k52006年高考第一轮复习数学:4.3两角和与差、二倍角的公式(二).pdf
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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 4.3 两角和与差、二倍角的公式(二) 知识梳理 1.在公式 S(+)、C( +)、T( + )中,当 =时, 就可得到公式S2、C2、T2,在公 式 S2、 C2中角 没有限制在T2中,只有当 2 k + 4 且k + 2 时,公式才成立. 2.余弦二倍角公式有多种形式即cos2=cos 2sin2=2cos2 1=1 2sin2 .变形公 式 sin 2 = 2 2cos1 , cos 2= 2 2cos1 .它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂作用. 点击双基 1.下列各式中,值为 2 1 的是 A.sin15cos15B.2cos 2
2、12 1 C. 2 30cos1 D. 5.22tan1 5.22tan 2 解析: 5.22tan1 5.22tan 2 = 2 1 tan45 = 2 1 . 答案: D 2.设 a=sin14+cos14, b=sin16+cos16 , c= 6 6 ,则 a、b、c 的大小关系是 A.abc B.acb C.bca D.bac 解析: a=2sin59, c=2sin60, b=2sin61, acb. 答案: B 3.若 f(tanx) =sin2x,则 f( 1)的值是 A.sin2 B.1 C. 2 1 D.1 解析: f( 1)=f tan( 4 ) =sin 2 =1. 答
3、案: B 4.(2005 年春季上海,13)若 cos = 5 3 ,且 ( 0, 2 ) ,则 tan 2 =_. 解析一:由cos= 5 3 ,( 0, 2 ) ,得 sin= 2 cos1 = 5 4 , tan 2 = 2 cos 2 sin = 2 cos 2 sin2 2 sin2 2 = sin cos1 = 5 4 5 3 1 = 2 1 . 知识就是力量 解析二: tan 2 = cos cos1 = 5 3 1 5 3 1 = 2 1 . 答案: 2 1 5.(2005 年春季北京,11)已知 sin 2 +cos 2 = 3 32 ,那么 sin 的值为 _, cos2的
4、值为 _. 解析:由sin 2 +cos 2 = 3 32 ,得 1+sin= 3 4 ,sin= 3 1 , cos2=12sin 2=12 9 1 = 9 7 . 答案: 3 1 9 7 典例剖析 【例 1】试求函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 的最大值和最小值,若x 0, 2 呢? 剖析:注意sinx+cosx 与 sinxcosx 之间的关系,进行换元可将原函数转化成一元二次 函数来解 . 解:令 t=sinx+cosx=2sin(x+ 4 )2,2 ,则 y=t 2+t+1 4 3 ,3+2 , 即最大值为3+2,最小值为 4 3 .当 x 0, 2 时,则t 1
5、,2 ,此时 y 的最大值是 3+2,而最小值是3. 评述:此题考查的是换元法,转化思想,在换元时要注意变量的取值范围. 【例 2】已知 sin( x 4 3 )cos(x 4 )= 4 1 ,求 cos4x 的值 . 剖析: 4x 为 2x 的二倍角, 2x为 x 的二倍角 . 解:由已知得sin(x 2 4 )cos( x 4 ) = 4 1 , cos 2(x 4 )= 4 1 . sin2x=cos( 2 2x)=2cos 2( 4 x) 1= 8 7 . cos4x=12sin 22x=1 64 98 = 32 17 . 【例3】已知 为第二象限角,cos 2 +sin 2 = 2
6、5 ,求 sin 2 cos 2 和 sin2 +c os2的值 . 知识就是力量 解:由 cos 2 +sin 2 = 2 5 平方得 1+2sin 2 cos 2 = 4 5 , 即 sin= 4 1 , cos= 4 15 . 此时 k+ 4 2 k+ 2 . cos 2 +sin 2 = 2 5 0, sin 2 cos 2 = 8 1 0, cos 2 0, sin 2 0. 2 为第三象限角. 2k+ 4 5 2 2k + 2 3 ,kZ. sin 2 cos 2 , 即 sin 2 cos 2 0. sin 2 cos 2 =sin1= 2 3 , sin2 +cos2 =2si
7、ncos+12sin 2 = 8 157 . 评述:由三角函数值判断 2 的范围是关键 . 闯关训练 夯实基础 1.已知 f( x)=x1,当 ( 4 5 , 2 3 )时, f(sin2 ) f( sin2)可化简为 A.2sinB.2cosC.2sinD.2cos 解析: f(sin2)f(sin2)= 2sin1 2sin1 =sincos sin + cos. ( 4 5 , 2 3 ) , 1sin 2 2 cos 0. cossin0,cos+sin0. 原式 =cos sin+cos+sin=2cos. 答案: D 知识就是力量 2.(2005 年春季上海,14)在 ABC 中,
8、若 A a cos = B b cos = C c cos ,则 ABC 是 A.直角三角形B.等边三角形 C.钝角三角形D.等腰直角三角形 解析:由 A a cos = B b cos ,得 b a = B A cos cos . 又 A a sin = B b sin , b a = B A sin sin . B A sin sin = B A cos cos .sinAcosB=cosAsinB, sin(AB)=0,A=B.同理 B=C. ABC 是等边三角形 . 答案: B 3.若 8cos( 4 +)cos( 4 )=1,则 sin 4 +cos4=_. 解析:由已知得8sin(
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