k52006年高考第一轮复习数学:13.3函数的极限.pdf
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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 13.3 函数的极限 知识梳理 1.函数极限的概念: (1)如果 xlim f(x)=a 且 xlim f(x) =a,那么就说当x 趋向于无穷 大时,函数f(x)的极限是a,记作 x limf(x)=a,也可记作当x时, f(x) a. (2)一般地,当自变量x 无限趋近于常数x0(但 x 不等于 x0)时,如果函数f(x)无 限趋近于一个常数a,就说当 x 趋近于 x0时,函数f(x)的极限是a,记作 0 lim xx f(x)=a,也可 记作当 xx0时, f(x) a. (3)一般地,如果当x 从点 x=x0左侧(即xx0)无限趋近于x0
2、时,函数f(x)无限 趋近于常数a,就说 a 是函数 f(x)在点 x0处的左极限,记作 0 lim xx f ( x)=a.如果从点x=x0 右侧(即 xx0)无限趋近于x0时,函数 f (x)无限趋近于常数a,就说 a 是函数f (x)在 点 x0处的右极限,记作 0 lim xx f(x)=a. 2.极限的四则运算法则: 如果 0 lim xx f (x)=a, 0 lim xx g(x)=b,那么 0 lim xx f(x) g(x)= ab; 0 lim xx f(x) g(x)= ab; 0 lim xx )( )( xg xf = b a (b0). 特别提示 (1)上述法则对x
3、的情况仍成立; (2) 0 lim xx Cf(x)= C 0 lim xx f(x) (C 为常数) ; (3) 0 lim xx f(x) n= 0 lim xx f(x) n( nN *). 点击双基 1. 0 lim xx f(x)= 0 lim xx f(x)=a 是 f(x)在 x0处存在极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 :C 2.f(x)= , 10 , 12 x xx 下列结论正确的是 知识就是力量 A.)(lim 1 xf x = 1 lim x f(x) B.)(lim 1 xf x =2,)(lim 1 xf x
4、 不存在 C. 1 lim x f (x)=0, )(lim 1 xf x 不存在 D. 1 lim x f (x) 1 lim x f (x) 答案 :D 3.函数 f( x)在 x0处连续是 f(x)在点 x0处有极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 :A 4.(2005 年西城区抽样测试) 1 lim x xx xx 2 2 2 =_. 解析 : 1 lim x xx xx 2 2 2 = 1 lim x )1( )2)(1( xx xx = 1 lim x x x2 =3. 答案 :3 5.若 1 lim x 3 3 2 2 x
5、axx =2,则 a=_. 解析 : 1 lim x 3 3 2 2 x axx =2, 4 4a =2. a=4. 答案 :4 典例剖析 【例 1】求下列各极限: (1) 2 lim x ( ) 2 1 4 4 2 xx ; (2) x lim()(bxaxx) ; (3) 0 lim x | x x ; (4) 2 lim x . 2 sin 2 cos cos xx x 剖析 :若 f (x)在 x0处连续,则应有 0 lim xx f ( x)=f (x0),故求 f (x)在连续点x0处 知识就是力量 的极限时,只需求f (x0)即可;若f (x)在 x0处不连续,可通过变形,消去x
6、x0因式, 转化成可直接求f(x0)的式子 . 解:(1)原式 2 lim x 4 )2(4 2 x x 2 lim x 2 1 x = 4 1 . (2)原式 = x lim xabxbax abxba )( )( 2 =a+b. (3)因为 0 lim x | x x =1,而= 0 lim x | x x =1, 0 lim x | x x 0 lim x | x x , 所以 0 lim x | x x 不存在 (4)原式 = 2 lim x 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 22 xx xx 2 lim x (cos 2 x +sin 2 x )2. 思考讨论 数列极限
7、与函数极限的区别与联系是什么? 【例 2】(1)设 f(x)= ,021 ;)(lim,00 ,02 0 x xfbx xbx x x 存在使的值试确定; (2)f ( x)为多项式 ,且 x lim x xxf 3 4)( =1, 0 lim x x xf)( =5,求 f(x)的表达式 . 解:(1) 0 lim x f (x)= 0 lim x (2x+b)=b, 0 lim x f(x)= 0 lim x (1+2 x)=2, 当且仅当b=2 时, 0 lim x f (x)= 0 lim x f (x), 故 b=2 时,原极限存在 . (2)由于 f( x)是多项式 ,且 x li
8、m x xxf 3 4)( =1, 可设 f (x)=4x 3+x2+ax+b(a、b 为待定系数) . 又 0 lim x x xf)( =5, 即 0 lim x (4x 2+x+a+ x b )=5, a=5,b=0,即 f (x)=4x 3+x2 +5x. 评述 :(1)函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同. (2)初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而 言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化. 知识就是力量 【例 3】 讨论函数 f (x)= n lim n n x x 2 2 1 1 x ( 0x+)的连续性,并作出函数图象. 部析 :
9、应先求出f (x)的解析式,再判断连续性. 解:当 0x1 时, f (x)= n lim n n x x 2 2 1 1 x=x; 当 x1 时, f (x) = n lim n n x x 2 2 1 1 x= n lim 1 1 1 1 2 2 n n x x x=x; 当 x=1 时,f (x)=0. f (x) = ).1( ),1(0 ),10( xx x xx i 1 lim x f( x)= 1 lim x ( x)=1, 1 lim x f( x)= 1 lim x x=1, 1 lim x f(x)不存在 . f (x)在 x=1 处不连续, f (x)在定义域内的其余点都
10、连续. 图象如下图所示. O x y 1 - 1 1 评述 :分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而判断连续性. 闯关训练 夯实基础 1.已知函数 f (x)是偶函数 ,且 xlim f (x)=a,则下列结论一定正确的是 A. xlim f(x)= aB. xlim f (x)=a C. xlim f(x)=|a| D. xlim f(x)=|a| 解析: f (x)是偶函数 ,f ( x)=f(x). 又 xlim f (x)=a, xlim f( x) =a,f (x)=f ( x), xlim f( x)= xlim f ( x)=a. 知识就是力量 答案: B
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