k52006年高考第一轮复习数学:2.6二次函数.pdf
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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 2.6 二次函数 知识梳理 二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法: y=ax 2+bx+c;y=a(xx 1) (xx2) ; y=a(xx0) 2 +n. (2)当 a0,f(x)在区间 p,q上的最大值为M,最小值为m,令 x0= 2 1 ( p+q). 若 a b 2 p,则 f( p)=m,f(q)=M; 若 p a b 2 x0,则 f( a b 2 )=m,f(q)=M; 若 x0 a b 2 q,则 f(p)=M,f( a b 2 )=m; 若 a b 2 q,则 f( p)=M,f( q)=m. 点击双基 1.设二次函数
2、f(x)=ax 2+bx+c (a0) ,如果 f( x 1)=f(x2)(其中 x1x2) , 则 f ( 2 21 xx ) 等于 A. a b 2 B. a b C.cD. a bac 4 4 2 解析: f( 2 21 xx )=f( a b 2 )= a bac 4 4 2 . 答案: D 2.二次函数 y=x 2 2(a+b)x+c2+2ab 的图象的顶点在 x 轴上,且a、b、c 为 ABC 的三 边长,则 ABC 为 A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形 解析: y=x( a+b) 2+c2 +2ab( a+b) 2=x( a+b) 2+c2 a 2 b
3、2. 顶点为( a+b,c 2a2b2). 由题意知c 2 a2b2 =0. ABC 为直角三角形 . 答案: B 3.已知函数 f(x) =4x 2mx5 在区间 2,)上是增函数,则 f(1)的范围是 A.f(1) 25 B.f(1)=25 C.f(1) 25 D.f(1) 25 解析:由y=f(x)的对称轴是x= 8 m ,可知f(x)在 8 m ,+)上递增,由题设只 知识就是力量 需 8 m 2m 16, f(1)=9m25. 答案: A 4.函数f( x) =2x 2 6x+1 在区间 1, 1上的最小值是_ ,最大值是 _. 解析: f( x)=2( x 2 3 ) 2 2 7
4、. 当 x=1 时,f(x)min= 3;当 x=1 时, f( x)max=9. 答案: 3 9 5.(2003 年春季上海)若函数y=x 2+(a+2)x+3,x a,b的图象关于直线 x=1 对 称,则 b=_. 解法一:二次函数y=x 2+(a+2)x+3 的图象关于直线 x=1 对称,说明二次函数的对称轴 为 1,即 2 2a =1.a=4.而 f(x)是定义在 a,b上的, 即 a、b 关于 x=1 也是对称的, 2 ba =1.b=6. 解法二:二次函数y=x 2 +(a+2) x+3 的对称轴为x=1, f(x)可表示为f(x)= (x1) 2+c,与原二次函数的表达式比较对应
5、项系数,可得 a+2=2.a= 4,b 的计算同 解法一 . 解法三:二次函数的对称轴为x=1,有 f(x)=f(2 x) ,比较对应项系数,a= 4,b 的计算同解法一. 答案: 6 典例剖析 【例 1】 设 x、y 是关于 m 的方程 m 22am+a+6=0 的两个实根,则( x1) 2 +(y1) 2 的最小值是 A.12 4 1 B.18 C.8 D. 4 3 剖析:由 =( 2a) 24(a+6) 0,得 a 2 或 a3. 于是有( x1) 2+(y1)2 =x 2+y22( x+y)+2=(x+y)22xy2(x+y)+2=(2a)2 2(a+6) 4a+2=4a 2 6a10
6、=4(a 4 3 ) 2 4 49 . 由此可知,当a=3 时, (x1) 2 +(y1) 2 取得最小值8. 答案: C 深化拓展 0 是二次方程有实根的隐含条件. 【例 2】(2004 年江苏, 13)二次函数y=ax 2 +bx+c(xR)的部分对应值如下表: x3 2 1 0 1 2 3 4 y6 0 4 6 6 4 0 6 则不等式ax 2+bx+c0 的解集是 _. 解析:由表知y=a(x+2) (x3) ,又 x=0,y=6,代入知a=1.y=(x+2) (x3) . 答案: x|x3 或 x 2 【例 3】 已知二次函数f (x) =ax 2+bx+c 的图象与直线 y=25
7、有公共点,且不等式 ax 2+bx+c 知识就是力量 0 的解是 2 1 x 3 1 ,求 a、 b、c 的取值范围 . 解:依题意ax 2+bx+c25=0 有解,故 =b24a(c25)0.又不等式 ax 2+bx+c0 的 解是 2 1 x 3 1 , a0 且有 a b = 6 1 , a c = 6 1 . b= 6 1 a,c= 6 1 a. b=c,代入 0 得 c 2+24c(c25) 0. c24.故得 a、b、c 的取值范围为a 144,b 24,c 24. 评述: 二次方程ax 2+bx+c=0,二次不等式 ax 2+bx+c0 (或 0)与二次函数 y=ax 2+bx+
8、c 的图象联系比较密切,要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题. 闯关训练 夯实基础 1.下图所示为二次函数y=ax 2bxc 的图象,则 OA OB等于 O BA y x A. a c B. a c C. a c D.无法确定 解析: |OA|OB|=|OAOB|=|x1x2|=| a c |= a c ( a0,c0). 答案: B 2.已知 f( x)=x 22x+3,在闭区间 0,m上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围 是_. 解析:通过画二次函数图象知m 1,2. 答案: 1,2 3.已知函数 y=(e xa)2 +( e xa)2(aR,且 a0) ,求 y
9、 的最小值 . 解: y( e x ex)22a(ex ex) 2a22.令 texex,则 f(t) t2 2at2a2 2. te xex2, f(t)( ta)2a22 的定义域为 2,) . 抛物线的对称轴方程是ta, 当 a2 时, yminf( a) a 22;当 a2 且 a0 时, y minf(2) 2(a1) 2 . 4.要使 y=x 2+4x(xa)有反函数,则 a 的最小值为 _. 解析:要使y=x 2+4x(xa)有反函数,则 y=x 2 +4x 在 a,+)上是单调函数 .a 2. 答案: 2 5.已知函数 f(x) =mx 2+(m3)x+1 的图象与 x 轴的交
10、点至少有一个在原点的右侧, 求实数 m 的取值范围 . 解:若 m=0,则 f( x)=3x+1,显然满足要求. 若 m0,有两种情况: 知识就是力量 原点的两侧各有一个,则 0 1 04)3( 21 2 m xx mm m0; 都在原点右侧,则 ,0 1 ,0 2 3 ,04)3( 21 21 2 m xx m m xx mm 解得 0m1. 综上可得m(, 1. 培养能力 6.设 f(x)=x 22ax+2.当 x 1,+)时, f(x)a 恒成立,求实数 a 的取值范围 . 解: (1)当 a 1 时, f(x)min=f( 1)=3+2a,x 1,+) ,f(x) a 恒成立 f(x)
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