高中理科数学高考解答题解法总结及专项训练资料.pdf
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1、- 1 - 高中理科数学高考解答题解法总结 数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型,通常是高考的把关题和压轴题,具有较好的 区分层次和选拔功能目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力 的综合型解答题在高考考场上,能否做好解答题,是高考成败的关键,因此,在高考备考 中学会怎样解题,是一项重要的内容从历年高考看这些题型的命制都呈现出显著的特点和 解题规律,从阅卷中发现考生“会而得不全分”的大有人在,针对以上情况,本节就具体的 题目类型,来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式,即所谓的“答 题模板” “答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型,把数学解题的思维
2、过程划分为一个个小题, 按照一定的解题程序和答题格式分步解答,即化整为零强调解题程序化,答题格式化,在 最短的时间内拟定解决问题的最佳方案,实现答题效率的最优化 【常见答题模板展示】 模板一三角函数的图像与性质 试题特点:通过升、降幂等恒等变形,将所给三角函数化为只含一种函数名的三角函数( 一般 化为,然后再研究三角函数的性质,如单调性、奇偶 性、周期性、对称性、最值等 求解策略:观察三角函数中函数名称、角与结构上的差异,确定三角化简的方向 例 1【河北省冀州市高三一轮复习检测一】已知向量, ,设函数 ()求函数取得最大值时取值的集合; ()设,为锐角三角形的三个内角 . 若,求 的值。 思路
3、分析:()首先运用三角恒等变换(如倍角公式、两角和与差的正弦余弦公式)对其进 行化简,然后运用三角函数的图像及其性质即可得出取得最大值所满足的取值的集合; ()由题意可得然后运用已知条件可得出角的大小,再由同角三角 函数的基本关系可得,最后由两角和的正弦公式即可得出所求的结果. 解析:() sin()(0,0)yAxk A 31 (cos2 ,sincos ) 22 mxxx u r 31 (1,sincos ) 22 nxx r ( )fxm n u r r g ( )f xx AB CABC 3 cos 5 B 1 () 4 f Csin A ( )fx x 3 sin(2). 32 CC
4、 sin B 231 ( )cos2(sincos ) 22 f xxxx - 2 - 要使取得最大值,须满足取得最小值 . 当 取得最大值时 ,取值的集合为 点评:高考对三角函数的图像和性质的考查主要围绕三角函数解析式的确定以及三角函数的 周期性、单调性、对称性的展开,本题在三角函数解析式的确定上呈现的非常好. 【规律总结】答题模板 第一步: 三角函数式的化简,一般化成yAsin( x) h的形式或yAcos( x)h 的形式 如:. 第二步:根据f(x) 的表达式求其周期、最值 第三步:由sin x、cos x的单调性,将“x”看作一个整体,转化为解不等式问题 第四步:明确规范表述结论 第
5、五步:反思回顾查看关键点、易错点及解题规范. 【举一反三】 1. 【湖北】 某同学用“五点法”画函数 ( )sin() (0, |) 2 f xAx在某一个周期内的 图象时,列表并填入了部分数据,如下表: x0 2 3 2 2 x 3 5 6 sin()Ax0 5 50 ()请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 , 并直接写出函数( )f x 的解析式; () 将( )yf x 图象上所有点向左平行移动(0) 个单位长度, 得到( )yg x 的图象 . 若 22313 cos2(sincossincos ) 442 xxxxx 133 (cos2sin 2 ) 244 xx 13 s
6、in(2). 223 x( )fxsin(2) 3 x 22, 32 xkkZ., 12 xkkZ.( )f xx |,. 12 x xkkZ ( )2sin(2)1 3 f xx - 3 - ( )yg x 图象的一个对称中心为 5 (, 0) 12 ,求的最小值 . 【解析】()根据表中已知数据,解得 5,2, 6 A. 数据补全如下表: x0 2 3 2 2 x 12 3 7 12 5 6 13 12 sin()Ax0 5 0 50 且函数表达式为 ( )5sin(2) 6 f xx. 模板二三角变换与解三角形 试题特点:题中出现边与角的关系或者给定向量的关系式,利用正、余弦定理或利用向
7、量的 运算,将向量式转化为代数式,再进行有关的三角恒等变换解三角形 求解策略: ( 1) 利用数量积公式、 垂直与平行的主要条件转化向量关系为三角问题来解决( 2) 利用正、余弦定理进行三角形边与角的互化 例 2 【河北省武邑中学高三上学期期末考试】已知ABC的面积为S,且SACAB. (1) 求A2tan的值; (2) 若 4 B,3CACB,求ABC的面积S. 思路分析:(1)利用平面向量的数量积运算法则及面积公式化简已知等式,求出tan A的值即 可; ( 2)由tan A与tan B的值,利用两角和与差的正切函数公式求出tanC的值,进而求出 sin C的值,利用正弦定理求出b的值,再
8、利用三角形面积公式即可求出S (2)3CACB,即3cAB, 2tan A , 2 0A, 5 52 sin A, - 4 - 5 5 cosA. 10 103 2 2 5 5 2 2 5 52 sincoscossin)sin(sinBABABAC. 由正弦定 理知:5sin sinsinsin B C c b B b C c ,3 5 52 35 2 1 sin 2 1 AbcS. 点评:解三角形的两条思路要牢记:边角互化与使用三角恒等变换公式,其中正、余弦定理 是常使用的,其作用就是边角互化,用一句话概括:“化边化角整体待,三角变换用起来” 【规律总结】答题模板 第一步: 定条件, 即确
9、定三角形中的已知和所求,在图形中标注出来,然后确定转化的方向 第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化 第三步:求结果 第四步:回顾反思,在实施边角互化的时候应注意转化的方向,一般有两种思路:一是全部 转化为边之间的关系;二是全部转化为角之间的关系,然后进行恒等变形. 【举一反三】 【湖南】设ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c, tanabA,且B为钝角 . (1)证明: 2 BA; (2)求sinsinAC的取值范围 . 模板三离散型随机变量的分布列、期望与方差 试题特点:主要考查古典概型、几何概型,等可能事件的概率计算公式,互斥事件的概率加 法公式
10、,对立事件的概率减法公式,相互独立事件的概率乘法公式,事件在次独立重复试 验中恰好发生次的概率计算公式等五个基本公式的应用及离散型随机变量的分布列和数学 期望、方差等内容 求解策略:(1)搞清各类事件类型,并沟通所求事件与已知事件的联系(2)涉及“至多” 、 n k - 5 - “至少”问题时要考虑是否可通过计算对立事件的概率求解(3) 注意识别特殊的二项分布 (4) 在概率与统计的综合问题中,能利用统计的知识提取相关信息用于解题 例 3【江西省吉安市第一中学高三上学期第四次周考数学理试题】某校校庆,各届校友纷至沓 来,某班共来了位校友() ,其中女校友6 位,组委会对这位校友登记制 作了一份
11、校友名单,现随机从中选出2 位校友代表,若选出的2 位校友是一男一女,则称为 “最佳组合” (1)若随机选出的2 位校友代表为“最佳组合”的概率不小于,求的最大值; (2)当时,设选出的2 位校友代表中女校友人数为,求随机变量的分布列和数 学期望. 思路分析:(1)由题可知,所选两人为“最佳组合”的概率, 由此能求出的最大值(2)由题意得,的可能取值为0,1, 2,分别求出相应的概率, 由此能求出的分布列和均值 的分布列为 0 1 2 . 点评:解决概率问题首先要考虑是考查哪种概率类型;其次要弄清互斥事件、相互独立事件 的概率计算;再次在研究概率的前提下找出随机变量的所有可能取值、列出分布列、
12、求解期 望,注意特殊分布的公式的运用. 【规律总结】答题模板 n8,nnN * ?且n 1 2 n =12nXX ( ) E X 112 66 126 1 12 nn n PCC C n n n X X X X P 5 22 6 11 5 22 ( )=1 E X - 6 - 第一步:确定离散型随机变量的所有可能值 第二步:求出每个可能值的概率 第三步:画出随机变量的分布列 第四步:求期望和方差 第五步:反思回顾查看关键点、易错点及解题规范如本题可重点查看随机变量的所有可 能值是否正确;根据分布列性质检查概率是否正确. 【举一反三】 【湖南】某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽
13、奖,每次抽奖都从装有4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有5 个红球、 5 个白球的乙箱中,各随机摸出1 个球,在摸出的 2 个球中, 若都是红球, 则获一等奖; 若只有 1 个红球, 则获二等奖; 若没有红球, 则不获奖 . (1)求顾客抽奖1 次能获奖的概率; (2)若某顾客有3 次抽奖机会,记该顾客在3 次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布 列和数学期望. 于是 003 3 1464 (0)( ) ( ) 55125 P XC, 112 3 1448 (1)( ) ( ) 55125 P XC, 221 3 1412 (2)( ) ( ) 55125 P XC, 330 3 141 (3
14、)( ) ( ) 55125 P XC,故X的分布列为 X 0 1 2 3 P64 125 48 125 12 125 1 125 - 7 - X的数学期望为 13 ()3 55 E X. 模板四立体几何中位置关系的证明及空间角的计算问题 试题特点:立体几何解答题主要分两类:一类是空间线面关系的判定和推理证明,主要是证 明平行和垂直;另一类是空间几何量( 空间角、空间距离、几何体体积与面积) 的计算 求解策略:(1)利用“线线 ? 线面 ? 面面”三者之间的相互转化证明有关位置关系问题: 由已知想未知,由求证想判定,即分析法与综合法相结合来找证题思路;利用题设条件的 性质适当添加辅助线( 或面
15、 ) 是解题的常用方法之一(2)空间几何量的计算,常用方法是依 据公理、定理以及性质等经过推理论证,作出所求几何量并求之一般解题步骤是“作、证、 求” 例 4 【江西省吉安市第一中学高三上学期第四次周考】如图,AB是圆O的直径,C是圆O 上异于,A B的一个动点,DC垂直于圆O所在的平面,/ /,1,4DCEB DCEBAB=. (1)求证:DEACD 平面; (2)若ACBC=,求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值. 思路分析:(1) 由线面垂直得DCBC, 由圆周角性质得ACBC, 从而BC平面ACD, 由此能证明DE平面ACD (2)以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,CD为z
16、轴,建 立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值 - 8 - (2)如图,以C为原点建立空间直角坐标系,则 () () () () 2 2,0,0,0,0,1 ,0,22,0,0,22,1ADBE , ()() 2 2,0,1 ,0,22,0ADDE= -=,设平面ADE的一个法向量为 () 1 , ,nx y z=,则 1 1 2 20 220 nADxz nDEy ?-+= ? ? ?= ? ,令1,x =得 () 1= 1,0,2 2n,设平面ABE的一个法向量为 () 2 , ,nx y z=,则 1 1 2 22 20 0 nABxy nBEz
17、?-+= ? ? ?= ? ,令1,x =得 () 2= 1,1,0 n, 12 12 12 12 cos, 63 2 nn n n nn = ,平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为 2 6 . 点评:寻找立体几何的解题思路重点把握好以下几点:一是要有转化与化归的意识,即将线 线关系、线面关系、面面关系之间的问题相互转化;二是要有平面化的思想,即将空间问题 转化到某一平面处理;三是割补的意识,即将原几何体分割或补形,使之成为新的、更方便 处理的几何体;四是要用好向量这个强有力的工具. 【规律总结】答题模板 第一步:根据条件合理转化 第二步:写出推证平行或垂直所需的条件,条件要充分 第
18、三步:写出所证明的结论 第四步:建立空间直角坐标系,写出特殊点坐标 第五步:求 ( 或找 ) 两个半平面的法向量 第六步:求法向量n1,n2的夹角或cosn1,n2( 若为锐二面角则求|cos n1,n2|) - 9 - 第七步:将法向量的夹角转化为二面角的夹角 第八步:反思回顾,查看关键点、易错点及解题规范 【举一反三】 【北京】如图,在四棱锥AEFCB 中, AEF 为等边三角形,平面 AEF 平面 EFCB , EFBC,4BC,2EF a , 60EBCFCB, O 为 EF 的中点 ( ) 求证:AOBE ; ( ) 求二面角FAEB 的余弦值; ( ) 若 BE平面 AOC ,求
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