b8武威六中高中数学论文《从一道求函数值域的题说开》理.pdf
《b8武威六中高中数学论文《从一道求函数值域的题说开》理.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《b8武威六中高中数学论文《从一道求函数值域的题说开》理.pdf(6页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、知识改变命运百度提升自我 用心爱心专心1 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 从一道求函数值域的题说开 在研究函数值域时经常会碰到这样一类函数值域的求法: 例:求函数y= 342 5 2 xx 的值域 . 解:此函数的定义域Rx. 视函数式为关于x 的方程,变形得 05342 2 yyxyx 显然0y(若不然,0y,则方程 为:05不成立 . 0y) Ry, 方程有实根的充要条件是 0)53(24)4( 0 2 yyy y 50y . 故函数的值域为5,0y . 上述解法通常称为判别式法,但我不赞成这中说法,原因这不是实质,其实质是方程法. 在众多的书刊与教学中,人们只孤立介绍“反函数法”、 “
2、分离中间变量法” 、 “利用函数有界性法” 、 “判别 式法”等特殊方法来求函数的值域,而对这些方法的共性与实质联系却很少予以问津. 事实上,上述方法 都是运用了方程思想,把函数式y=f(x)看作关于x 的方程( y 为参数),在此基础上依据各自的原理进行 探求 . 其中“判别式法”不需要通过解方程,只要直接利用关于x 的一元二次方程有实根的条件,求出使 该方程有实数解的y 的取值范围,就能确定相应函数的值域. 因而此法较之其他各法更能受到师生的“青 睐” . 但善于思索的学生难免会问:()为什么“判别式法”所涉及的两种不同定义的集合,即“使关于 x 的方程有实根的y 的取值集合”与所给函数的
3、值域恰好相同?()既然其他各法也都是方程的观点审 视函数为出发点,那么有关函数的值域是否也可直接利用方程有 解的条件来加以确定,从而简化其求解步骤呢?下面,我就一般情形来解释上述问题之(),随之问题 ()也获得解释. 所谓方程法:即把函数解析式y=f(x)(将 y 视为常数 ) 视为关于x 的方程,求出方程在定义域xA上 有解的充要条件,即得值域yC. 其理论依据如下: 定理: 设函数 y=f(x)的定义域为A,值域为 B,又设“使关于x 的方程 y=f(x)在 A中有解的y 的取值集合” 为 B, 则 B =B成立 . ()设y0是 B中的任意一值,则有集合B的定义可知,关于x 的方程 y0
4、= f(x)在 A中定有实数 知识改变命运百度提升自我 用心爱心专心2 解 x0, 这样,对于 x0A,就有 f(x 0)= y0成立, 说明 y0是函数 y=f(x)的一个函数值,即y0 B,故 B B. ()又设y1是 B中任意一值,根据函数是“从定义域A到值域 B上的映射”, y1在 A中必有原象, 因而当 y=y1时“关于 x 的 方程” y=f(x)在 A中有解,这说明y1 B ,故 B B. 由()()即证B=B. 据此, 我们既可以解释用“判别式法” 求有关函数值域的理由,又可以顺势将 “判别式法” 推广为 “利 用方程有解条件”去求原来只适用于其他方法的一些函数的值域. 这样求
5、解的本质特征是, 把求函数值域的 问题转化为求使“关于x 的方程”在函数定义域内有解的y 的取值集合问题,由于此法强化了方程思想的 运用,因此就不妨称之为“方程法”. 利用上面定理一方面可将函数值域转化为方程有解问题,另一方面 将方程有解的问题转化为值域问题下面再举几例. 1. 将函数值域转化为方程有解问题 例1. 函数)11,0(1xaaxy的值域 . 解:由1axy得关于 x 的方程, )0( 1 a a y x 此方程在原函数定义域1 , 1有解的充要条件是: ay a y a y 11 1 1 1 1 ayaaya111 故函数的值域为aay1 ,1. 例2. 求函数xy1的值域 .
6、解:由xy1得关于 x 的方程,yx1 0x要使方程yx1有解 则,01y解得1y 故函数的值域为1,y. 例3. 求函数 xx xx ee ee y的值域 . 解:由 xx xx ee ee y得 1 1 2 2 x x e e y(显然,.1y否则会导致11的矛盾) 变形得关于x的方程, y y e x 1 1 2 此方程在原函数定义域R上有解的充要条件是 知识改变命运百度提升自我 用心爱心专心3 11.0 1 1 y y y 即. 故所求函数的值域为1 ,1. 例 4 . 求函数 y= 3sin 2cos 的值域 . 解:由 y= 3sin 2cos 可得, 2cos3sinyy , 即
7、yy32)sin(1 2 ) 1 tan( y 为辅助角, ,这个关于的三角方程有解的条件是: 1 1 32 2 y y . 解得 4 33 4 33 y. 故原函数的值域为 4 33 , 4 33 . 2. 例 5 . 已知关于x 的方程 2 x2 +a2 x +a+1=0 有实根 . 求实数 a 的取值范围 . 分析本题可以直接从方程的角度着手. 但若将方程变形为a=- 12 12 2 x x ,即将 a 视为 x 的函数,将原问题 转化为求此函数的值域,不失为一种很好的方法. 令 2 x +1=t ,则 t1,于是 .222 2 2 22 2 t tt tt a 此即为所求的a 的取值范
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 从一道求函数值域的题说开 b8 武威 高中数学 论文 一道 函数 值域 说开
链接地址:https://www.31doc.com/p-5106210.html