k52006年高考第一轮复习数学:8.7圆锥曲线的综合问题.pdf
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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 8.7 圆锥曲线的综合问题 知识梳理 解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带,它本身侧重于形象思维、推理运算和数形 结合,综合了代数、三角、几何、向量等知识.反映在解题上,就是根据曲线的几何特征准 确地转换为代数形式,根据方程画出图形,研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的 思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等,以达到优化解题的目的. 具体来说,有以下三方面: (1)确定曲线方程,实质是求某几何量的值;含参数系数的曲线方程或变化运动中的 圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题,这些问题的求解都离不开函数、方程、 不等式的
2、解题思想方法.有时题设设计的非常隐蔽,这就要求认真审题,挖掘题目的隐含条 件作为解题突破口. (2)解析几何也可以与数学其他知识相联系,这种综合一般比较直观,在解题时保持 思维的灵活性和多面性,能够顺利进行转化,即从一知识转化为另一知识. (3)解析几何与其他学科或实际问题的综合,主要体现在用解析几何知识去解有关知 识,具体地说就是通过建立坐标系,建立所研究曲线的方程,并通过方程求解来回答实际问 题.在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方,这是因为在坐标系中 的量是“数量” ,不仅有大小还有符号. 点击双基 1.( 2005 年春季北京,5)设 abc0, “ac0”是“曲线
3、ax 2+by2=c 为椭圆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析: ac0曲线 ax 2+by2=c 为椭圆 . 反之成立 . 答案: B 2.到两定点A(0,0) ,B(3,4)距离之和为5 的点的轨迹是 A.椭圆B.AB 所在直线 C.线段 AB D. 无轨迹 解析:数形结合易知动点的轨迹是线段AB:y= 3 4 x,其中 0x3. 答案: C 3.若点( x, y)在椭圆4x 2+y2=4 上,则 2x y 的最小值为 A.1 B. 1 C. 3 2 3D. 以上都不对 解析: 2x y 的几何意义是椭圆上的点与定点(2,0)连线
4、的斜率 .显然直线与椭圆相切 时取得最值,设直线y=k(x2)代入椭圆方程(4+k2)x24k2x+4k2 4=0. 知识就是力量 令=0,k= 3 2 3. kmin= 3 2 3. 答案: C 4.( 2005 年春季上海,7)双曲线 9x 216y2=1 的焦距是 _. 解析:将双曲线方程化为标准方程得 9 1 2 x 16 1 2 y =1.a 2 = 9 1 , b2= 16 1 , c 2=a2+b2= 9 1 + 16 1 = 144 25 . c= 12 5 ,2c= 6 5 . 答案: 6 5 5.( 2004 年春季北京)若直线mx+ny3=0 与圆 x 2+y2=3 没有
5、公共点,则 m、n 满足的 关系式为 _;以( m,n)为点 P 的坐标,过点P 的一条直线与椭圆 7 2 x + 3 2 y =1 的公共点有 _个. 解析:将直线mx+ny3=0 变形代入圆方程x2+y2=3,消去 x,得 (m2+n2)y26ny+93m2=0. 令0,b0) ,且交抛物线y2=2px(p0)于 M(x1,y1) ,N(x2,y2)两点 . x y O M N a b l (1)写出直线l 的截距式方程; (2)证明: 1 1 y + 2 1 y = b 1 ; (3)当 a=2p 时,求 MON 的大小 . 知识就是力量 剖析:易知直线l 的方程为 a x + b y
6、=1,欲证 1 1 y + 2 1 y = b 1 ,即求 21 21 yy yy 的值,为此只需 求直线 l 与抛物线y2=2px 交点的纵坐标 .由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值,进而证得 1 1 y + 2 1 y = b 1 .由OM2ON=0 易得 MON=90.亦可由 kOM2 kON=1 求得 MON=90. (1)解:直线l 的截距式方程为 a x + b y =1. (2)证明:由及y 2=2px 消去 x 可得 by2+2pay 2pab=0. 点 M、N 的纵坐标y1、y2为的两个根,故y1+y2= b pa2 , y1y2=2pa. 所以 1 1 y + 2
7、 1 y = 21 21 yy yy = pa b pa 2 2 = b 1 . (3)解:设直线OM、ON 的斜率分别为k1、 k2, 则 k1= 1 1 x y ,k2= 2 2 x y . 当 a=2p 时,由( 2)知, y1y2=2pa=4p2, 由 y12=2px1,y22=2px2,相乘得( y1y2)2=4p2x1x2, x1x2= 2 2 21 4 )( p yy = 2 22 4 )4( p p =4p 2, 因此 k1k2= 21 21 xx yy = 2 2 4 4 p p =1. 所以 OMON,即 MON =90. 评述: 本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运
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- k52006 年高 第一轮 复习 数学 8.7 圆锥曲线 综合 问题
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