k52006年高考第一轮复习数学:3.2等差数列.pdf
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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 3.2 等差数列 知识梳理 1.等差数列的概念 若数列 an从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则数列 an叫等差 数列 . 2.通项公式: an=a1+(n1)d, 推广: an=am+(nm)d. 变式: a1=an( n1)d,d= 1 1 n aan , d= mn aa mn ,由此联想点列(n,an)所在直线 的斜率 . 3.等差中项:若a、b、c 成等差数列,则b 称 a与 c 的等差中项,且b= 2 ca ;a、b、 c 成等差数列是2b=a+c 的充要条件 . 4.前 n 项和: Sn= 2 )( 1n aan =
2、na1+ 2 )1( nn d=n an 2 1 (n1)nd. 变式: 2 1n aa = n Sn = n aaa n21 =a1+(n 1) 2 d =an+(n1) ( 2 d ). 点击双基 1.(2003 年全国,文5)等差数列 an 中,已知 a1= 3 1 ,a2+a5=4,an=33,则 n 是 A.48 B.49 C.50 D.51 解析:由已知解出公差d= 3 2 ,再由通项公式得 3 1 +(n1) 3 2 =33,解得 n=50. 答案: C 2.( 2003 年全国, 8)已知方程 (x 22x+m) (x22x+n)=0 的四个根组成一个首项为 4 1 的等差数列
3、,则|mn|等于 A.1 B. 4 3 C. 2 1 D. 8 3 解析:设4 个根分别为x1、x2、x3、x4,则 x1+x2=2, x3+x4=2,由等差数列的性质,当 m+n=p+q 时, am+an=ap+aq.设 x1为第一项, x2必为第 4 项,可得数列为 4 1 , 4 3 , 4 5 , 4 7 , m= 16 7 ,n= 16 15 .|mn|= 2 1 . 答案: C 3.(2004 年春季上海, 7)在数列 an 中,a1=3,且对任意大于1 的正整数n,点( n a, 1n a)在直线 xy3=0 上,则 an=_. 解析:将点代入直线方程得 n a 1n a=3,
4、由定义知 n a是以3为首项,以3 知识就是力量 为公差的等差数列,故 n a = 3n,即 an=3n 2 . 答案: 3n 2 4.(2003 年春季上海,12)设 f(x)= 22 1 x ,利用课本中推导等差数列前n 项和的 公式的方法, 可求得 f (5) +f (4) +,+f (0) +,+f (5) +f (6) 的值为 _. 解析:倒序相加法,观察函数解析式的特点,得到f(x)+f(1x)= 2 2 ,即 f( 5) + f(6)= 2 2 ,f(4)+f(5)= 2 2 ,f(3)+f(4)= 2 2 ,f(2)+f(3)= 2 2 ,f(1) + f(2)= 2 2 ,f
5、(0)+f(1)= 2 2 ,故所求的值为32. 答案: 32 典例剖析 【例 1】数列an 的前 n 项和为 Sn=npan(n N * )且 a1 a2, (1)求常数p 的值; (2)证明:数列an是等差数列 . 剖析: (1)注意讨论p 的所有可能值. (2)运用公式an= 1 1 nn SS S .2 ,1 n n 求 an. 解: (1)当 n=1 时, a1=pa1,若 p=1 时, a1+a2=2pa2=2a2, a1=a2,与已知矛盾,故p1.则 a1=0. 当 n=2 时, a1+a2=2pa2,( 2p1)a2=0. a1a2,故 p= 2 1 . (2)由已知Sn= 2
6、 1 nan,a1=0. n2 时, an=SnSn1= 2 1 nan 2 1 (n1)an1. 1n n a a = 2 1 n n .则 2 1 n n a a = 3 2 n n ,, , 2 3 a a = 1 2 . 2 a an =n1.an=(n 1)a2,anan1=a2. 故an 是以 a2为公差,以a1为首项的等差数列. 评述:本题为“Snan”的问题,体现了运动变化的思想. 【例 2】 已知 an为等差数列, 前 10 项的和 S10=100,前 100 项的和 S100=10,求前 110 项的和 S110. 剖析:方程的思想,将题目条件运用前n 项和公式,表示成关于
7、首项a1和公差 d 的两 个方程 . 知识就是力量 解:设 an的首项为a1,公差为d,则 ,1099100 2 1 100 ,100910 2 1 10 1 1 da da 解得 . 100 1099 , 50 11 1 d a S110=110a1+ 2 1 110 109d=110. 评述:解决等差(比)数列的问题时,通常考虑两类方法:基本量法,即运用条件转 化成关于a1和 d( q)的方程;巧妙运用等差(比)数列的性质(如下标和的性质、子数 列的性质、和的性质).一般地,运用数列的性质,可化繁为简. 思考讨论 此题能按等差数列的关于和的性质来求吗? 【例 3】已知数列 an的前 n 项
8、和 Sn=12nn 2,求数列 | a n|的前 n 项和 Tn. 剖析:由Sn=12nn 2 知 Sn是关于 n 的无常数项的二次函数(nN * ) ,可知 an为等差 数列,求出an,然后再判断哪些项为正,哪些项为负,最后求出Tn. 解:当 n=1 时, a1=S1=121 2=11; 当 n2 时, an=SnSn1=12nn 2 12(n1)( n1)2=132n. n=1 时适合上式, an 的通项公式为an=132n. 由 an=132n0,得 n 2 13 , 即当1n6(nN * )时, an0;当 n7 时, an0. (1)当1n6(nN * )时, Tn=|a1|+|a2
9、|+,+|an|=a1+a2+,+an=12nn 2. (2)当 n7(nN * )时, Tn=|a1|+|a2|+,+|an| =(a1+a2+,+a6)( a7+a8+, +an) =( a1+a2+,+an)+2(a1+,+a6) =Sn+2S6=n 212n+72. Tn= 7212 12 2 2 nn nn ).,7( ),61( * * N N nn nn 评述: 此类求和问题先由an的正负去掉绝对值符号,然后分类讨论转化成 an的求和 问题 . 深化拓展 若此题的Sn=n 212n,那又该怎么求 Tn呢? 答案: Tn= .72 ,6 6 nSS nS n n 知识就是力量 闯关
10、训练 夯实基础 1.等差数列 an中, a100,a110 且 a11|a10|,Sn为其前 n 项和,则 A.S1,S2,, , S10都小于 0,S11,S12,, 都大于0 B.S1,S2,, , S19都小于 0,S20,S21,, 都大于0 C.S1,S2,, , S5都小于 0,S6,S7,, 都大于0 D.S1,S2,, , S20都小于 0,S21,S22,, 都大于0 解析:由题意知 ,010 ,09 1 1 da da 可得 d0,a10. 又 a11|a10|=a10, a10+a110. 由等差数列的性质知a1+a20=a10+a110, S20=10(a1+a20)
11、0. 答案: B 2.等差数列 an的前 n 项和记为Sn,若 a2+a4+a15的值是一个确定的常数,则数列Sn 中也为常数的项是 A.S7B.S8C.S13D.S15 解析:设a2+a4+a15=p(常数), 3a1+18d=p,即 a7= 3 1 p. S13= 2 )(13 131 aa =13a7= 3 13 p. 答案: C 3.在等差数列 an中, 公差为 2 1 , 且 a1+a3+a5+,+a99=60, 则 a2+a4+a6+,+a100=_. 解析:由等差数列的定义知a2+a4+a6+,+a100=a1+a3+a5+,+a99+50d=60+25=85. 答案: 85 4
12、.将正偶数按下表排成5 列: 第 1 列第 2 列第 3 列第 4 列第 5 列 第 1 行2 4 6 8 第 2 行16 14 12 10 第 3 行18 20 22 24 ,28 26 那么 2004 应该在第 _行第 _列. 解法一:由2004 是正偶数列中第1002 项,每一行四项,故在第251 行中的第二个数. 又第 251 行是从左向右排且从第二行开始排,故2004 为第 251 行第 3 列 . 解法二:观察第三列中的各数,可发现从上依次组成一个首项为4,公差为 8 的等差数 列,可算得2004 为此数列的第251 项. 答案: 251 3 5.(2004 年全国,文17)等差数
13、列 an的前 n 项和为 Sn,已知 a10=30,a20=50. (1)求通项 an ; (2)若 Sn=242,求 n. 知识就是力量 解: (1)由 an=a1+(n1) d,a10=30, a20=50, 得方程组a1+9d=30, a1+19d=50. 由解得a1=12, d=2,故 an=2n+10. (2)由 Sn=na1+ 2 )1(nn d 及 Sn=242 ,得方程12n+ 2 )1( nn 2=242,解得n=11 或 n=22(舍) . 6.设等差数列 an的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12 0,S130. (1)求公差d 的取值范围; (2)指出 S1,
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