b5我收藏的2009年河南地区高中数学科费马点资料.pdf
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1、知识改变命运百度提升自我 用心爱心专心 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 问题:一只猫观察到一老鼠洞共有三个出口,它们不在一条直线 上,这只猫应蹲在何处,才能最省力地顾及到三个出口? 【回答】:从顾及到老鼠三个出口时的情况,猫都能迅速出击,这只 猫应蹲在到三个出口距离相等的点,这点为由三个出口为顶点构成三 角形的外心。 评析:上述回答错误。 “回答”中只考虑猫到三个出口距离相等,而没有考虑猫到三个 洞口的距离最短。请看下图,显然不应该是ABC的外心 O。 知识改变命运百度提升自我 用心爱心专心 从猫最省力地顾及到三个出口考虑,设三个出口为A、B、C, (1)、当 ABC为等边三角形时,猫应该蹲
2、在ABC的外心 O 点(此时外心与费马点重合); (2)、当 ABC中三个内角都小于1200时,猫应该蹲在到三个 出口距离之和最短的点,即猫应该蹲在费马点。 (3)、当ABC中有一个内角大于或等于120 0 时,猫应该蹲在钝 角的顶点上。 关于费马点: 1、费马点定义:在一个多边形中,到每个顶点距离之和最小的 点叫做这个多边形的费马点。 2、如何求一个三角形的费马点:当一个三角形的最大角小于12 00时,以每一个边向形外做等边三角形,连结该等边三角形的顶点和 该边的对角顶点,三条连线的交点P就是费马点。 知识改变命运百度提升自我 用心爱心专心 3、点 P 是ABC的费马点,则点 P到三个顶点
3、A、B、C的距离之和 最短。 (1)、由下图说明,费马点对边的张角为120 0。 (2)、PA+PB+PC=BB 知识改变命运百度提升自我 用心爱心专心 将APC以点 C为旋转中心旋转 60 0 与BDC 重合,连结 PD,则 PDC为等边三角形,所以 CPD=60 0 又BPC=120 0 ,因此 B、P、 D 三点在同一直线上,又APC=120 0,所以 B、P、D、B 四点在同 一直线上,故 PA+PB+PC=BB 。 (3)、PA+PB+PC 最短 知识改变命运百度提升自我 用心爱心专心 在ABC内任意取一点 M(不与点 P重合),连结 AM、BM、CM, 将AMC以点 C为旋转中心旋转600与BGC 重合,连结 BM、GM、 B G(同上),则 B BB G+GM+MB=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶 点 A、B、C的距离最短。
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