高考第一轮复习选做题不等式资料.pdf
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1、1 课时 1绝对值不等式 1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a 的解集: 不等式a0a0aa (, a)(a, ) (,0)(0, ) R (2)|axb|c(c0)和|ax b| c(c0)型不等式的解法: |axb|c? cax bc; |axb|c? axbc 或 axb c; (3)|x a|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法: 利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 2.含有绝对值的不等式的性质 (1)如果 a,b 是实数
2、,则 |a|b|a b|a|b|,当且仅当ab0 时,等号成立. (2)如果 a,b,c 是实数,那么|a c|ab|bc|,当且仅当 (ab)(bc)0 时,等号成 立. 1.(2015山东改编 )解不等式 |x1| |x5|5; 当 2x 5 2; 当 x 1 2时, y3x 1 5 2,故函数 y|2x1|x2|的最小值为 5 2.因为不等式 |2x1|x 2|a 21 2a 2 对任意实数 x 恒成立,所以 5 2a 21 2a2. 解不等式 5 2 a2 1 2a2,得 1a 1 2,故 a的取值范围为 1, 1 2. 题型一绝对值不等式的解法 例 1(2015 课标全国 )已知函数
3、f(x)|x1|2|x a|, a0. (1)当 a1 时,求不等式f(x)1 的解集; (2)若 f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求 a 的取值范围 . 解(1)当 a1 时, f(x)1 化为 |x1| 2|x1|10. 当 x 1 时,不等式化为x40,无解; 当 10,解得 2 30,解得 1x1 的解集为 x 2 3a. 所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A 2a1 3 ,0 , B(2a1,0), C(a, a1), ABC 的面积为 2 3(a1) 2. 由题设得 2 3(a1) 26,故 a2. 所以 a 的取值范围为(2, ). 思维升华
4、解绝对值不等式的基本方法有: (1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式; (2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不 等式; (3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解. (1)(2014 广东改编 )解不等式 |x1| |x 2|5 的解集 . (2)(2014湖南改编 )若关于 x 的不等式 |ax2|0 时, 1 a3, 故由不等式f(x)3 或 2 2x3 2. (2)函数 g(x)f(x)在 x2,2上恒成立, 即|xa|4|x3|x1|在 x 2,2上恒成立,在同一个坐标系中画出函数f(x)和 g(x)的 图象,如
5、图所示. 5 故当 x 2,2时, 若 0a 4时, 则函数 g(x)在函数 f(x)的图象的下方, g(x)f(x)在 x 2,2上恒成立, 求得 4a0,故所求的实数a 的取值范围为 4,0. 思维升华(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值,化为分段函数来解决.(2) 数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法. 已知函数f(x)|xa|x2|. (1)当 a 3 时,求不等式f(x)3 的解集; (2)若 f(x)|x4|的解集包含 1,2,求 a 的取值范围 . 解(1)当 a 3 时, f(x) 2x5,x 2, 1,2a 对于一切 xR 恒成立,求实数a 的取值范围
6、 . 解由绝对值的几何意义知:|x4|x5|9,则 log3(|x4|x5|)2,所以要使不等式 log3(|x4|x5|)a 对于一切xR 恒成立,则需a0 恒成立,即 (|x3|x7|)minm,由于 x 轴上 的点到点 (3,0)和点 (7,0) 的距离之和的最小值为4,所以要使不等式恒成立,则m2,x2. 7 综上可知,原不等式的解集为x|x2 . 6.已知关于x 的不等式 |2xm|1 的整数解有且仅有一个值为2,求关于 x 的不等式 |x1| |x3|m 的解集 . 解由不等式 |2x m|1,可得 m1 2 x m1 2 , 不等式的整数解为2, m1 2 2 m1 2 ,解得
7、3m5. 再由不等式仅有一个整数解2,m4. 本题即解不等式|x1|x3|4, 当 x3 时,不等式等价于x1x34, 解得 x 4,不等式解集为 x|x4. 综上,原不等式解集为(, 04, ). B 组专项能力提升 (时间: 40 分钟 ) 7.设函数 f(x) |2x1|x4|. (1)解不等式f(x)2; (2)求函数 yf(x)的最小值 . 解(1)方法一令 2x10, x40 分别得 x 1 2,x4.原不等式可化为: x 1 2 x52 或 1 2x 4 3x32 或 x 4, x 52. 原不等式的解集为 x x 7,或 x 5 3 . 方法二f(x) |2x1|x4| x5,
8、x 1 2, 3x3, 1 2 x4, x5,x4. 画出 f(x)的图象,如图所示. 8 求得 y 2 与 f(x)图象的交点为(7,2), 5 3,2 . 由图象知f(x)2 的解集为 x x 7,或 x 5 3 . (2)由(1)的方法二知:f(x)min 9 2. 8.已知函数f(x)|x3| |x 2|. (1)求不等式f(x)3 的解集; (2)若 f(x)|a4|有解,求 a 的取值范围 . 解(1)f(x) |x 3| |x2|3, 当 x2 时,有 x 3(x2)3,解得 x2; 当 x 3 时, x 3(x2)3,解得 x?; 当 31,且当 x a 2, 1 2 时, f
9、(x)g(x),求 a 的取值范围 . 解(1)当 a 2 时,不等式f(x)1, 其图象如图所示,由图象可知,当且仅当x(0,2)时, y1,则 a 2b? ab0, ab 只要证明ab0 即可,这种方法称为 作差比较法 . 10 作商比较法: 由 ab0? a b1 且 a0,b0,因此当 a0,b0 时,要证明ab,只要证明 a b1 即可,这种 方法称为作商比较法. (2)综合法: 从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证, 最终推导出所要证明的不 等式成立,这种证明方法叫综合法.即“由因导果”的方法. (3)分析法: 从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到
10、将待证不等式归结为一个已成立的 不等式 (已知条件、 定理等 ),从而得出要证的不等式成立,这种证明方法叫分析法.即“执果 索因”的方法 . (4)反证法和放缩法: 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质 等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾 的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法叫做反证法. 在证明不等式时,有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小,此利于化简并使它与不 等式的另一边的关系更为明显,从而得出原不等式成立,这种方法称为放缩法. (5)数学归纳法: 一般地,当要证明一个命题对于不
11、小于某正整数n0的所有正整数n 都成立时,可以用以下 两个步骤: 证明当nn0时命题成立; 假设当nk (kN *,且 kn 0)时命题成立,证明nk1 时命题也成立 . 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法 称为数学归纳法. 2.几个常用基本不等式 (1)柯西不等式: 柯西不等式的代数形式:设a,b,c,d 都是实数,则 (a 2b2)(c2d2)(acbd)2(当且仅 当 adbc 时,等号成立 ). 柯西不等式的向量形式:设 ,是两个向量,则| | | |,当且仅当是零向量,或 存在实数k,使 k时,等号成立 . 柯西不等式的三角不等式:设x
12、1, y1, x2,y2, x3, y3R,则x1 x2 2 y 1y2 2 x2x3 2 y 2y3 2 x1x3 2 y 1y3 2. 柯西不等式的一般形式:设 a1,a2,a3,, , an,b1,b2,b3,, , bn是实数, 则(a2 1a 2 2, a 2 n)(b 2 1b 2 2, b 2 n)(a1b1a2b2, anbn) 2,当且仅当 bi0 (i1,2,, , n)或存在一个 11 数 k,使得 aikbi (i1,2, , , n)时,等号成立 . (2)算术 几何平均不等式 若 a1,a2,, , an为正数,则 a1a2, an n n a1a2, an,当且仅
13、当a1a2, an时,等 号成立 . 1.设 a,b,m,nR,且 a 2b25,manb5,求 m2n2的最小值 . 解根据柯西不等式(ma nb) 2 (a2b2)(m2n2), 得 255(m2n2), m2n25, m2 n2的 最小值为5. 2.若 a,b,c(0, ),且 ab c1,求abc的最大值 . 解(abc) 2(1 a1b1c) 2 (1 21212)(a bc)3. 当且仅当ab c 1 3时,等号成立 . (abc)23. 故abc的最大值为3. 3.设 x0,y0,若不等式 1 x 1 y xy0 恒成立,求实数 的最小值 . 解x0,y0, 原不等式可化为 (1
14、 x 1 y)(xy)2 y x x y. 2 y x x y22 y x x y4,当且仅当 xy 时等号成立 . 1 x 1 y xymin4,即 4, 4. 题型一用综合法与分析法证明不等式 例 1(1)已知 x,y 均为正数,且xy,求证: 2x 1 x 2 2xyy22y 3; (2)设 a,b, c0 且 abbc ca1,求证: a bc3. 证明(1)因为 x0, y0,xy0, 2x 1 x 2 2xyy22y2(xy) 1 xy 2 12 (xy)(xy) 1 x y 2 3 3 xy 21 xy 23, 所以 2x 1 x 22xyy22y3. (2)因为 a,b,c0,
15、所以要证abc3, 只需证明 (abc) 23. 即证: a2b2c22(abbcca)3, 而 abbcca1, 故需证明: a2b2c22(ab bcca)3(ab bcca). 即证: a2b2c2abbc ca. 而 abbcca a 2 b2 2 b 2c2 2 c 2a2 2 a 2b2c2(当且仅当 abc 时等号成立 )成立 . 所以原不等式成立. 思维升华用综合法证明不等式是“由因导果 ”,用分析法证明不等式是“执果索因 ” ,它 们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、条理清楚, 所以在实际应用时,往往用分析法找思路,用综合法写步骤,由此可见,
16、分析法与综合法相 互转化,互相渗透,互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野. 设 a、b、c 均为正数,且abc1,证明: (1)abbcac 1 3;(2) a 2 b b 2 c c 2 a 1. 证明(1)由 a2 b22ab, b2c22bc, c2 a 22ac 得 a 2b2c2abbcca. 由题设得 (abc) 21, 即 a2b2c22ab2bc 2ca1. 所以 3(abbcca)1,即 abbcca1 3. (2)因为 a 2 b b2a,b 2 c c2b, c 2 a a2c, 故a 2 b b 2 c c 2 a (ab c) 2(abc), 即
17、a 2 b b 2 c c 2 a abc. 所以 a 2 b b 2 c c 2 a 1. 题型二放缩法证明不等式 13 例 2若 a, bR,求证: |a b| 1|ab| |a| 1|a| |b| 1|b|. 证明当|ab|0 时,不等式显然成立. 当|ab|0 时, 由 0 1 k k 1 , 1 k 2 kk 1.上 面不等式中kN *,k1; 利用函数的单调性; 真分数性质 “若 00,则 a bn(k1,2, ,,n),得 1 2n 1 nk0,当 1 2|a| |a| b 取得最小值时,求a 的值 . 解由于 ab 2,所以 1 2|a| |a| b ab 4|a| |a| b
18、 a 4|a| b 4|a| |a| b ,由于 b0,|a|0,所以 b 4|a| |a| b 2 b 4|a| |a| b 1,因此当a0 时, 1 2|a| |a| b 的最小值是 1 41 5 4;当 a0, 所以 a 2 bca b 2 c ab c 2 ab cab c(当且仅当 bca a c ab b ab c c 时取等 号). 6.已知 a,b,cR,且 2a 2bc 8,求 (a1) 2(b2)2 (c 3)2 的最小值 . 解由柯西不等式得 (441)(a1) 2(b2)2(c3)22(a1)2(b 2)c32, 9(a1) 2 (b2) 2 (c 3) 2(2a2bc
19、1)2. 2a2bc8, (a1)2(b2)2(c3)2 49 9 , 当且仅当 a 1 2 b2 2 c3 时等号成立, (a1)2(b2)2(c3)2的最小值是 49 9 . B 组专项能力提升 (时间: 40 分钟 ) 7.(2015湖南 )设 a0,b 0,且 ab1 a 1 b. 证明: (1)ab 2; (2)a 2a2 与 b2b 2不可能同时成立 . 证明由 ab 1 a 1 b ab ab ,a0,b0,得 ab1. (1)由基本不等式及ab1,有 ab2 ab 2,即 ab2. (2)假设 a 2a2 与 b2b2 同时成立, 则由 a2a2 及 a0 得 0a1; 同理,
20、 0b1,从而 ab1,这与 ab1 矛盾 . 故 a2a 2 与 b2b2 不可能同时成立. 8.(2015南阳质检 )已知:an 122334, n n1 (nN * ),求证:n n1 2 n, an122 3,n n1 123,n n n 1 2 . n n1 1,即 a 的取值范围是(1, ). (2)由柯西不等式,得 4 2( 5)222 ( x 4) 2( y 5) 2(z 2) 2 (4 x 4 5 y 52 z 2) 2 (xyz) 2, 即 251(xyz)2. 5|xyz|, 5 xyz5. xyz的取值范围是5,5. 10.已知 a,b(0, ),ab1,x1,x2(0
21、, ). (1)求 x1 a x2 b 2 x1x2的最小值; (2)求证: (ax1bx2)(ax2bx1)x1x2. (1)解因为 a,b(0, ),a b1, x1,x2(0, ), 所以 x1 a x2 b 2 x1x2 3 3 x1 a x2 b 2 x1x2 3 3 2 ab3 32 ab 2 2 3 3 86, 18 当且仅当 x1 a x2 b 2 x1x2且 ab,即 ab 1 2 且 x1x21 时, x1 a x2 b 2 x1x2有最小值 6. (2)证明方法一由 a,b (0, ),ab1, x1,x2(0, ),及柯西不等式可得: (ax1 bx2)(ax2bx1)
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