k52006年高考第一轮复习数学:13.4函数的连续性及极限的应用.pdf
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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 13.4 函数的连续性及极限的应用 知识梳理 1.函数的连续性 . 一般地,函数f(x)在点 x=x0处连续必须满足下面三个条件: (1)函数f(x)在点x=x0处有定义;(2) 0 lim xx f(x)存在;(3) 0 lim xx f(x)=f(x0). 如果函数y=f(x)在点 x=x0处及其附近有定义,而且 0 lim xx f(x)=f(x0),就说函数 f(x)在 点 x0处连续 . 2.如果 f(x)是闭区间a,b上的连续函数,那么f(x)在闭区间 a,b上有最大值 和最小值 . 3.若 f(x) 、g(x)都在点 x0处连续 ,
2、则 f(x) g(x) ,f(x) 2 g(x), )( )( xg xf (g(x) 0)也在点x0处连续 .若 u(x)在点 x0处连续 ,且 f( u)在 u0=u(x0)处连续 ,则复合函数fu (x) 在点 x0处也连续 . 特别提示 (1)连续必有极限,有极限未必连续. (2)从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“f”是可以交换 顺序的 . 点击双基 1.f(x)在 x=x0处连续是f(x)在 x=x0处有定义的 _条件 . A.充分不必要B.必要不充分 C.充要D.既不充分又不必要 解析: f( x)在 x=x0处有定义不一定连续. 答案: A 2.f(x)
3、= x x cos cos 的不连续点为 A.x=0 B.x= 12 2 k ( k=0,1,2, ) C.x=0 和 x=2k (k=0,1,2, ) D.x=0 和 x= 12 2 k (k=0,1,2, ) 解析:由cos x =0,得 x =k+ 2 (kZ),x= )( 12 2 Zk k . 又 x=0 也不是连续点 ,故选 D 答案: D 知识就是力量 3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是 x y O x0 x y O x0 x y Ox0 x y O x0 A.B.C.D. 答案: A 4.四个函数 : f(x)= x 1 ;g(x)=sinx;f(x)=|x|; f(x
4、)=ax 3 +bx 2+cx+d.其中在 x=0 处连续的函数是_.(把你认为正确的代号都填上) 答案: 典例剖析 【例 1】(1)讨论函数f(x)= )0(1 ;0),0(0 ),0(1 x xx x 处的连续性在点 (2)讨论函数f(x) = 3x x 在区间 0,3上的连续性. 剖析: (1)需判断 0 lim x f(x)= 0 lim x f(x)=f(0) . (2)需判断 f(x)在( 0,3)上的连续性及在x=0 处右连续 ,在 x=3 处左连续 . 解:(1) 0 lim x f(x)=1, 0 lim x f(x) =1, 0 lim x f(x) 0 lim x f(x
5、), 0 lim x f(x)不存在 .f(x)在 x=0 处不连续 . (2) f(x)在 x=3 处无定义 , f(x)在 x=3 处不连续 . f(x)在区间 0,3上不连续 . 【例 2】 设 f(x)= ),0( ),0(e xxa x x 当 a 为何值时 ,函数 f( x)是连续的 . 解 : 0 lim x f( x) = 0 lim x ( a+x) =a, 0 lim x f( x) = 0 lim x e x=1,而 f( 0)=a,故当 a=1 时 , 0 lim x f(x)=f(0), 即说明函数f(x)在 x=0 处连续 ,而在 x0 时,f(x)显然连续 ,于是
6、我们可判断当a=1 知识就是力量 时, f(x)在( ,+)内是连续的. 评述:分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性. 【例3】如右图 ,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点, 然后采用如下方法进行:从原点出发 ,在 x 轴上向正方向前进a(a0)个单位 后,向左转 90,前进 a r (0r1个单位 ,再向左转 90,又前进 a r 2个单位 , , 如此连续下去 . (1)若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动 与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队? (2)若其中的r 为变量 ,且 0r1,则行动的最终目的
7、地在怎样的一条曲线上? 剖析: (1)小分队按原方案走,小分队最终应在运动的极限位置. (2)可先求最终目的地关于r 的参数形式的方程. 解:(1)由已知可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为Q(x,y),则 x=aar 2 +ar 4, = )(1 2 r a = 2 1r a , y=arar 3+ar5, = 2 1r ar , 大本营应在点( 2 1r a , 2 1r ar )附近去寻找小分队. (2)由 , 1 , 1 2 2 r ar y r a x 消去 r 得( x 2 a ) 2+y2= 4 2 a (其中 x 2 a ,y0) , 即行动的最终目的地在以( 2 a
8、,0)为圆心 , 2 a 为半径的圆上. 闯关训练 夯实基础 1.函数 f( x)= ,222 ,21 132 2 xx xx xxx 则有 A.f(x)在 x=1 处不连续 B.f(x)在 x=2 处不连续 C.f(x)在 x=1 和 x=2 处不连续 D.f(x)处处连续 解析: 1 lim x f(x) =0, 1 lim x f(x)=1, f(x)在 x=1 处不连续 . 答案: A 2.若 f(x)在定义域a,b上有定义 ,则在该区间上 A.一定连续 B.一定不连续 C.可能连续也可能不连续 x y O 知识就是力量 D.以上均不正确 解析:有定义不一定连续. 答案: C 3.已知
9、函数 f(x) = ,1 , 为无理数 为有理数 xx xx 函数 f( x)在哪点连续 A.处处连续B.x=1 C.x=0 D.x= 2 1 解析: 2 1 lim x f(x)= 2 1 lim x f(x)=f( 2 1 ). 答案: D 4.有以下四个命题: f(x)= x 1 在 0,1上连续 ; 若 f(x)是( a,b)内的连续函数,则 f(x)在( a,b)内有最大值和最小值; 2 lim xx x cos 2sin2 =4; 若 f(x)= ).0(1 ),0( xx xx 则 0 lim x f(x)=0. 其中正确命题的序号是_.(请把你认为正确命题的序号都填上) 答案:
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