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1、第 1 页 共 6 页 高二上学期期末考试数学(理)试题(及答案) 数 学 试 题(理科 ) 一、选择题(每小题5 分,共 60 分) 1以下说法错误的是() A命题“若 x 23x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x1,则 x 23x+20 B “x=1”是“x 23x+2=0”的充分不必要条件 C若 pq 为假命题,则 p、q 均为假命题 D若命题 p:x 0 R,使得 x 2 0+ x0+10,则 p:Rx,则 x 2+x+10 2在ABC 中,三边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C,若 a 2+b2= 2 ab+c 2,则角 C 为( ) A30B45C150D135 3不
2、等式 ax 22x+10 的解集非空的一个必要不充分条件是( ) Aa1 Ba0 C0a1 Da1 4等差数列公差不为0,首项 a1=1,a2是 a1和 a5的等比中项,则数列的前10 项和为() A90 B100 C145 D190 5如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=AA 1=2, AC B=90,点 E、F 分别是棱 AB 、BB1的中点,当二面 角 C1AA1B为 45时,直线 EF和 BC1所成的角为() A45B60 C90D120 6 ABC 的三个内角A、B、C 所对的边分别为a、b、c, asinAsinB+bcos 2A= 2 a,则 a b =() A23B
3、22C3D2 7已知 m 是ABC 内一点,且 AB AC=23 ,BAC=30,若 MBC、MCA 、 MAB 的面积分别为 2 1 、x、y,则 y 4 x 1 的最小值为() A20 B19 C16 D18 8等差数列 n a中,S150,S160,则使 an0 成立的 n 的最大值为() A6 B7 C8 D9 9若直线不平行于平面,且,则() A内的所有直线与异面B内不存在与平行的直线 C内存在唯一的直线与平行D内的直线与都相交 10在 ABC 中,若 a=2bcosC,则 ABC 是() A锐角三角形B等腰三角形C钝角三解形D直角三角形 11已知点 M 是 x 2 =4y 上一点,
4、 F 为抛物线的焦点, A 在圆 C: (x1) 2+(y5)2=1上,则 MA + MF 的最小值为( ) A3 B5 C8 D10 12设椭圆 C: 2 2 2 2 x b y a =1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是 C 上的点, P F2F1F2, 第 2 页 共 6 页 P F1F2=30,则 C 的离心率为() A 6 3 B 3 1 C 2 1 D 3 3 二、填空题(每小题5 分,共 20 分) 13已知 ABCD 为正方形,点 P 为平面 ABCD 外一点,平面 PCD平面 ABCD ,PD=AD=2=PC, 则点 C到平面 PAB的距离为 . 14已知数列 n
5、a为等 比数列,且 a1a13+2a 2 7 =4,则 tan(a2a12)= . 15在直角三角形 ABC中,AB=4 ,AC=2 ,M是斜边 BC的中点,则向量 AM 在向量BC方向上的 投影是 . 16过双曲线 2 2 2 2 5a x a y =1(a0)右焦点 F 作一条 直线,当直线斜率为2 时,直线与双曲 线左右两支各有一个交点;当直线斜率为3 时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双 曲线离心率的取值范围是 . 三、解答题(共70 分) 17 (10 分)已知不等式 ax 23x+64 的解集为 x x1 或 x b . (1) 求 a、b; (2) 解不等式 ax 2(ac+
6、b)x+bc 0(c R) 18 (12 分)在 ABC 中,角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c, 已知 cosC+(cosA3sinA)cosB=0. (1) 求角 B的大小; (2) 若 a+c=1,求 b 的取值范围 . 19 (12 分)已知各项均为正数的数列 n a,满足a1=1,a 2 1n a 2 n=2(n N*) (1) 求数列 n a的通项公式; (2) 求数列 n 2 n 2 a 的前 n 项和. 20.(12 分) 已知 p:4-x32,q: 2 1 2 xx 0,r:(xa)(x a1) 0. (1)p 是q的什么条件? (2) 若r 是p 的必要非充分条件,求
7、实数a 的取值范围 . 第 3 页 共 6 页 21 (12 分)如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,侧面SBC 底面 ABCD ,已 知DAB=135 ,BC=2 2 ,SB=SC=AB=2,F为线段 SB的中点 . (1) 求证: SD 平面 CFA ; (2) 求平面 SCD 与平面 SAB所成锐二面角的余弦值 . 22.(12 分) 已知椭圆 C : 2 2 2 2 b xy a =1(ab0)的离心率为 3 5 ,定点 M (2,0) ,椭圆短轴的 端点是 B1B2,且 MB1MB2. (1) 求椭圆 C的方程; (2) 设过点 M且斜率不为 0 的直线交椭
8、圆 C于 A、B两点,试问 x 轴上是否存在异 于 M的定点 p,使 PM平分APB ?若存在,求出点p 的坐标,若不存在,说明理 由. 第 4 页 共 6 页 高二期末数学答案 一、选择题 15 CBDBC 6 10 DDCBB 11 12 BD 二、填空题 二、13 7 212 14.3 15 5 53 16(5,10) 三、解答题( 70 分) 17解( 1)原不等式可化为ax 23x+20 由题意知 x=1是方程 ax 23x+2=0的根 a=1 x 23x+20 x1或 x2 故 b=2 5 分 (2)由 (1) 可知原不等式可化为x(c+2)x+2c 0 (x c)(x 2) 0
9、当 c2,2xc 当 c=2,x 当 c2,cx2 综上,当 c2 时,原不等式的解集为x cx 2 ,当 c=2 时,原不等式解集为,当 c2 时,原不等式解集为x 2xc . 18解: (1) cosC+(cosA3 sinA)cosB=0 (cosAcosBsinAsinB)+ cosAcosB3 sinAsinB=0 sinAsinB 3sinAcosB=0 sinA 0 tanB=30BB= 3 6 分 (2)b 2 =a 2+c2-2acosB =(a+c) 2-2ac-2ac 2 1 =1-3ac1-3( 2 ca ) 2= 4 1 4 1 b 21 2 1 b1 12分 19、
10、(1) a1=1 a 2 1na 2 n=2(n N) a 2 n=1+(n1) 2=2n-1 a n0 an=12n(nN) 5 分 (2) 由(1) 知 a n= 12n, n 2 n 2 a = n n 2 12 Sn= 2 1 + 2 2 3 + 3 2 5 + 1 -n 2 1-n2 则 2 1 Sn= 2 2 1 + 3 2 3 + 4 2 5 + 1n 2 1-n2 得, 2 1 Sn= 2 1 + 2 2 2 + 3 2 2 + n 2 2 1n 2 1-n2 第 5 页 共 6 页 = 2 1 +2 2 1 1 ) 2 1 -1 4 1 1-n ( 1n 2 1-n2 = 2
11、 3 1n 2 3n2 Sn=3- n 2 3n2 (n N) 12 分 20(1)p:4-x32x 3 2 或 x2 q: 2 1 2 xx 0 )1)(2( 1 xx 0x2 或 x-1 p: 3 2 x2 q: 1x2 pq ,但qp p 是q 的充分不必要条件 (2)r:(x-a)(x-a-1)0axa+1 r:x a+1 或 xa r 是p 的必要不充分条件 a2 或 a+1 3 2 即 a2 或 a- 3 1 故 a 的取值范围是(, 3 1 2 ,+ 21、(1) 连结 BD AC=E 连结 EF ABCD 是平行四边形 BE=ED 又 F是 SB的中点 EFSD 又 EF 面
12、CFA ,SD 面 CFA SD 面 CFA 6 分 (2) 取 BC中点 O ,连 OS 、OA SB=SC SO BC 又面 SBC 面 ABCD SO 面 ABCD 在ABC 中,AB=2 ABC=45 BC=22 由余弦定理,得 AC=2 BAC=90 又 AB=AC AO BC建立如图所示坐标系 . 则 A(2,0,0) B (0,2,0) S (0,0,2) C(0, 2,0) D(2,22,0) 设面 SAB的法向量为 1 n=(x1,y 1,z1) 由 1 n AB=0 2x12y 1=0 得 第 6 页 共 6 页 1n SB=0 2y12z1=0 取 z1=1,得 1 n=
13、(1,1, 1) 设面 SCD 的法向量为 2 n=(x 2,y2 ,z 2) 同理可得 2 n=( 1,1,1) cos 1 n, 2 n= 21 21 n nn n = 3 1 故面 SCD 与面 SAB所成锐二面角的余弦值为 3 1 22、解: (1) 由 e 2 = 2 22 a ab =1 2 2 a b = 9 5 的 3 2 a b 又MB 1B2是等腰直角三角形, b=2 ,a=3 故椭圆 C的方程为 49 x 22 y =1 5 分 (2) 设 AB的方程为 x=my+2代入 49 x 22 y =1得 (4m 2 +9)y 2 +16my 20=0 y 1+y2= 94 16 2 m m y 1y2 = 94 20 2 m 8 分 若 PM 平分 APB ,则直线 PA 、PB倾斜角互补 KpA+KpB=0 设 p(n,0) 则有 nx y n 2 2 1 1 x y =0 10 分 把 x1=my 1+2,x2=my2+2 代入上式,得 2my 1y2+(2n)(y1+y2)=0 2m 9m4 20 2 +(2-n)0 94m m16 2 即(2n+9)m=0 由于上式对任意实数m都成立, n= 2 9 综上,存在定点p( 2 9 ,0) ,使 pM平分 APB 12 分
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