k52006年高考第一轮复习数学:3.4等差数列与等比数列的综合问题.pdf
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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 3.4 等差数列与等比数列的综合问题 知识梳理 (一)等差、等比数列的性质 1.等差数列 an的性质 (1)am=ak+(mk)d,d= km aa km . (2)若数列 an 是公差为d 的等差数列,则数列 an+b( 、b 为常数)是公差为 d 的等差数列;若bn也是公差为d 的等差数列,则1an+2bn(1、2为常数)也是 等差数列且公差为1d+2d. (3)下标成等差数列且公差为m 的项 ak,ak+m,ak+2m,, 组成的数列仍为等差数列, 公差为 md. (4)若 m、n、l、kN *,且 m+n=k+l,则 a m+an=ak+
2、al,反之不成立 . (5)设 A=a1+a2+a3+,+an,B=an+1+an+2+an+3+,+a2n,C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+, +a3n,则 A、 B、C 成等差数列 . (6)若数列 an 的项数为2n(nN * ) ,则 S偶S奇=nd, 奇 偶 S S = n n a a 1 ,S2n=n(an+an+1) (an、 an+1为中间两项) ; 若数列 an的项数为2n1(nN * ) ,则 S奇S偶=an, 奇 偶 S S = n n1 ,S2n1=(2n1)an (an为中间项) . 2.等比数列 an的性质 (1)am=akq mk. (2)若数列 an 是
3、等比数列,则数列 1an(1为常数)是公比为q 的等比数列;若 bn也是公比为q2的等比数列,则 1an2bn(1、2为常数)也是等比数列,公比 为 q q2. (3)下标成等差数列且公差为m 的项 ak,ak+m,ak+2m,, 组成的数列仍为等比数列, 公比为 q m. (4)若 m、n、l、kN *,且 m+n=k+l,则 a m an=akal,反之不成立 . (5)设 A=a1+a2+a3+,+an,B=an+1+an+2+an+3+,+a2n,C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+, +a3n,则 A、 B、C 成等比数列,设M=a1a2, an,N=an+1an+2, a2n,
4、P=a2n+1a2n+2, a3n, 则 M、N、P 也成等比数列 . (二)对于等差、等比数列注意以下设法: 如三个数成等差数列,可设为ad,a,a+d;若四个符号相同的数成等差数列,知其 和,可设为a3d,ad,a+d,a+3d.三个数成等比数列,可设为 q a ,a,aq,若四个符号 相同的数成等比数列,知其积,可设为 3 q a , q a ,aq, aq 3. 知识就是力量 (三)用函数的观点理解等差数列、等比数列 1.对于等差数列,an=a1+(n1) d=dn+(a1d) ,当 d0 时, an是 n 的一次函数, 对应的点( n,an)是位于直线上的若干个点.当 d0 时,函数
5、是增函数,对应的数列是递 增数列;同理,d=0 时,函数是常数函数,对应的数列是常数列;d0 时,函数是减函数, 对应的数列是递减函数. 若等差数列的前n 项和为Sn,则 Sn=pn 2+qn(p、 q R).当 p=0 时, a n 为常数列; 当 p 0 时,可用二次函数的方法解决等差数列问题. 2.对于等比数列:an=a1q n1.可用指数函数的性质来理解 . 当 a10,q 1或 a10,0 q1 时,等比数列是递增数列; 当 a10,0 q1 或 a10, q1 时,等比数列 an是递减数列 . 当 q=1 时,是一个常数列. 当 q0 时,无法判断数列的单调性,它是一个摆动数列.
6、点击双基 1.等比数列 an的公比为 q,则“ q1”是“对于任意自然数n,都有 an+1an”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 解析:当a1 0 时,条件与结论均不能由一方推出另一方. 答案: D 2.已知数列 an满足 an+2=an(nN * ) ,且 a1=1,a2=2,则该数列前2002 项的和为 A.0 B.3 C.3 D.1 解析:由题意,我们发现:a1=1,a2=2,a3=a1=1,a4=a2=2, a5=a3=1,a6= a4=2,, , a2001=a1999=1, a2002=a2000=2,a1+a2+a3+a4=0. a1
7、+a2+a3+, +a2002=a2001+a2002=a1+a2=1+2=3. 答案: C 3.若关于 x 的方程 x 2x+a=0 和 x2x+b=0(ab)的四个根可组成首项为 4 1 的等差数 列,则 a+b 的值是 A. 8 3 B. 24 11 C. 24 13 D. 72 31 解析:依题意设四根分别为a1、 a2、 a3、a4, 公差为 d, 其中 a1= 4 1 ,即 a1+a2+a3+a4=1+1=2. 又 a1+a4=a2+a3, 所以 a1+a4=a2+a3=1. 由此求得a4= 4 3 ,d= 6 1 , 于是 a2= 12 5 , a3= 12 7 . 故 a+b=
8、a1a4+a2a3= 4 1 4 3 + 12 5 12 7 = 144 62 = 72 31 . 答案: D 4.(2004 年春季上海, 12)在等差数列 an中,当 ar=as(rs)时,数列 an必定是常 数列,然而在等比数列an 中,对某些正整数r、s( rs) ,当 ar=as时,非常数列 an的一 个例子是 _. 解析:只需选取首项不为0,公比为 1 的等比数列即可. 知识就是力量 答案: a, a,a, a, ( a0) 5.( 2002 年北京, 14)等差数列 an 中,a1=2,公差不为零,且a1,a3,a11恰好是某等 比数列的前三项,那么该等比数列公比的值等于_. 解
9、析:设a1, a3,a11成等比,公比为q,a3=a1q=2q,a11=a1 q 2 =2q 2.又a n是等差数 列, a11=a1+5(a3a1) , q=4. 答案: 4 典例剖析 【例 1】(2005 年春季北京, 17)已知 an 是等比数列, a1=2,a3=18;bn是等差数 列, b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a320. (1)求数列 bn 的通项公式; (2)求数列 bn 的前 n 项和 Sn的公式; (3)设 Pn=b1+b4+b7+,+b3n2, Qn=b10+b12+b14+,+b2n+8, 其中 n=1,2,, ,试比较Pn与 Qn的大小,并证明你的结
10、论. 剖析:将已知转化成基本量,求出首项和公比后,再进行其他运算. 解:(1)设 an的公比为q,由 a3=a1q 2 得 q 2= 1 3 a a =9,q= 3. 当 q=3 时, a1+a2+a3=26+18=1420, 这与 a1+a2+a320 矛盾,故舍去 . 当 q=3 时, a1+a2+a3=2+6+18=2620,故符合题意 . 设数列 bn的公差为d,由 b1+b2+b3+b4=26 得 4b1+ 2 34 d=26. 又 b1=2,解得 d=3,所以 bn=3n1. (2)Sn= 2 )( 1n bbn = 2 3 n 2+ 2 1 n. (3)b1, b4,b7,, ,
11、 b3n2组成以 3d 为公差的等差数列, 所以 Pn=nb1+ 2 )1(nn 3d= 2 9 n 2 2 5 n; b10,b12,b14,, , b2n+8组成以 2d 为公差的等差数列,b10=29, 所以 Qn=nb10+ 2 )1(nn 2d=3n 2+26n. PnQn=( 2 9 n 2 2 5 n)( 3n 2+26n)= 2 3 n(n19). 所以,对于正整数n,当 n20 时,PnQn; 当 n=19 时,Pn=Qn; 当 n18 时, PnQn. 评述: 本题主要考查等差数列、等比数列等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和 解决问题的能力. 【例 2】 (2005
12、年北京东城区模拟题)已知等差数列an 的首项 a1=1,公差 d0,且 第二项、第五项、第十四项分别是等比数列 bn的第二项、第三项、第四项. (1)求数列 an 与 bn的通项公式; (2)设数列 cn 对任意正整数n 均有 1 1 b c + 2 2 mb c + 3 2 3 bm c +,+ n n n bm c 1 =(n+1)an+1成立, 知识就是力量 其中 m 为不等于零的常数,求数列cn 的前 n 项和 Sn. 剖析: (1)依已知可先求首项和公差,进而求出通项an和 bn; (2)由题先求出an 的 通项公式后再求Sn. 解: (1)由题意得( a1+d) (a1+13d)=
13、(a1+4d) 2,整理得 2a1d=d 2. a1=1,解得 d=2(d=0 不合题意舍去) , an=2n1(n=1,2,3,, ) . 由 b2=a2=3,b3=a5=9,易求得 bn=3 n1(n=1,2,3,, ) . (2)当 n=1 时, c1=6; 当 n2 时, n n n bm c 1 =(n+1)an+1 nan=4n+1, cn=(4n+1)m n1b n=(4n+1) (3m) n1. cn= 1 )3)(14( 6 n mn .,4,3,2 ,1 n n 当 3m=1,即 m= 3 1 时, Sn=6+9+13+,+(4n+1) =6+ 2 )149)(1(nn =
14、6+( n1) ( 2n+5)=2n 2+3n+1. 当 3m1,即 m 3 1 时, Sn=c1+c2+, +cn,即 Sn=6+9 (3m)+13 (3m) 2 +,+(4n3) (3m) n2+(4n+1) (3m)n1. 3mSn=63m+9 (3m) 2 +13 (3m) 3+, +(4n3) (3m) n1+(4n+1) (3m)n. 得 (13m)Sn=6+3 3m+4 (3m) 2 +4 (3m) 3 +,+4 (3m) n1( 4n+1) (3m)n =6+9m+4 (3m) 2+( 3m)3 +, +(3m) n1( 4n+1) ( 3m)n =6+9m+ m mm n 3
15、1 )3()3(4 2 ( 4n+1) (3m) n. Sn= m mnm n 31 )3)(14(96 + 2 2 )31( )3()3(4 m mm n . Sn= 2 2 2 )31( )3()3(4 31 )3)(14(96 132 m mm m mnm nn nn . 3 1 , 3 1 m m 评述:本题主要考查了数列的基本知识和解决数列问题的基本方法.如“基本量法”“错 位相减求和法”等. 【例 3】(2005 年北京海淀区模拟题)在等比数列 an (nN *)中, a 1 1,公比 q 0.设 bn=log2an,且 b1+b3+b5=6,b1b3b5=0. 知识就是力量 (1
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