k52006年高考第一轮复习数学:13.1数学归纳法.pdf
《k52006年高考第一轮复习数学:13.1数学归纳法.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《k52006年高考第一轮复习数学:13.1数学归纳法.pdf(10页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 第十三章极限 网络体系总览 数 学 归 纳 法应 用 极 限 数 列 的 极 限 函 数 的 极 限 四 则 运 算 法 则 无 穷 等 比 数 列 函 数 的 连 续 性 考点目标定位 1.数学归纳法、极限 要求: ( 1)理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (2)了解数列极限和函数极限的概念. (3)掌握极限的四则运算法则,会求某些数列与函数的极限. (4)了解函数连续的意义,理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质. 复习方略指南 极限的概念和方法是近代数学的核心内容,微积分学的基本概念、基本方法在现代实践 中越
2、来越多的被应用,并在现代数学及相关学科的研究中不断得到进一步的发展.本章的主 要内容由两部分组成,一是数学归纳法,二是极限.学习极限时要注意数列极限和函数极限 的联系和区别、函数的极限与函数连续性的渐进性. 13.1 数学归纳法 知识梳理 1.数学归纳法的定义:由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方 法: (1)先证明当n=n0(n0是使命题成立的最小自然数)时命题成立;(2)假设当n=k(k N*, kn0)时命题成立,再证明当n=k+1 时命题也成立,那么就证明这个命题成立, 这种证明方法叫数学归纳法. 2.数学归纳法的应用:证恒等式;整除性的证明;探求平面几何中的问题;探
3、 求数列的通项;不等式的证明. 特别提示 (1)用数学归纳法证题时,两步缺一不可; (2)证题时要注意两凑:一凑归纳假设;二凑目标. 点击双基 1.设 f(n)= 1 1 n + 2 1 n + 3 1 n +,+ n2 1 (nN *) ,那么 f( n+1) f(n)等于 A. 12 1 n B. 22 1 n C. 12 1 n + 22 1 n D. 12 1 n 22 1 n 知识就是力量 解析:f (n+1) f (n) = 2 1 n + 3 1 n +,+ n2 1 + 12 1 n + 22 1 n ( 1 1 n + 2 1 n +, + n2 1 )= 12 1 n +
4、22 1 n 1 1 n = 12 1 n 22 1 n . 答案: D 2.(2004 年太原模拟题) 若把正整数按下图所示的规律排序,则从 2002 到 2004 年的箭 头方向依次为 A.B.D.C. 1 23 45 67 89 1011 12 , 解析: 2002=4500+2,而 an=4n 是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数 . 答案: D 3.凸 n 边形有 f(n)条对角线,则凸n+1 边形有对角线条数f(n+1)为 A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n1 D.f(n)+n 2 解析:由 n 边形到 n+1 边形,增加的对角线是增加的一个顶点与原n2 个
5、顶点连成的 n2 条对角线,及原先的一条边成了对角线. 答案: C 4.用数学归纳法证明“ (n+1) (n+2) , (n+n)=2 n13, (2n 1) ” ,从“ k 到 k+1”左端需增乘的代数式为 A.2k+1 B.2(2k+1)C. 1 12 k k D. 1 32 k k 解析:当 n=1 时,显然成立 . 当 n=k 时,左边 =(k+1) (k+2) , (k+k) , 当 n=k+1 时,左边 =( k+1+1) (k+1+2) , (k+1+k) (k+1+k+1) =(k+2) (k+3) , (k+k) (k+1+k) (k+1+k+1) =(k+1) (k+2)
6、, (k+k) 1 )22)(12( k kk =(k+1) ( k+2) , (k+k)2(2k+1). 答案: B 5.( 2004 年春季上海,8)根据下列5 个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n 个图形中有 _个点 . 解析:观察图形点分布的变化规律,发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除 中心外还有两边,每边一个点 ;第三个图形中除中心点外还有三个边,每边两个点 ;,;依次类 推,第 n 个图形中除中心外有n 条边,每边n1 个点,故第n 个图形中点的个数为n(n 1)+1. 答案: n2n+1 典例剖析 【例 1】 比较 2n与 n2的大小( nN *). 知识就是力量
7、 剖析:比较两数(或式)大小的常用方法本题不适用,故考虑用归纳法推测大小关系, 再用数学归纳法证明. 解:当 n=1 时, 2112, 当 n=2 时, 22=2 2,当 n=3 时, 2332, 当 n=4 时, 24=4 2,当 n=5 时, 2552, 猜想:当 n5 时, 2nn2. 下面用数学归纳法证明: (1)当 n=5 时, 2 552 成立 . (2)假设 n=k(k N *,k5)时 2kk2, 那么 2k+1=22k=2k+2kk2+(1+1)k k2+C 0 k+C 1 k+C 1k k =k 2+2k+1=(k+1)2. 当 n=k+1 时, 2nn2. 由( 1) (
8、2)可知,对n5 的一切自然数2 n n2 都成立 . 综上,得当n=1 或 n5 时, 2nn2;当 n=2, 4 时, 2n=n2;当 n=3 时, 2nn2. 评述: 用数学归纳法证不等式时,要恰当地凑出目标和凑出归纳假设,凑目标时可适当 放缩 . 深化拓展 当 n5 时,要证2n n2,也可直接用二项式定理证:2n=( 1+1) n=C0 n+C 1 n+C 2 n+, +C 2n n +C 1n n +C n n 1+n+ 2 )1(nn + 2 )1(nn =1+n+n 2 nn2. 【例 2】 是否存在常数a、 b、 c 使等式 1(n 212) +2 (n222) +, +n
9、(n 2n2) =an4+bn2+c 对一切正整数n 成立 ?证明你的结论. 剖析:先取 n=1,2,3 探求 a、b、c 的值, 然后用数学归纳法证明对一切n N* ,a、b、 c 所确定的等式都成立. 解:分别用n=1,2,3 代入解方程组 .0 , 4 1 , 4 1 18981 3416 0 c b a cba cba cba 下面用数学归纳法证明. (1)当 n=1 时,由上可知等式成立; (2)假设当n=k+1 时,等式成立, 则当 n=k+1 时,左边 =1 (k+1) 212+2 (k+1)222+, +k (k+1)2k2+(k+1) (k+1) 2( k+1)2=1 (k2
10、12)+2(k222) +, +k(k2k2)+1 (2k+1)+2(2k+1) +, +k(2k+1) = 4 1 k 4+( 4 1 )k2+(2k+1)+2(2k+1) +, +k(2k+1)= 4 1 (k+1) 4 4 1 (k+1) 2. 当 n=k+1 时,等式成立. 由( 1) (2)得等式对一切的nN*均成立 . 评述:本题是探索性命题,它通过观察归纳猜想证明这一完整的思路过程 去探索和发现问题,并证明所得结论的正确性,这是非常重要的一种思维能力. 知识就是力量 【例 3】(2003 年全国)设 a0为常数,且 an=3n 12a n1 (nN*) .证明:n1 时, an=
11、 5 1 3 n+ ( 1) n12n+( 1)n2na 0. 剖析:给出了递推公式,证通项公式,可用数学归纳法证. 证明: ( 1)当 n=1 时, 5 1 3+2 2a0=12a0,而 a1=302a0=12a0. 当 n=1 时,通项公式正确. (2)假设 n=k(k N*)时正确,即ak= 5 1 3k+( 1) k12k+( 1)k2ka 0, 那么 ak+1=3k 2ak=3k 5 2 3k+ 5 2 ( 1) k2k+( 1)k+12k+1a 0 = 5 3 3k+ 5 1 ( 1) k2k+1 +( 1) k+1 2k+1a 0 = 5 1 3 k+1+( 1)k2k+1+(
12、1)k+12k+1a 0.当 n=k+1 时,通项公式正确. 由( 1) (2)可知,对nN*,an= 5 1 3n+( 1) n12n+( 1)n2n a 0. 评述:由 n=k 正确n=k+1 时也正确是证明的关键. 深化拓展 本题也可用构造数列的方法求an. 解: a0为常数, a1=32a0. 由 an=3 n12a n1, 得 n n a 3 3 = 1 1 3 2 n n a +1, 即 n n a 3 = 3 2 1 1 3 n n a + 3 1 . n n a 3 5 1 = 3 2 ( 1 1 3 n n a 5 1 ). n n a 3 5 1 是公比为 3 2 ,首项为
13、 5 1 3 23 0 a 的等比数列 . n n a 3 5 1 =( 5 4 3 2 a0) ( 3 2 ) n1. an=( 5 4 3 2 a0) ( 2) n13+ 5 1 3n = 5 1 3n+( 1) n12n+( 1)n2na 0. 注:本题关键是转化成an+1=can+d 型. 闯关训练 夯实基础 1.如果命题P(n)对 n=k 成立,则它对n=k+1 也成立,现已知P(n)对 n=4 不成立, 则下列结论正确的是 A.P( n)对 nN* 成立 B.P(n)对 n4 且 nN* 成立 知识就是力量 C.P(n)对 n4 且 nN* 成立 D.P( n)对 n4 且 nN*
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- k52006 年高 第一轮 复习 数学 13.1 归纳法
链接地址:https://www.31doc.com/p-5106375.html