k52006年高考第一轮复习数学:8.1椭圆.pdf
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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 第八章圆锥曲线的方程 网络体系总览 圆 锥 曲 线 椭 圆 定 义 双 曲 线 定 义 抛 物 线 定 义 标 准 方 程 标 准 方 程 标 准 方 程 几 何 性 质 几 何 性 质 几 何 性 质 作 图 作 图 作 图 第 二 定 义 第 二 定 义 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 统 一 定 义 考点目标定位 1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. 2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 4.能够根据具体条件利用各种不
2、同的工具画椭圆、双曲线、抛物线的图形,了解它们在 实际问题中的初步应用. 5.结合所学内容,进一步加强对运动变化和对立统一等观点的认识. 复习方略指南 本章主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义,标准方程,简单几何性质.它们作为研 究曲线和方程的典型问题,成了解析几何的主要内容,在日常生活、 生产实践和科学技术上 有着广泛的应用.因此在高考中,圆锥曲线成为命题的热点之一.分析近几年高考试题,有下 面几个显著特点: 1.注重双基保持稳定 圆锥曲线在题型、题量、 难度等方面风格独特,每年的试卷中客观题2 至 3 道,主观题 1 道,分值占全卷的15%左右, “难、中、易”层次分明,既有基础题,又有能
3、力题. 2.全面考查重点突出 试题中, 圆锥曲线的内容几乎全部涉及,考查的知识点约占圆锥曲线总知识点的四分之 三,通过知识的重新组合,考查学生系统掌握课程知识的内在联系,重点仍在直线与圆锥曲 线的位置关系上. 3.考查能力探究创新 试题具有一定的综合性,重点考查学生画图、数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推 理、合理运算以及综合运用知识的能力. 在今后的高考中,圆锥曲线仍将考查圆锥曲线的概念和性质、求曲线方程、 直线和圆锥 曲线的位置关系、解析几何中的定值最值问题.其中直线和圆锥曲线的位置关系仍是命题的 热点,解析几何中的定值及最值问题也会有所加强.圆锥曲线内容的“应用性问题”和“探 索性问题
4、”将会出现在今后的高考中. 学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问 题.为此建议在学习中做到: 1.搞清概念(对概念定义应“咬文嚼字”) ; 知识就是力量 2.熟悉曲线(会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线); 3.熟练运用代数、三角、几何、向量的知识; 4.处理问题时要在“大处着眼”(即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思 想) “小处着手” (即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法). 8.1 椭圆 知识梳理 定义 1.到两个定点F1、F2的距离之和等于定长( |F1F2|)的点的轨迹 2.到定点 F 与到定直线l 的距离之比等于常数e( 0,
5、1) )的点的轨迹 方程 1. 2 2 a x + 2 2 b y =1(ab0) ,c= 22 ba,焦点是 F1( c,0) ,F2(c,0) 2. 2 2 a y + 2 2 b x =1(ab0) ,c= 22 ba ,焦点是 F1(0, c) ,F2(0,c) x=acos, y=bsin 性质 E: 2 2 a x + 2 2 b y =1(ab0) 1.范围: |x|a, |y|b 2.对称性:关于x,y 轴均对称,关于原点中心对称 3.顶点:长轴端点A1( a,0) ,A2(a,0) ;短轴端点 B1(0, b) , B2(0,b) 4.离心率: e= a c ( 0,1) 5
6、.准线: l1:x= c a 2 ,l2:x= c a 2 6.焦半径: P(x,y) E r1=|PF1|=a+ex,r2=|PF2|=aex 思考讨论 对于焦点在y 轴上的椭圆 2 2 a y + 2 2 b x =1 (a b0) ,其性质如何?焦半径公式怎样推导? 点击双基 1.( 2003 年北京宣武区模拟题)已知F1、F2是椭圆 16 2 x + 9 2 y =1 的两个焦点, 过 F1的直 线与椭圆交于M、 N 两点,则 MNF2的周长为 A.8 B.16 C.25 D.32 解析:利用椭圆的定义易知B 正确 . 答案: B 3.参数方程 为参数 知识就是力量 2.(2004 年
7、湖北, 6)已知椭圆 16 2 x + 9 2 y =1 的左、右焦点分别为F1、F2,点 P 在椭圆 上,若 P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,则点P 到 x 轴的距离为 A. 5 9 B.3 C. 7 79 D. 4 9 解析:由余弦定理判断P2,即 k0, 00,n0) , 设 P(x1,y1) ,Q( x2,y2) ,解方程组 y=x+1, mx 2+ny2=1. 消去 y,整理得( m+n)x 2+2nx+n1=0. =4n 24(m+n) ( n1)0,即 m+nmn0,OP OQ x1x2+y1y2=0, 即 x1x2+(x1+1) ( x2+1)=0,2x1x2+(x1
8、+x2)+1=0, nm n)1(2 nm n2 +1=0. m+n=2. 由弦长公式得22 2 )( )(4 nm mnnm =( 2 10 ) 2 ,将 m+n=2 代入,得m2 n= 4 3 . m= 2 1 ,m= 2 3 , n= 2 3 n= 2 1 . 椭圆方程为 2 2 x + 2 3 y 2=1 或 2 3 x 2+ 2 2 y =1. 8.(2003 年南京市模拟题)设x、yR,i、j 为直角坐标平面内x、y 轴正方向上的单 位向量,若向量a=xi+( y+2)j,b=xi+(y2)j,且 |a|+|b|=8. (1)求点 M(x,y)的轨迹C 的方程 . (2)过点( 0
9、,3)作直线l 与曲线 C 交于 A、B 两点,设 OP =OA+OB,是否存在这 样的直线l,使得四边形OAPB 是矩形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,试说明理 由. (1)解法一: a=xi+(y+2)j,b=xi+(y2) j,且 |a|+|b|=8, 点 M(x,y)到两个定点F1(0, 2) ,F2(0,2)的距离之和为8. 轨迹 C 为以 F1、F2为焦点的椭圆,方程为 12 2 x + 16 2 y =1. 解法二:由题知, 22 )2( yx+ 22 )2( yx=8, 移项,得 22 )2( yx=8 22 )2( yx, 两边平方,得 x 2 +(y+2) 2=x2
10、+(y 2)21622 )2( yx+64, 整理,得2 22 )2( yx=8y, 两边平方,得4 x 2+(y2)2=(8y)2, 解得 或 知识就是力量 展开,整理得 12 2 x + 16 2 y =1. (2) l 过 y 轴上的点( 0,3) , 若直线 l 是 y 轴,则 A、B 两点是椭圆的顶点. OP=OA+OB=0, P 与 O 重合,与四边形OAPB 是矩形矛盾 . 直线 l 的斜率存在 .设 l 方程为 y=kx+3,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , y=kx+3, 12 2 x + 16 2 y =1, ( 21) 0 恒成立,且x1+x2= 2 34 18
11、k k ,x1x2= 2 34 21 k . OP=OA+OB,四边形OAPB 是平行四边形 .若存在直线l,使得四边形OAPB 是 矩形,则OAOB,即OA2 OB =0. OA=( x1, y1) ,OB=(x2,y2) , OA2OB=x1x2+y1y2=0, 即( 1+k 2)x 1x2+3k(x1+x2)+9=0, 即( 1+k 2) 2( 2 34 21 k )+3k2( 2 34 18 k k )+9=0,即 k 2= 16 5 ,得 k= 4 5 . 存在直线l:y= 4 5 x+3,使得四边形OAPB 是矩形 . 探究创新 9.已知常数 a0,在矩形 ABCD 中, AB=4
12、,BC=4a, O 为 AB 的中点,点E、F、G 分 别在 BC、 CD、DA 上移动,且 BC BE = CD CF = DA DG ,P 为 GE 与 OF 的交点(如下图).问是否 存在两个定点,使P 到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值; 若不存在,请说明理由. O x y F A B C D G P E 分析:根据题设条件首先求出P 点坐标满足的方程,据此可判断是否存在两点,使得 点 P 到两定点距离的和为定值. 解:按题意,有A( 2,0) ,B(2, 0) ,C(2, 4a) ,D( 2,4a) . 设 BC BE = CD CF = DA DG =k(0
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