k52006年高考第一轮复习数学:3.3等比数列.pdf
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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 3.3 等比数列 知识梳理 1.定义 数列 an 从第 2 项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数 叫公比 . 2.通项公式: an=a1q n1, 推广形式: an=amq nm. 变式: q= mn m n a a (n、mN * ). 3.前 n 项和 Sn= ).10( 11 )1( ),1( 11 1 qq q qaa q qa qna n n 或 注: q1 时, m n S S = m n q q 1 1 . 4.等比中项:若a、b、c 成等比数列,则b 为 a、c 的等比中项,且b=ac. 5.三个数或四
2、个数成等比数列且又知积时,则三个数可设为 q a 、 a、 aq, 四个数可设为 3 q a 、 q a 、aq、aq 3 为好 . 6.证明等比数列的方法:(1)用定义:只需证 n n a a 1 = 常数;( 2)用中项性质:只需 an+1 2 =anan+2或 n n a a 1 = 1 2 n n a a . 点击双基 1.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角是 A.arccos 2 15 B.arcsin 2 15 C.arccos 2 51 D.arcsin 2 51 解析:设RtABC 中, C= 2 ,则 A 与 B 互余且 A 为最小内角 .又由已知得sin 2
3、 B=sinA, 知识就是力量 即 cos 2A=sinA,1sin2A=sinA,解之得 sinA= 2 15 或 sinA= 2 15 (舍) . 答案: B 2.设 an 是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1 a2 a3, a30=2 30,那么 a3a6 a9, a30等于 A.2 10 B.2 20 C.2 16 D.2 15 解析:由等比数列的定义,a1a2a3=( q a3 ) 3,故 a 1a2a3, a30=( 10 30963 q aaaa ) 3.又 q=2,故 a 3a6a9, a30=2 20. 答案: B 3.某纯净水制造厂在净化水过程中,每增加一次过滤可减少
4、水中杂质20%,要使水中杂 质减少到原来的5%以下,则至少需过滤的次数为 A.5 B.10 C.14 D.15 解析:由题意列式(120%) n5%,两边取对数得 n 2lg31 12lg 13.4.故 n14. 答案: C 4.( 2004 年全国,文14)已知等比数列an 中, a3=3, a10=384,则该数列的通项 an=_. 解析:由已知得q 7= a a10 =128=2 7 ,故 q=2. an=a3q n3=32n3 . 答案: 32 n3 5.如下图,在杨辉三角中,从上往下数共有n(nN *)行,在这些数中非 1 的数字之 和是 _. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1
5、 1 4 6 4 1 , 解析:观察可知,第n(nN *)行中有 n个数,从左向右依次是二项式系数 C 0 1n ,C 1 1n , C 2 1n ,, ,C 1 1 n n ,故当 n3 时,除了 1 外,第 n 行各数的和为an=C 1 1n +C 2 1n +,+C 2 1 n n =2 n1 2.又前两行全部为数字1, 故前 n 行非 1 的数字之和为a3+a4+,+an= 21 )21(4 2n 2 (n 2) =2 n2n. 答案: 2 n2n 典例剖析 【例 1】已知等比数列 an 中, a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求 an. 剖析:利用等比数列的基本量a1,q,根据
6、条件求出a1和 q. 解:设 an的公比为q,由题意知 知识就是力量 ,8 ,7 2 111 2 111 qaqaa qaqaa 解得 2 , 1 1 q a 或 . 2 1 ,4 1 q a an=2 n1 或 an=2 3n. 评述:转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法. 思考讨论 用 a2和 q 来表示其他的量好解吗?该题的an 若成等差数列呢? 【例 2】 已知数列 an为等差数列,公差d 0, an的部分项组成下列数列:a 1 k , a 2 k ,, ,a n k ,恰为等比数列,其中k11,k25,k317,求 k1k2k3, kn. 剖析:运用等差(比)数列的定义分别求得
7、a n k ,然后列方程求得kn. 解:设an的首项为a1,a 1 k 、a 2 k 、a 3 k 成等比数列, (a14d) 2a 1(a116d) . 得 a12d,q 1 2 k k a a 3. a n k a1( kn1)d,又 a n k a13 n1, kn2 3 n11. k1k2, kn2(13, 3 n1) n 2 31 31 n n3 nn 1. 评述:运用等差(比)数列的定义转化为关于kn的方程是解题的关键,转化时要注意: a n k 是等差数列中的第kn项,而是等比数列中的第n 项. 【例 3】 设各项均为正数的数列an 和bn 满足 5 n a , 5 n b ,
8、5 1n a 成等比数列, lgbn, lgan+1, lgbn+1成等差数列,且a1=1,b1=2,a2=3,求通项an、bn. 剖析:由等比中项、等差中项的性质得an+1= 1nn bb递推出 an= nn bb 1 (n2). 解: 5 n a ,5 n b ,5 1n a 成等比数列, ( 5 n b ) 2=5 n a 5 1n a ,即 2bn=an+an+1. 又 lgbn,lgan+1, lgbn+1成等差数列, 2lgan+1=lgbn+lgbn+1,即 an+1 2=b nbn+1. 由及 ai0,bj0(i、jN * )可得 知识就是力量 an+1= 1nn bb . a
9、n= nn bb 1 (n 2). 将代入可得2bn= nn bb 1 + 1nn bb(n2) , 2 n b= 1n b+ 1n b(n2). 数列 n b 为等差数列 . b1=2,a2=3,a2 2=b 1 b2, b2= 2 9 . n b=2+(n1) ( 2 9 2) = 2 1 (n+1) (n=1 也成立) . bn= 2 ) 1( 2 n . an= nn bb 1 = 2 )1( 2 22 nn = 2 )1( nn (n2). 又当 n=1 时, a1=1 也成立 . an= 2 )1( nn . 评述:由Sn求 an时要注意验证a1与 S1是否一致 . 特别提示 1.
10、 an 为等比数列是an+1 2=a nan+2的充分但不必要条件 . 2.若证 an不是等比数列,只需证ak 2a k1ak+1(k 为常数, kN,且 k2). 闯关训练 夯实基础 1.若等比数列 an的公比 q0,前 n 项和为 Sn,则 S8a9与 S9a8的大小关系是 A.S8a9S9a8 B.S8a9S9a8 C.S8a9=S9a8 D.不确定 解析:由等比数列通项公式和前n 项和公式得 S8a9S9a8 = q qa 1 )1( 8 1 a1q 3 q qa 1 )1( 9 1 a1q 7 知识就是力量 = q aqqqa 1 )()( 167168 2 1 = q qqa 1
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