 x yy xxx +2可看作是由左移2 个单位,再上移2 个单位得到,如图 1)f(x) 在5, 10上单增, 9 19 (5),(10), 7 12 yff即; 2) 1 (-,(1)
18、(-3),)(-)(7) 3 yff即,; (2) 2222 -(-1)9 (-1)0-(-1)00-(-1)990,3yxxxxy,; (3) 1 3 -10, 3 xx,经观察知, 112 ,( )- 333 yyf 在上单增, 2 -, 3 y; (4)令 2 22 1-111 1- 20 -( -1)1,-,1 2222 t xtytttty. 举一反三: 10 【变式 1】( 2017 哈尔滨期末)已知 2 2 43,( 30) ( )33,(01) 65,(16) xxx f xxx xxx (1)画出这个函数的图象; (2)求函数的单调区间; (3)求函数f(x)的最大值和最小值
19、 【答案】(1)略; ( 2)单调递减区间为 3,2,0,1) ,3,6;递增区间为: 2 ,0) ,1,3; (3)当 x=3 时, f(x)取得最大值为4,当 x=6 时, f(x)取得最小值 5 【解析】(1) 2 2 43,( 30) ( )33,(01) 65,(16) xxx fxxx xxx ,作出其图象如下: (2)由 f(x)的图象可得,单调递减区间为 3,2,0,1) ,3,6;递增区间为: 2 ,0) ,1, 3 (3)由 f(x)的图象可得,当x=3 时, f(x)取得最大值为4,当 x=6 时, f(x)取得最小值 5 例 6.(2018 浙江东阳市模拟)设a R,函
20、数 2 ( )f xxax (1)若 f(x)在 0, 1上单调递增,求a 的取值范围; (2)记 M(a)为 f(x)在 0,1上的最大值,求M(a)的最小值 【思路点拨】 (1)分类讨论当a=0 时,当 a 0 时,当 a0 时,运用单调性,判断求解; (2)对 a 讨论,分 a0 时, a0,再分 a 2 时,222 2,22 2aa,运用单调性,求 得最大值;再由分段函数的单调性,求得最小值 【解析】(1)设 2 ( )g xxax, 2 a, 2 a x为对称轴, 当 a=0 时, 2 ( )g xx, g(x)在 x0,1上单调递增, a=0 符合题意; 11 当 a0 时, g(
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