高考数学第一轮统计与概率复习资料.pdf
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1、1 统计与概率 1.1 随机抽样 知识梳理 1.简单随机抽样 (1)定义:设一个总体含有N 个个体,从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(nN),如果 每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. (2)最常用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数法. 2.系统抽样的步骤 假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本 . (1)先将总体的N 个个体编号; (2)确定分段间隔k,对编号进行分段.当N n(n 是样本容量 )是整数时,取 k N n ; (3)在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (lk); (4)按照一定的规则抽取样本.通常是将l
2、加上间隔k 得到第 2 个个体编号 (l k), 再加 k 得到第 3 个个体编号 (l2k),依次进行下去,直到获取整个样本. 3.分层抽样 (1)定义:在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一 定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫做分层抽样. (2)分层抽样的应用范围: 当总体由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)简单随机抽样是一种不放回抽样.() (2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关.() (3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽
3、样.() (4)要从 1002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20 的样本,需要剔除2 个学生,这 样对被剔除者不公平.() (5)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.() 1.(教材改编 )某公司有员工500 人,其中不到35 岁的有125 人, 3549 岁的有 280 人, 50 2 岁以上的有95 人,为了调查员工的身体健康状况,从中抽取100 名员工, 则应在这三个年龄 段分别抽取人数为() A.33 人, 34 人, 33 人B.25 人, 56 人, 19 人 C.20 人, 40 人, 30 人D.30 人, 50 人, 20 人 答案B 解析因为 12
4、528095255619, 所以抽取人数分别为25 人, 56 人, 19 人. 2.(2015四川 )某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在 显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是 () A.抽签法B.系统抽样法 C.分层抽样法D.随机数法 答案C 解析根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法. 3.将参加英语口语测试的1000 名学生编号为000,001,002, , , 999,从中抽取一个容量为50 的样本,按系统抽样的方法分为50 组,如果第一组编号为000,001,002,, , 019,且第一组
5、随机抽取的编号为015,则抽取的第35 个编号为 () A.700 B.669 C.695 D.676 答案C 解析由题意可知,第一组随机抽取的编号l 15, 分段间隔数kN n 1000 50 20,则抽取的第35 个编号为a3515 (351)20 695. 4.(教材改编 )某公司共有1000 名员工,下设若干部门,现采用分层抽样方法,从全体员工中 抽取一个样本容量为80 的样本, 已告知广告部门被抽取了4 个员工, 则广告部门的员工人数 为_. 答案50 解析 1000 80 x 4, x50. 5.(2014天津 )某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样
6、 的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查, 已知该校一年级、 二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4556,则应从一年级本科生中抽取 _名学生 . 答案60 解析根据题意,应从一年级本科生中抽取的人数为 4 455 6 30060. 3 题型一简单随机抽样 例 1(1)总体由编号为01,02,, ,19,20 的 20 个个体组成 .利用下面的随机数表选取5 个个 体,选取方法是从随机数表第1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字, 则选出来的第5 个个体的编号为() 78166572080263140702436997280198 32
7、049234493582003623486969387481 A.08 B.07 C.02 D.01 (2)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有_. 从无限多个个体中抽取100 个个体作为样本. 盒子里共有80 个零件,从中选出5 个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一 个零件进行质量检验后再把它放回盒子里. 从 20 件玩具中一次性抽取3 件进行质量检验. 某班有56 名同学,指定个子最高的5 名同学参加学校组织的篮球赛. 答案(1)D(2) 解析(1)由题意知前5 个个体的编号为08,02,14,07,01. (2) 不是简单随机抽样. 不是简单随机抽样.由于它是放回抽样.
8、不是简单随机抽样.因为这是 “一次性 ”抽取,而不是“逐个 ”抽取 . 不是简单随机抽样.因为指定个子最高的5 名同学是56 名中特指的,不存在随机性,不是 等可能抽样 . 思维升华应用简单随机抽样应注意的问题 (1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点: 一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.一般 地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法. (2)在使用随机数法时,如遇到三位数或四位数,可从选择的随机数表中的某行某列的数字计 起,每三个或四个作为一个单位,自左向右选取,有超过总体号码或出现重复号码的数字舍 去. 下列抽样试验中,适合用抽签法的有() A.从某厂生产的5000 件产品中抽取6
9、00 件进行质量检验 B.从某厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取6 件进行质量检验 C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取6 件进行质量检验 4 D.从某厂生产的5000 件产品中抽取10 件进行质量检验 答案B 解析A,D 中的总体中个体数较多,不适宜抽签法,C 中甲、乙两厂的产品质量有区别, 也不适宜抽签法,故选B. 题型二系统抽样 例 2(1)(2015 湖南 )在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟 )的茎叶图如图所 示 1300345668889 1411122233445556678 150122333 若将运动员按成绩由好到差编为135 号,再
10、用系统抽样方法从中抽取7 人,则其中成绩在 区间 139,151 上的运动员人数是() A.3 B.4 C.5 D.6 (2)某单位有840 名职工,现采用系统抽样方法抽取42 人做问卷调查,将840 人按 1,2, , , 840 随机编号,则抽取的42 人中,编号落入区间481,720 的人数为 () A.11 B.12 C.13 D.14 答案(1)B(2)B 解析(1)由题意知,将1 35 号分成 7 组,每组 5 名运动员,成绩落在区间139,151 的运动 员共有 4 组,故由系统抽样法知,共抽取4 名.选 B. (2)由 840 42 20, 即每 20 人抽取 1 人,所以抽取
11、编号落入区间481,720 的人数为 720480 20 240 20 12. 引申探究 1.本例 (2)中条件不变,若第三组抽得的号码为44,则在第八组中抽得的号码是_. 答案144 解析在第八组中抽得的号码为(83)20 44144. 2.本例 (2)中条件不变,若在编号为481,720 中抽取 8 人,则样本容量为_. 答案28 解析因为在编号 481,720 中共有 720480240 人,又在 481,720 中抽取 8 人, 所以抽样比应为2408301,又因为单位职工共有840 人,所以应抽取的样本容量为 840 30 28. 思维升华(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本
12、容量也较大. (2)使用系统抽样时, 若总体容量不能被样本容量整除,可以先从总体中随机地剔除几个个体, 从而确定分段间隔. 5 (3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法,一旦起始编号确定,其他编号便随之确定. 将参加夏令营的600 名学生编号为001,002,, , 600.采用系统抽样方法抽取一 个容量为50 的样本, 且随机抽得的号码为003.这 600 名学生分住在三个营区,从 001 到 300 在第营区,从301 到 495 在第营区,从496 到 600 在第营区,三个营区被抽中的人数 依次为 () A.26,16,8 B.25,17,8 C.25,16,9 D.24,17,9
13、答案B 解析由题意及系统抽样的定义可知,将这600 名学生按编号依次分成50 组,每一组各有 12 名学生,第k(kN *)组抽中的号码是 3 12(k1). 令 312(k1)300 得 k 103 4 ,因此第 营区被抽中的人数是25; 令 300s 2 乙, 乙较稳定 . 题型一频率分布直方图的绘制与应用 16 例 1(2015 课标全国 )某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查 了 40 个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方 图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表. A 地区用户满意度评分的频率分布直方图 图 B 地区
14、用户满意度评分的频数分布表 满意度评 分分组 50,60)60,70)70,80)80,90)90,100 频数2814106 (1)在图中作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可). B 地区用户满意度评分的频率分布直方图 图 (2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级: 满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分 满意度等级不满意满意非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由. 解(1)如图所示 . 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B
15、 地区用户满意度评分的平均值高 17 于 A 地区用户满意度评分的平均值;B 地区用户满意度评分比较集中,而A 地区用户满意度 评分比较分散. (2)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 记 CA表示事件: “A 地区用户的满意度等级为不满意”;CB表示事件: “B 地区用户的满意 度等级为不满意”. 由直方图得P(CA) 的估计值为 (0.01 0.02 0.03)10 0.6, P(CB)的估计值为(0.005 0.02) 100.25. 所以 A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 思维升华(1)明确频率分布直方图的意义,即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间 上的频率,所
16、有小矩形的面积和为1. (2)对于统计图表类题目,最重要的是认真观察图表,从中提炼有用的信息和数据. (1)(2014 山东 )为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有 志愿者的舒张压数据(单位: kPa)的分组区间为12,13) ,13,14) ,14,15) ,15,16) ,16,17 , 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,, ,第五组,如图是根据试验数据制成 的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20 人,第三组中没有疗效的有6 人,则第三组 中有疗效的人数为() A.6 B.8 C.12 D.18 答案C 解析志愿者的总人数为 20 0.160.24 1
17、 50, 所以第三组人数为500.3618, 有疗效的人数为18612. (2)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60 名学生,将其物理成绩 (均为整数 )分成 六段 40,50) ,50,60) , ,90,100 后得到如图所示的频率分布直方图,观察图形的信息,回 答下列问题: 18 求分数在 70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; 统计方法中, 同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试中的平均分. 解 设分数在 70,80) 内的频率为x,根据频率分布直方图,有(0.010 0.01520.025 0.005)10x1,可得 x0.3,所以频率分布直方图
18、如图所示. 平均分: 450.1550.15650.15750.3850.25950.0571(分). 题型二茎叶图的应用 例 2(1)(2015 山东 )为比较甲、 乙两地某月14 时的气温情况,随机选取该月中的5天, 将这 5 天中 14 时的气温数据(单位: )制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论: 甲乙 986289 113012 甲地该月14 时的平均气温低于乙地该月14 时的平均气温; 甲地该月14 时的平均气温高于乙地该月14 时的平均气温; 甲地该月14 时的气温的标准差小于乙地该月14 时的气温的标准差; 甲地该月14 时的气温的标准差大于乙地该月14 时的气温的标准差. 其中
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