b5应用“垂面、三垂线定理”求“二面角”人教版.pdf
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1、知识改变命运百度提升自我 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 应用“垂面、三垂线定理”求“二面角” 王志强 三垂线定理及其逆定理是立体几何中最重要的知识点。三垂线定理及其逆定理,概括起来, 可叙述为: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线或此斜线的射影,若垂直其中 之一,则必垂直于另一。欲运用上述定理解题,关键注意以下几点: 要善于观察平面不是水平位置的情况,即选好“平面”。 要注意四条线:平面内的一条直线、斜线、 垂线、 射影, 找出(作出) 垂线是至关重要的; 三垂线定理及其逆定理的本质是线线垂直和线面垂直的转化。 若利用三垂线定理作二面角的平面角(这里以二面角为锐角加以说明,以下若
2、不作说明,都 是以锐角为例, 当然若遇到钝角可以转化为求锐角的大小)。我们知道关键是由一个半平面 内一点,作另一个半平面的垂线,此垂线恰是三垂线定理所需的、至关重要的垂线,而这条 垂线往往由两个平面垂直的性质定理来提供!因为两个平面垂直的性质定理的结论正是线面 垂直。 即:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线,就垂直于另一个 平面(简记为:面面垂直找交线,垂直交线垂直面。)。这样在解题过程中,三垂线定理及 两面垂直的性质定理两者有机地结合起来,达到严密推理,快速解题之目的。 综上所述, 我们在作二面角的平面角时,可先找与二面角两个半平面其中之一垂直的第三个 平面(怎样尽快找到
3、第三个平面呢?可从结论出发,使用逆向思维)。若存在(已知图形中 不存在,可以作)第三个平面,就在此平面内作交线的垂线,就等于作出了那个半平面的垂 线,这时要注意在第三个平面内,过哪一点向交线作垂线呢?回答是这个点必在另一个半平 面内(此点常常选在三角形的不落在棱上的一个顶点,有时看结论所求二面角的形式,就知 道这一“点”。),这样才可利用三垂线定理作出二面角的平面角,此平面角含在封闭的直 角三角形中,到此完成了由二面角向平面角转化的过程。 例 1 直三棱柱的底面是等腰直角三角形,AC=1 ,。 连结、,求二面角的大小。 分析从结论“求二面角的大小”出发,一方面考虑从点A向平面引垂 线,关键是看
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