k52006年高考第一轮复习数学:2.3函数的单调性.pdf
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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 2.3 函数的单调性 知识梳理 1.增函数、减函数的定义 一般地,对于给定区间上的函数f( x) ,如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1x2时,都有 f(x1) f(x2) 或都有f(x1) f(x2) ,那么就说f(x)在这 个区间上是增函数(或减函数). 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数(或减函数),就说 f(x)在这一区间上具有 (严格的)单调性,这一区间叫做f(x)的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间, 如函数为减函数则称区间为减区间. 2.函数单调性可以从三个方面理解 (1)图形刻画:对于给定区间
2、上的函数f(x) ,函数图象如从左向右连续上升,则称函 数在该区间上单调递增,函数图象如从左向右连续下降,则称函数在该区间上单调递减. (2)定性刻画:对于给定区间上的函数f(x) ,如函数值随自变量的增大而增大,则称 函数在该区间上单调递增,如函数值随自变量的增大而减小,则称函数在该区间上单调递减. (3)定量刻画,即定义. 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径. 点击双基 1.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是 A.y=x+1 B.y=x C.y=x 24x+5 D.y= x 2 答案: B 2.函数 y=loga(x 22x 3) ,当 x=2 时, y0,则此函数的单调递减
3、区间是 A.(, 3)B.(1,) C.(, 1)D.( 1,) 解析: 当 x=2 时, y=loga5 0, a1.由 x 22x 30 x 3 或 x1,易见函数 tx 22x3 在(, 3)上递减,故函数y=loga(x 22x3) (其中 a1)也在( , 3)上递减 . 答案: A 3. ( 2003年 北 京 朝 阳 区 模 拟 题 ) 函 数y=log 2 1 |x 3| 的 单 调 递 减 区 间 是 _. 解析:令u=|x3|,则在(,3)上 u 为 x 的减函数,在(3, +)上 u 为 x 的增 函数 .又 0 2 1 1,在区间(3,)上,y 为 x 的减函数 . 答
4、案: (3,+) 4.有下列几个命题: 函数y=2x 2+x+1 在( 0,)上不是增函数;函数 y= 1 1 x 在(,1) 知识就是力量 ( 1,)上是减函数;函数y= 2 45xx的单调区间是2,+) ;已知f (x)在 R 上是增函数,若a+b0,则有 f(a)+f( b)f( a)+f( b) .其中正确命题 的序号是 _. 解析:函数y=2x 2 +x+1 在( 0,+)上是增函数,错;虽然(,1) 、 ( 1,)都是y= 1 1 x 的单调减区间,但求并集以后就不再符合减函数定义,错; 要研究函数y= 2 45xx的单调区间,首先被开方数5+4xx 20,解得 1x5, 由于 2
5、,+)不是上述区间的子区间,错;f(x)在 R 上是增函数,且a b, b a,f(a) f( b) ,f(b)f( a) ,f(a)+f(b) f( a)+f( b) ,因 此是正确的 . 答案: 典例剖析 【例 1】 如果二次函数f(x)=x 2(a1)x+5 在区间( 2 1 ,1)上是增函数,求f( 2) 的取值范围 . 剖析:由于f(2)=2 2( a1) 2+5=2a+11,求 f(2)的取值范围就是求一次函 数 y=2a+11 的值域,当然就应先求其定义域. 解:二次函数f(x)在区间( 2 1 ,1)上是增函数,由于其图象(抛物线)开口向上, 故其对称轴x= 2 1a 或与直线
6、x= 2 1 重合或位于直线x= 2 1 的左侧, 于是 2 1a 2 1 ,解之得 a2,故 f(2) 2 2+11=7,即 f(2) 7. 【例 2】讨论函数 f(x) = 1 2 x ax (a 0)在 x( 1,1)上的单调性. 解:设 1x1x21, 则 f( x1) f(x2)= 1 2 1 1 x ax 1 2 2 2 x ax = )1)(1( 2 2 2 1 2 2 121 2 21 xx axxaxaxxax = )1)(1( )1)( 2 2 2 1 2112 xx xxxxa . 1x1x21, x2x10,x1x2+1 0, (x1 21) (x 2 21) 0.又
7、a0,f(x 1) f(x2) 0,函数 f(x)在( 1,1)上为减函数. 【例 3】求函数 y=x+ x 1 的单调区间 . 剖析:求函数的单调区间(亦即判断函数的单调性),一般有三种方法: (1)图象法;(2)定义法;(3)利用已知函数的单调性.但本题图象不易作,利用y=x 与 y= x 1 的单调性(一增一减)也难以确定,故只有用单调性定义来确定,即判断f(x2) f(x1)的正负 . 解:首先确定定义域: x|x0 ,在(,0)和( 0,+)两个区间上分别讨论. 知识就是力量 任取 x1、x2(0,+)且 x1x2,则 f(x2)f(x1)=x2+ 2 1 x x1 1 1 x =(
8、x2 x1)+ 21 21 xx xx = (x2 x1) (1 21 1 xx ) ,要确定此式的正负只要确定1 21 1 xx 的正负即可 . 这样,又需要判断 21 1 xx 大于 1,还是小于1.由于 x1、x2的任意性,考虑到要将(0,+ )分为( 0,1)与( 1, +) (这是本题的关键). (1)当 x1、x2( 0,1)时, 1 21 1 xx 0, f(x2)f(x1) 0,为减函数 . (2)当 x1、x2( 1,+)时, 1 21 1 xx 0, f(x2)f(x1) 0,为增函数 . 同理可求( 3)当 x1、x2( 1,0)时,为减函数; ( 4)当 x1、x2(,
9、 1)时, 为增函数 . 评述:解答本题易出现以下错误结论:f( x)在( 1,0)( 0,1)上是减函数,在 (, 1)( 1,+)上是增函数,或说f(x)在(,0)( 0,+)上是单 调函数 .排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念:函数的单调性是对某个区间而言 的,而不是两个或两个以上不相交区间的并. 深化拓展 求函数 y=x+ x a (a0)的单调区间. 提示:函数定义域x0,可先考虑在(0,+)上函数的单调性,再根据奇偶性与单 调性的关系得到在(,0)上的单调性 . 答案:在(, a , ( a ,+)上是增函数,在(0, a , ( a ,0)上 是减函数 . 【例 4】 定
10、义在 R 上的函数y=f(x) ,f(0) 0,当 x0 时,f( x) 1,且对任意的 a、bR,有 f(a+b) =f(a) f( b). (1)求证: f(0)=1; (2)求证:对任意的xR,恒有 f(x) 0; (3)求证: f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x) f(2xx 2) 1,求 x 的取值范围 . (1)证明:令a=b=0,则 f( 0)=f 2(0). 又 f( 0) 0, f(0) =1. (2)证明:当x0 时, x0, f(0)=f(x) f( x)=1. f( x)= )( 1 xf 0.又 x0 时 f( x) 10, 知识就是力量 xR 时,恒有
11、f(x) 0. (3)证明:设x1x2,则 x2x10. f(x2)=f( x2x1+x1)=f(x2x1) f(x1). x2x10, f(x2x1) 1. 又 f( x1) 0, f(x2x1) f(x1) f(x1). f(x2)f(x1).f(x)是 R 上的增函数 . (4)解:由 f(x) f(2xx 2) 1,f(0)=1 得 f(3xx2) f( 0).又 f( x)是 R 上 的增函数, 3xx 20.0x3. 评述:解本题的关键是灵活应用题目条件,尤其是(3)中“ f(x2)=f (x2x1)+x1 ” 是证明单调性的关键,这里体现了向条件化归的策略. 闯关训练 夯实基础
12、1.(2004 年湖北,理7)函数 f(x) =a x+log a(x+1)在 0,1上的最大值与最小值的 和为 a,则 a 的值为 A. 4 1 B. 2 1 C.2 D.4 解析:f (x) 是 0, 1 上的增函数或减函数,故 f ( 0) +f ( 1) =a, 即 1+a+loga2=aloga2= 1, 2=a 1 a= 2 1 . 答案: B 2.设函数 f(x)=loga|x|在(, 0)上单调递增,则f(a+1)与 f(2)的大小关系是 A.f(a+1)=f(2)B.f(a+1) f(2) C.f(a+1)f(2)D.不能确定 解析:由 f(x)= ),0(,log ),0,
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- k52006 年高 第一轮 复习 数学 2.3 函数 调性
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