k52006年高考第一轮复习数学:2.11函数的应用.pdf
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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 2.11 函数的应用 知识梳理 解函数应用问题的基本步骤: 第一步:阅读理解,审清题意. 读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上, 分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题. 第二步:引进数学符号,建立数学模型. 一般地,设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量,并用x、y 和辅助变 量表示各相关量,然后根据问题已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知 识建立关系式, 在此基础上将实际问题转化为一个函数问题,实现问题的数学化,即所谓建 立数学模型 . 第三步:利用数学的方法将得到
2、的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果. 第四步:将所得结果再转译成具体问题的解答. 点击双基 1.某一种商品降价10%后,欲恢复原价,则应提价 A.10% B.9% C.11% D.11 9 1 % 解析:设提价x%,则 a(110%) (1+x%)=a, x=11 9 1 . 答案: D 2.今有一组实验数据如下: t1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是 A.v=log2t B.v=log 2 1 t C.v= 2 1 2 t D.v=2t2 解析:特值检验
3、,如:当t=4 时, v= 2 1 2 t =7.5. 答案: C 3.用长度为24 的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙 的长度为 A.3 B.4 C.6 D.12 解析: 设隔墙的长为x( 0x6) ,矩形面积为y,y=x 2 424x =2x ( 6x) ,当 x=3 时, y 最大 . 答案: A 4.已知镭经过100 年剩留原来质量的95.76%,设质量为 1 的镭经过 x 年后剩量为y,则 x、y 之间的函数关系式为_. 知识就是力量 答案: y=0.9576 100 x 5.建筑一个容积为8000 m 3、深 6 m 的长方体蓄水池(无盖) ,池壁造价为
4、a 元米 2, 池底造价为2a 元米 2 ,把总造价y 元表示为底的一边长x m 的函数,其解析式为 _,定义域为 _.底边长为 _ m 时总造价最低是_ 元. 解析:设池底一边长x (m) ,则其邻边长为 x6 8000 (m) ,池壁面积为2 6 x2 6 x6 8000 12(x x6 8000 ) (m 2) ,池底面积为 x x6 8000 6 8000 (m 2) ,根据题意可知蓄水池的总造 价 y(元)与池底一边长x( m)之间的函数关系式为y12a(x x6 8000 ) 3 8000 a. 定义域为( 0,) . x x6 8000 2 x x 6 8000 3 40 30(
5、当且仅当x= x6 8000 即 x= 3 20 30时取“ =” ). 当底边长为 3 20 30m 时造价最低,最低造价为(16030a 3 8000 a)元 . 答案: y=12a(x+ x6 8000 )+ 3 8000 a(0, +) 3 20 3016030a+ 3 8000 a 典例剖析 【例 1】 (1)一种产品的年产量原来是a 件,在今后m 年内,计划使年产量平均每年 比上一年增加p%,写出年产量随经过年数变化的函数关系式. (2)一种产品的成本原来是a 元,在今后m 年内,计划使成本平均每年比上一年降低 p%,写出成本随经过年数变化的函数关系式. 解: (1)设年产量经过x
6、 年增加到y 件,则 ya(1p%) x(x*且 xm). (2)设成本经过x 年降低到y 元,则 ya(1p%) x(x* 且 xm). 特别提示 增长率问题是一重要的模型. 【例 2】“依法纳税是每个公民应尽的义务”.国家征收个人所得税是分段计算的,总 收入不超过800 元,免征个人所得税,超过800 元部分需征税,设全月纳税所得额为x,x= 全月总收入 800 元,税率见下表: 级数全月纳税所得额税率 1 不超过 500 元部分5% 2 超过 500 元至 2000 元部分10% 3 超过 2000 元至 5000 元部分15% , 9 超过 10000 元部分45% (1)若应纳税额为
7、f(x) ,试用分段函数表示13 级纳税额f(x)的计算公式; (2) 某人 2000 年 10 月份总收入3000 元, 试计算该人此月份应缴纳个人所得税多少元; (3)某人一月份应缴纳此项税款26.78 元,则他当月工资总收入介于 A.800900 元B.9001200 元 C.12001500 元D.15002800 元 (1)解:依税率表,有 知识就是力量 第一段: x5%, 0x500, 第二段:(x500) 10%+500 5%,500 x2000, 第三段:(x2000) 15%+150010%+500 5%,2000x5000, 即 f( x)= 175)2000(15.0 2
8、5)500(1.0 05.0 x x x ).50002000( ),2000500( ),5000( x x x (2)解:这个人10 月份应纳税所得额x=3000800=2200, f(2200) =0.15( 2200 2000)+175=205,即这个人10 月份应缴纳个人所得税205 元. (3)解法一:(估算法)由5005%=25 元, 10010%=10 元,故某人当月工资应在 13001400 元之间,故选C. 解法二: (逆推验证法) 设某人当月工资为1200 元或 1500 元,则其应纳税款分别为400 5%=20 (元) ,5005%+20010%=45(元) .可排除
9、A、B、D,故选 C. 答案: C 评述:本题也可以根据纳税额计算公式直接计算. 特别提示 分段函数在新课标中占有重要地位. 【例 3】某地区上年度电价为0.8 元/(千瓦时),年用电量为a 千瓦时 .本年度计划 将电价降到0.55 元(千瓦时)至0.75 元(千瓦时)之间,而用户期望电价为0.4 元 (千瓦时).经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比 (比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3 元(千瓦时). (1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式; (2) 设 k0.2a, 当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增
10、长20%? 注:收益实际用电量(实际电价成本价) 解: (1)设下调后的电价为x 元(千瓦时) ,依题意知用电量增至 4.0x k a,电 力部门的收益为y( 4.0x k a) (x0.3) (0.55x 0.75). (2)依题意有 .75.055.0 %),201)(3.08.0()3.0)( 4.0 2.0 ( x axa x a 整理得 .75.055.0 ,03.01.1 2 x xx 解此不等式得0.60x0.75. 答:当电价最低定为0.60 元(千瓦时)时,仍可保证电力部门的收益比去年至少 增长 20%. 深化拓展 某商场预计全年分批购入每台价值为2000 元的电视机共360
11、0 台,每批都购入x 台( x N * ) ,且每批均需付运费400 元,贮存购入的电视机全年所付的保管费与每批购入 电视机的总价值(不含运费)成正比.若每批购入400 台,则全年需用去运输和保管总费用 43600 元.现全年只有24000 元资金可以用于支付这笔费用.试问:能否恰当安排每批进货的 数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 知识就是力量 提示:设全年的运输和保管总费用为y 元, 则 y= x 3600 400+k (2000x).据题设, x=400 时, y=43600,解得 k=5%. y= x 4003600 +100x2x x 100 4003600 =2400(元
12、) . 因此只需每批购入120 台电视机就可以使预定资金够用. 答案:每批购入120 台可使资金够用. 【例 4】(2003 年春季上海)在一次人才招聘会上,有A、B 两家公司分别开出它们 的工资标准: A 公司允诺第一年月工资数为1500 元,以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元; B 公司允诺第一年月工资数为2000 元,以后每年月工资在上一年的月工资基础上 递增 5%.设某人年初被A、B 两家公司同时录取,试问: (1)若该人分别在A 公司或 B 公司连续工作n 年,则他在第n 年的月工资收入分别是 多少? (2)该人打算连续在一家公司工作10 年,仅从工资收入总量较多作为应聘的
13、标准(不 计其他因素) ,该人应该选择哪家公司,为什么? (3)在 A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多多少元(精确到1 元)? 并说明理由 . 剖析:第( 1)问可通过第2、3 年月工资归纳出所求结果.第(2)问应注意的是年工资 总量 .第( 3)问难度较大,是求月工资之差的最大值,转化为cn=1270+230 n20001.05 n 1,需要转化为 cncn1,cncn+1,则 cn最大 . 解: (1)此人在A、B 公司第 n 年的月工资数分别为an=1500+230 ( n1) (nN * ) , bn=2000 (1+5% ) n1(nN* ). (2) 若该人在 A公
14、司连续工作 10 年, 则他的工资收入总量为 12 (a1+a2+, +a10) =304200 (元) ; 若该人在 B 公司连续工作10 年, 则他的工资收入总量为12 (b1+b2+, +b10) 301869 (元) . 因为在 A 公司收入的总量高些,因此该人应该选择A 公司 . (3)问题等价于求cn=anbn=1270+230 n20001.05 n1(nN* )的最大值 . 当 n2 时, cncn1=2301001.05 n2. 当 cncn10,即 2301001.05 n2 0 时, 1.05n22.3,得 n19.1. 因此,当2n19 时, cn1cn;当 n20 时
15、, cncn1. c19是数列 cn 的最大项, c19=a19b19827(元) ,即在 A 公司工作比在B 公司工作 的月工资收入最多可以多827 元. 闯关训练 夯实基础 1.某学生离家去学校,为了锻炼身体,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.用纵轴 表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下列四个图形中较符合该学生的走法的是 知识就是力量 t AB CD 0d t O d 0 t 0d d t O 0 t 0 d O d t0t 0d O d t0 答案: D 2.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营运的总利 润 y 万元与营运年数x( xN)的关系为
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- k52006 年高 第一轮 复习 数学 2.11 函数 应用
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