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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 2.2 函数的表示 知识梳理 1.函数的三种表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的 解析表达式,简称解析式. (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系. (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 2.复习目标 (1)由所给函数表达式正确求出函数的定义域; (2)掌握求函数值域的几种常用方法; (3)能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系,求出它的解析式; (4)会进行函数三种表示方法的互化,培养学生思维的严密性、多样性. 点击双基 1.(2004 年春季安徽)若f(sin
2、x)=2cos2x,则 f(cosx)等于 A.2sin2xB.2+sin2x C.2cos2x D.2+cos2 x 解析: f(sinx) =2( 12sin 2x)=1+2sin2x, f(cosx)=f(sin 2 x)=1+2sin 2( 2 x)=1+2cos 2x=2+cos2x. 答案: D 2.(2004 年湖北, 3)已知 f( x x 1 1 )= 2 2 1 1 x x ,则 f(x)的解析式可取为 A. 2 1x x B. 2 1 2 x x C. 2 1 2 x x D. 2 1x x 解析:令 x x 1 1 =t,则 x= t t 1 1 , f(t)= 1 2
3、 2 t t .f( x)= 1 2 2 x x . 答案: C 评述:本题考查函数的定义及换元思想. 3.(2005 年春季北京,文2)函数 f(x)=|x 1|的图象是 知识就是力量 AB CD 11 1 -1 -1 -1 11 1 x x y y OO O y x 1 -1 1x y O 解析:转化为分段函数y= .1,1 ,1,1 xx xx 答案: B 4.函数 y=2 2 xx的定义域为 _,值域为 _. 答案: 1, 2 0, 2 3 典例剖析 【例 1】已知函数 f(x) = 3 13 2 3 axax x 的定义域是R,则实数 a 的取值范围是 A.a 3 1 B.12 a0
4、 C.12a0 D.a 3 1 剖析:由a=0 或 ,0)3(4 ,0 2 aa a 可得 12a0. 答案: B 【例 2】在ABC 中, BC=2,AB+AC=3,中线 AD 的长为 y,AB 的长为 x,建立 y 与 x 的函数关系式,并指出其定义域. 11 3- A BCD x y x q 解:设 ADC ,则 ADB . 根据余弦定理得 1 2y22ycos( 3 x)2, 1 2y22ycos( ) x2. 由整理得y 2 7 3 2 xx. 知识就是力量 其中 ,2)3( ,32 ,0 xx xx x 解得 2 1 x 2 5 . 函数的定义域为( 2 1 , 2 5 ). 评述
5、:函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围,同时也要注意变量的实际意 义的要求 . 【例 3】若函数 f(x)= cx ax 2 1 的值域为 1,5 ,求实数a、c. 解:由 y=f(x)= cx ax 2 1 ,得 x 2yax+cy1=0. 当 y=0 时, ax=1, a0. 当 y0 时, xR, =a 24y(cy1) 0. 4cy 24ya20. 1y5, 1、5 是方程 4cy24y a2=0 的两根 . .5 4 ,4 1 2 c a c . 4 1 ,5 c a 评述:求f(x)= 11 2 1 22 2 2 cxbxa cxbxa (a1 2+a 2 2 0)的值域时
6、,常利用函数的定义域非空 这一隐含的条件,将函数转化为方程,利用 0 转化为关于函数值的不等式.求解时, 要注 意二次项系数为字母时要讨论. 闯关训练 夯实基础 1.函数 y= 2 2 1 1 x x 的值域是 A. 1,1B.( 1,1C. 1,1)D.( 1,1) 解法一: y= 2 2 1 1 x x = 2 1 2 x 1.1+x 2 1, 0 2 1 2 x 2. 1y1. 解法二:由y= 2 2 1 1 x x ,得 x 2= y y 1 1 . x 20, y y 1 1 0,解得 1y1. 解法三:令x=tan( 2 2 ) ,则 y= 2 2 tan1 tan1 =cos2.
7、 2, 知识就是力量 1cos21,即 1y 1. 答案: B 2.如果 ff(x) =2x1,则一次函数f(x)=_. 解析:设 f(x)=kx+b,则 ff(x) =kf(x) +b=k(kx+b)+b=k 2x+kb+b. 由于该函数与y=2x1 是同一个函数, k 2 =2 且 kb+b=1.k=2. 当 k=2时, b=12; 当 k=2时, b=1+2. 答案: f( x)=2x+12或 f(x)=2x+1+2 3.已知 f( x 2 4)=lg 8 2 2 x x ,则 f( x)的定义域为 _. 解析:设x 2 4=t,则 t 4,x2 =4+t. f(t)=lg 4 4 t
8、t .f(x)=lg 4 4 t x (x 4). 由 ,4 ,0 4 4 x x x 得 x 4. 答案: (4,+) 4.用长为l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如下图),若矩形底边长为 2x,求此框架围成的面积y 与 x 的函数关系式,并写出其定义域. 2 AB DC x 解: AB=2x,则=x,AD= 2 2xxl . y=2x 2 2xxl + 2 x =( 2 +2)x 2 +lx. 由 2 2 ,02 xxl x 0,解得 0 x 2 l . 5.(2005 年北京市西城区模拟题)已知函数f(x)= ),2(2 ),2(2 x xx 则 f(lg30 lg3) =_
9、 ;不等式xf(x1) 10 的解集是 _. 知识就是力量 解析: f( lg30lg3)=f(lg10) =f(1) =2, f(x1) = .32 ,33 x xx 当 x3 时, x(x3) 102x5,故 3x5. 当 x3 时, 2x10x 5,故 5 x3. 总之 x( 5,5) . 答案: 2 x|5x5 培养能力 6.设定义在 N 上的函数 f(x)满足 f(n)= )18( 13 nff n ),2000( ),2000( n n 试求 f(2002) 的值 . 解: 2002 2000, f(2002)=ff(200218) =ff(1984) =f1984+13=f(19
10、97)=1997+13=2010. 7.设 f(x)= 1 2 14 x x 2x+1,已知 f(m)=2,求 f( m). 解: f( m) =2, 1 2 14 m m 2m+1=2. 1 2 14 m m 2m=21. 而f ( m) = 1 2 14 m m +2m+1= m m 2 1 2 1 4 1 +2m+1= 1 24 41 mm m +2m+1= 1 2 41 m m +2m+1= 1 2 14 m m + 2m+1=( 1 2 14 m m 2m)+1=(21)+1=22. 8.(理) ( 2003 年重庆市高三毕业班诊断性考试)某市有小灵通与全球通两种手机,小 灵通手机的
11、月租费为25 元,接听电话不收费,打出电话一次在3 min 以内收费0.2 元,超 过 3 min 的部分为每分钟收费0.1 元,不足 1 min 按 1 min 计算(以下同).全球通手机月租 费为 10 元,接听与打出的费用都是每分钟0.2 元.若某人打出与接听次数一样多,每次接听 与打出的时间在1 min 以内、 1 到 2 min 以内、 2 到 3 min 以内、 3 到 4 min 以内的次数之比 为 4 311.问,根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省?(注:m 到 m+1 min 以内指含m min ,而不含 m+1 min ) 解:设小灵通每月的费用为y1元,全
12、球通的费用为y2元,分别在1 min 以内、 2 min 以 内、 3 min 以内、 4 min 以内的通话次数为4x、3x、x、 x,则 y1=25+(4x+3x+x+x) 0.2+0.1x=25+1.9x, y2=10+2(0.24x+0.43x+0.6x+0.8x)=10+6.8x. 令 y1y2,即 25+1.9x 10+6.8x, 知识就是力量 解得 x 9.4 15 3.06. 总次数为(4+3+1+1) 23.06=55.1. 故当他每月的通话次数小于等于55 次时,应选择全球通,大于55 次时应选择小灵通. (文) (2005 年北京东城区模拟题)定义“符号函数”f(x)=s
13、gnx= ,01 ,00 ,01 x x x 则不等 式 x+2( x2) sgnx 的解集是 _. 解析:分类讨论. 答案: ( 5,+) 知识就是力量 探究创新 9.图是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象 . - 20 10 A B O x( 人 ) ( 元 )( 元 )( 元 ) O x( 人 ) yyy - 10 - 20 A B 5 1020 O x( 人 ) - 20 5 1020 (1)试说明图上点A、点 B 以及射线AB 上的点的实际意义. (2)由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议,如图所 示.你能根据图象,说明这两种建议的意义吗? 解: (
14、1)点 A 表示无人乘车时收入差额为20 元,点 B 表示有 10 人乘车时收入差额为 0 元,线段AB 上的点表示亏损,AB 延长线上的点表示赢利. (2)图的建议是降低成本,票价不变,图的建议是增加票价. 深化拓展 (1)图、图中的票价是多少元?图中的票价是多少元? (2)此问题中直线斜率的实际意义是什么? 答案: (1)图中的票价是2 元. 图( 3)中的票价是4 元. (2)斜率表示票价. 思悟小结 1.并不是所有的函数关系都可以用解析式来表示,函数还有另外两种表示方法:列表法、 图象法 . 2.求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式的构造模式,可用待 定系数法;如
15、果已知复合函数fg(x) 的表达式来求f(x) ,常用换元法;当已知表达式 较简单时,甚至可直接用凑配法求解. 3.要熟悉求函数值域的几种基本方法,遇到求值域的问题,应优先考虑采用特殊方法, 如不等式法、配方法、几何法、换元法等.当特殊方法不易解决时,再采用一般方法如方程 法求解 .如一题可有多种方法解决时,应注意选择最优解法. 教师下载中心 教学点睛 1.用换元法解决问题时,应提醒学生注意“新元”相应的取值范围. 2.强化待定系数法在求函数解析式中的重要作用. 3.新课改对函数的图象表示提出了更高的要求,要加强图象表示的教学. 拓展题例 【例题】已知扇形的周长为10,求扇形半径r 与面积 S 的函数关系式及此函数的定义 域、值域 . 解:设扇形的弧长为l,则 l=102r, S= 2 1 lr=(5r)r=r 2+5r. 由 ,2 ,0 ,0 rl l r 得 5 r5. 知识就是力量 S=r 2+5r 的定义域为( 5 ,5). 又 S=r 2+5r=( r 2 5 ) 2+ 4 25 且 r= 2 5 ( 5 ,) , 当 r= 2 5 时, S最大= 4 25 . 又 S 5 2+55=0, S=r 2+5r,r( 5 , 5)的值域为( 0, 4 25 .
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