k52006年高考第一轮复习数学:11.3相互独立事件同时发生的概率.pdf
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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 11.3 相互独立事件同时发生的概率 知识梳理 1.相互独立事件: 事件 A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响,这样的两个事件叫相 互独立事件 . 2.独立重复实验:如果在一次试验中某事件发生的概率为p,那么在n 次独立重复试验 中,这个事件恰好发生k 次的概率为Pn(k)=C k n p k(1p)nk. 3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解: 第一,相互独立也是研究两个事件的关系; 第二,所研究的两个事件是在两次试验中得到的; 第三,两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响” 来确定的 . 4.互斥事件
2、与相互独立事件是有区别的: 两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生,两事件相互独立是指不同试验下,二 者互不影响;两个相互独立事件不一定互斥,即可能同时发生,而互斥事件不可能同时发生. 5.事件 A 与 B 的积记作 AB,AB 表示这样一个事件,即A 与 B 同时发生 . 当 A 和 B 是相互独立事件时,事件AB 满足乘法公式P(AB)=P(A) P(B) ,还 要弄清AB,BA的区别 . AB表示事件A与B同时发生,因此它们的对立事件A 与 B 同时不发生, 也等价于 A 与 B 至少有一个发生的对立事件即BA, 因此有ABBA, 但AB=BA. 点击双基 1.(2004 年辽宁,
3、 5)甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p1,乙 解决这个问题的概率是p2,那么恰好有1 人解决这个问题的概率是 A.p1p2 B.p1(1p2)+p2(1p1) C.1p1p2 D.1( 1p1) (1p2) 解析:恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决,故所求概率是p1(1 p2) +p2(1p1). 答案: B 2.将一枚硬币连掷5 次,如果出现k 次正面的概率等于出现k+1 次正面的概率,那么k 的值为 A.0 B.1 C.2 D.3 解析:由C k 5 ( 2 1 ) k( 2 1 ) 5k=C 1 5 k ( 2 1 ) k+1 ( 2 1 ) 5k1,
4、 即 C k 5=C 1 5 k ,k+(k+1)=5,k=2. 答案: C 知识就是力量 3.从应届高中生中选出飞行员,已知这批学生体型合格的概率为 3 1 ,视力合格的概率为 6 1 ,其他几项标准合格的概率为 5 1 ,从中任选一学生,则该生三项均合格的概率为(假设 三项标准互不影响) A. 9 4 B. 90 1 C. 5 4 D. 9 5 解析: P= 3 1 6 1 45 1 = 90 1 . 答案: C 4.一道数学竞赛试题,甲生解出它的概率为 2 1 ,乙生解出它的概率为 3 1 ,丙生解出它的 概率为 4 1 ,由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为_. 解析: P
5、= 2 1 3 2 4 3 + 2 1 3 1 4 3 + 2 1 3 2 4 1 = 24 11 . 答案: 24 11 5.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯这一事 件是相互独立的,并且概率都是 3 1 .那么这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概 率是 _. 解析: 因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯,所以 P=(1 3 1 ) (1 3 1 ) 3 1 = 27 4 . 答案: 27 4 典例剖析 【例 1】(2004 年广州模拟题)某班有两个课外活动小组,其中第一小组有足球票6 张,排球票 4 张;第二小组有足球票
6、4 张,排球票 6 张.甲从第一小组的10 张票中任抽1 张, 乙从第二小组的10 张票中任抽1 张. (1)两人都抽到足球票的概率是多少? (2)两人中至少有1 人抽到足球票的概率是多少? 解:记“甲从第一小组的10 张票中任抽1 张,抽到足球票”为事件A, “乙从第二小组 的 10 张票中任抽1 张,抽到足球票”为事件B;记“甲从第一小组的10 张票中任抽1 张, 抽到排球票”为事件A, “乙从第二小组的10 张票中任抽1 张,抽到排球票”为事件B, 于是 P(A)= 10 6 = 5 3 ,P(A)= 5 2 ; P(B)= 10 4 = 5 2 ,P(B)= 5 3 . 由于甲(或乙)
7、是否抽到足球票,对乙(或甲)是否抽到足球票没有影响,因此A 与 B 是相互独立事件. (1)甲、乙两人都抽到足球票就是事件AB 发生,根据相互独立事件的概率乘法公 知识就是力量 式,得到P(AB)=P(A) P(B)= 5 3 5 2 = 25 6 . 答:两人都抽到足球票的概率是 25 6 . (2)甲、乙两人均未抽到足球票(事件AB发生)的概率为 P(AB)=P(A) P(B)= 5 2 5 3 = 25 6 . 两人中至少有1 人抽到足球票的概率为 P=1P(AB)=1 25 6 = 25 19 . 答:两人中至少有1 人抽到足球票的概率是 25 19 . 【例 2】 有外形相同的球分别
8、装在三个不同的盒子中,每个盒子中有10 个球 .其中第一 个盒子中有7 个球标有字母A,3 个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5 个;第 三个盒子中有红球8 个,白球2 个.试验按如下规则进行:先在第一个盒子中任取一个球, 若取得标有字母A 的球,则在第二个盒子中任取一球;若第一次取得标有字母B 的球,则 在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球,则称试验成功,求试验成功的概率. 解:设事件A:从第一个盒子中取得一个标有字母A 的球;事件B:从第一个盒子中取 得一个标有字母B 的球,则A、B 互斥,且 P(A)= 10 7 , P(B)= 10 3 ;事件 C:从第二号 盒子中
9、取一个红球,事件D:从第三号盒子中取一个红球,则C、 D 互斥,且 P(C)= 2 1 , P(D)= 10 8 = 5 4 . 显然,事件AC 与事件 BD 互斥,且事件A 与 C 是相互独立的, B 与 D 也是相互独 立的 .所以试验成功的概率为P=P(AC+BD)=P( AC)+P(B D) =P(A) P(C) +P(B) P(D)= 100 59 . 本次试验成功的概率为 100 59 . 【例 3】(2004 年福州模拟题)冰箱中放有甲、乙两种饮料各5 瓶,每次饮用时从中 任意取 1 瓶甲种或乙种饮料,取用甲种或乙种饮料的概率相等. (1)求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3 瓶
10、的概率; (2)求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4 瓶的概率 . 解: (1)由题意知,甲种已饮用5 瓶,乙种已饮用2 瓶. 记“饮用一次,饮用的是甲种饮料”为事件A, 则 p=P(A)= 2 1 . 题(1)即求 7 次独立重复试验中事件A 发生 5 次的概率为P7(5)=C 5 7p 5(1 p)2=C2 7 ( 2 1 ) 7= 128 21 . (2)有且仅有3 种情形满足要求: 知识就是力量 甲被饮用5 瓶,乙被饮用1 瓶;甲被饮用5 瓶,乙没有被饮用;甲被饮用4 瓶,乙没有 被饮用 . 所求概率为P6(5)+P5( 5)+P4(4)=C 6 5 p 5(1p) +C5
11、 5 p 5+C4 4 p 4 = 16 3 . 答:甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩3 瓶的概率为 128 21 ,甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被饮 用瓶数至少多4 瓶的概率为 16 3 . 闯关训练 夯实基础 1.若 A 与 B 相互独立,则下面不相互独立事件有 A.A 与 A B.A 与 B C. A与 B D. A与B 解析:由定义知,易选A. 答案: A 2.在某段时间内,甲地不下雨的概率为0.3,乙地不下雨的概率为0.4,假设在这段时间 内两地是否下雨相互无影响,则这段时间内两地都下雨的概率是 A.0.12 B.0.88 C.0.28 D.0.42 解析: P=(10.3) ( 10.4)=
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