k520061278497996.pdf
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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 第八章圆锥曲线方程 (二) 抛物线 知识网络 范题精讲 【例 1】 已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,抛物线上的点M(3,m)到焦点 的距离等于5,求抛物线的方程和m 的值 . 分析 :本题主要考查抛物线的性质和定义及有关抛物线的运算. 解:抛物线方程应设为y2=2px(p0), 则焦点是 F( 2 p ,0). 点 M(3,m)在抛物线上,且|MF|=5, 故 . 5) 2 3( ,6 22 2 m p pm 解得 62 , 4 m p 或 .62 ,4 m p 抛物线方程为y2= 8x,m= 26. 【例 2】 设抛物线y2=4x 截直
2、线 y=2x+k 所得弦长 |AB|=35. (1)求 k 的值; (2)以弦 AB 为底边, x 轴上的 P 点为顶点组成的三角形面积为39 时,求点P 的坐标 . 分析 :本题考查直线与抛物线的性质及综合运算能力. 解:(1)设 A(x1,y1)、 B(x2,y2),由 ,4 ,2 2 xy kxy 得 4x 2+4(k1)x+k2=0,=16(k1)216k20, k0),一光源在点 M( 4 41 ,4)处,由其发出的光线沿平行 于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P,反射后又射向抛物线上的点Q,再反射后,又沿 平行于抛物线的轴的方向射出,途中遇到直线l:2x4y17=0 上的点 N,再
3、反射后又射回点 M(如图 ). l P Ox y M NQ (1)设 P、Q 两点的坐标分别为(x1,y1)、 (x2,y2),证明 :y12 y2=p 2; (2)求抛物线的方程; (3)试判断 :在抛物线上是否存在一点,使该点与点M 关于 PN 所在的直线对称?若存在, 请求出此点的坐标;若不存在,请说明理由. (1)证明 :由抛物线的光学性质及题意知光线PQ 必过抛物线的焦点F( 2 p ,0),设直线 PQ 的 方程为 y=k(x 2 p ). 由式得 x= k 1 y+ 2 p ,将其代入抛物线方程y 2=2px 中,整理得 y 2 k p2 y p 2=0.由韦达定 理, y1y2
4、=p 2. 当直线 PQ 倾斜角为90时,将 x= 2 p 代入抛物线方程,得y=p,同样得到y1y2=p2. (2)解:因为光线QN 经直线 l 反射后又射向M 点,所以直线MN 与直线 QN 关于直线l 对称 .设点 M( 4 41 ,4)关于 l 的对称点为M(x,y), 则 .017 2 4 4 2 4 41 2 , 1 2 1 4 41 4 y x x y 解得 .1 , 4 51 y x 直线 QN 的方程为 y=1,Q 点的纵坐标y2=1,由题设 P 点的纵坐标 y1=4,且由 (1)知 y1y2= 知识就是力量 p 2,则 42 (1)=p2,得 p=2. 所求抛物线的方程为y
5、2=4x. (3)解:将 y=4 代入 y 2=4x,得 x=4,故 P 点坐标为 (4,4). 将 y=1 代入直线l 的方程 2x4y17=0,得 x= 2 13 ,故 N 点坐标为 ( 2 13 , 1). 由 N、P 两点坐标得直线PN 的方程为2x+y12=0.设 M 点关于直线NP 的对称点 M1(x1,y1), 则 . 012 2 4 2 4 41 2 , 1)2( 4 41 4 1 1 1 1 y x x y 解得 . 1 , 4 1 1 1 y x M1( 4 1 ,1)的坐标是抛物线方程y 2=4x 的解, 故抛物线上存在一点 ( 4 1 , 1)与点 M 关于 直线 PN
6、 对称 . 试题详解 高中同步测控优化训练 (十三) 第八章圆锥曲线方程 (二)(A 卷) 说明 :本试卷分为第、卷两部分,请将第卷选择题的答案填入题后括号内,第 卷可在各题后直接作答.共 100分,考试时间90 分钟 . 第卷 (选择题共 30 分) 一、选择题 (本大题共10 小题,每小题3 分,共 30 分) 1.已知抛物线的焦点坐标为(3,0),准线方程为x=3,则抛物线方程是 A.y 2+6x=0 B.y 2+12x=0 C.y+6x 2=0 D.y+12x 2=0 分析 :本题考查抛物线的方程. 解:由题意知p=6,焦点在 x 轴上 ,开口向左 ,顶点在原点 ,所以方程为y2= 1
7、2x,即 y2+12x=0. 答案 :B 2.若抛物线y 2=2px(p0)上三点的横坐标成等差数列,那么这三点与焦点 F 的距离的关 系是 A.成等差数列 B.成等比数列 C.既成等差数列,又成等比数列 D.既不成等差数列,也不成等比数列 解析 :假设抛物线上三点A、 B、 C 的横坐标分别为xA、xB、 xC,根据焦半径公式可 知:|AF|=xA+ 2 p ,|BF|=xB+ 2 p ,|CF|=xC+ 2 p . 又 xA、xB、xC成等差数列 , 知识就是力量 |AF|、|BF|、|CF|也成等差数列 . 答案 :A 3.设过抛物线的焦点F 的弦为 PQ,则以 PQ 为直径的圆与抛物线
8、的准线的位置关系是 A.相交B.相切 C.相离D.以上答案均有可能 l Q G N F P M 1O Ox y 解析 :如图,作PMl 于 M, QNl 于 N,由抛物线定义知|PM|=|PF|,|QN|=|QF|, |PM|+|QN|=|PQ|.设 QP 的中点为 O1,过 O1作 O1Gl 于 G,|O1G|= 2 1 (|PM|+|QN|)= 2 1 |PQ|. 以 PQ 为直径的圆与准线l 相切 . 答案 :B 4.已知 mn 0,则方程 mx 2+ny2=1 与 mx+ny2=0 在同一坐标系下的图形可能是 O O O O y y y y x x x x AB CD 分析 :本题考查
9、二次方程的曲线. 解 : mn0 且 mx2+ny2=1, m 0,n0 或 m 0,n0 或 m0,n0.当 m0,n 0 时 ,mx2+ny2=1 的轨迹为椭圆 ,mx+ny 2=0 是焦点在 x 轴负半轴的抛物线;当m 0,n 0 时,mx2+ny2=1 是焦点在 x 轴上的双曲线,mx+ny 2=0 为开口向右的抛物线;当 m0,n 0 时,mx 2+ny2=1 是焦点在 y 轴上的双曲线,mx+ny 2=0 为开口向右的抛物线 .故选 A. 答案 :A 5.抛物线 y=ax 2 的准线方程是y=2,则 a的值是 A. 8 1 B. 8 1 C.8 D.8 分析 :本题考查抛物线的方程
10、. 解:抛物线标准方程形式为x2= a 1 y,其准线方程为y= a4 1 =2,得 a= 8 1 . 答案 :B 知识就是力量 6.关于 x、y 的方程 x 2+ky2=1 不能表示的曲线是 A.直线B.圆或椭圆 C.双曲线D.抛物线 解析 :k( ,0)表示双曲线, k=0 表示直线, k(0,1)(1,+)表示椭圆, k=1 表示圆 . 故不能表示抛物线. 答案 :D 7.抛物线型拱桥,当水面距拱顶8 m 时,水面宽24 m,若雨后水面上涨2 m,则此时的 水面宽约为 (以下数据供参考:31.7,2 1.4) A.20.4 m B.10.2 m C.12.8 m D.6.4 m 解析 :
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