b8换法巧解数学三角题.pdf
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1、用心爱心 专心118 号编辑- 1 - 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 变量替换法巧解数学三角题 在三角函数问题中,通过引人变量进行替换,把问题转化成对新变量的讨论。这种替换可以架起已知通向未知的 桥梁,转化原问题的结构,简化解题过程。替换如果用的巧妙,还可以收到事半功倍的效果。 一、代数替换 通过替换把三角问题转化为代数问题进行讨论,这样可以避开解三角函数式题的麻烦,达到化繁为简、化难为易 的目的。 例 1 求 cos36-cos72 的值。 解:设 x=cos36, y=cos72,由 136cos272cos 2 得12 2 xy, 又72cos2118sin2136cos 22 ,则
2、 2 21yx。 因为)(2)(2 22 yxyxyxyx, 所以 x+y0 所以 2 1 yx,即 2 1 72cos36cos。 例 2 已知 a0,求 y=(sinx+a)(cosx+a)的最大值与最小值。 解: 2 cossin)cos(sin)(cos(sinaxxxxaaxaxy, 设 sinx+cosx=t,则22t且)1( 2 1 cossin 2 txx,代入已知式得:)1( 2 1 )( 2 1 22 aaty。 (1)若20a,则当 t=-a 时,函数取得最小值为)1( 2 ay;当2t时,函数取得最大值为 2 1 2 2 aay。 (2)若2a,则当2t时,函数取得最小
3、值为 2 1 2 2 aay,当2t时,函数取得最大值为 2 1 2 2 aay。 二、整体替换 用整体替换解一些三角习题,即把已知式或待求式视为一个整体进行变形替换。 例 3 已知 2 2 sinsinyx,求 cosx+cosy 的变化范围。 解:设 u=cosx+cosy ,将已知式与待求式两边平方得: yyxx 22 sinsinsin2sin 2 1 , (1) yyxxu 222 coscoscos2cos。 (2) (1)+(2)得:)cos(22 2 12 yxu,即 2 3 )cos(2 2 uyx, 因为2)cos(22yx, 用心爱心 专心118 号编辑- 2 - 所以
4、2 2 3 2 2 u, 解得 2 14 2 14 u。 所以 2 14 coscos 2 14 yx。 三、引入参数 通过引入参变量调节命题结构,把问题转化为对参变量的讨论。 例 5 已知 5 1 cossin,其中0,求 tan 。 解:设t 10 1 sin,t 10 1 cos,则 1) 10 1 () 10 1 ( 22 tt,解得: 10 7 t。若 10 7 t,则0 5 3 sin,不合题意,舍去。 若 10 7 t,则 5 4 sin, 5 3 cos,故 3 4 tan。 例 6 求函数 xx xx y sincos1 cossin 的最大值与最小值。 解:设tsxsin,
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