k52006年高考第一轮复习数学:9.10棱柱与棱锥.pdf
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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 9.10 棱柱与棱锥 知识梳理 1.有两个面互相平行, 其余各面的公共边互相平行的多面体叫做棱柱.侧棱与底面垂直的 棱柱叫做直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱. 2.棱柱的各侧棱相等,各侧面都是平行四边形;长方体的对角线的平方等于由一个顶点 出发的三条棱的平方和. 3.一个面是多边形, 其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥.底面是正多 边形并且顶点在底面上的射影是正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥. 4.棱锥中与底面平行的截面与底面平行,并且它们面积的比等于对应高的平方比. 在正棱锥中, 侧棱、 高及侧棱在底面上的射影构成直角三角形;
2、斜高、 高及斜高在底面 上的射影构成直角三角形. 点击双基 1.设 M=正四棱柱 ,N=直四棱柱 ,P=长方体,Q=直平行六面体 ,则四个 集合的关系为 A.MPNQB.MPQN C.PMNQ D.PMQN 解析:理清各概念的内涵及包含关系. 答案: B 2.如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中, BAC=90, BC1AC,则 C1在底面 ABC 上 的射影 H 必在 1 A A B B C C 1 1 A.直线 AB 上B.直线 BC 上C.直线 AC 上D.ABC 内部 解析:由ACAB,ACBC1,知 AC面 ABC1,从而面 ABC1面 ABC,因此, C1在 底面 ABC 上的射影
3、H 必在两面的交线AB 上. 答案: A 3.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使BD=a,则三棱锥DABC 的体积 为 A. 6 3 a B. 12 3 a C. 12 3 a 3 D. 12 2 a 3 答案: D 4.(2003 年春季上海)若正三棱锥底面边长为4,体积为1,则侧面和底面所成二面角 的大小等于 _.(结果用反三角函数值表示) 知识就是力量 A B C D S O 解析:取BC 的中点 D,连结 SD、AD ,则 SDBC,ADBC. SDA 为侧面与底面所成二面角的平面角,设为.在平面SAD 中,作SO AD 与 AD 交于 O,则 SO 为棱锥的高
4、 . AO=2DO, OD= 3 2 3. 又 VSABC= 3 1 2 1 ABBC sin60 h=1, h= 4 3 .tan= DO SO = 3 3 2 4 3 = 8 3 . =arctan 8 3 . 答案: arctan 8 3 5.过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面,它们将棱锥的侧面分成三部分的面积 的比(自上而下)为_. 解析:由锥体平行于底面的截面性质知,自上而下三锥体的侧面积之比,S侧1S侧2S侧 3= 149,所以锥体被分成三部分的侧面积之比为135. 答案: 13 5 典例剖析 【例 1】 已知 E、F 分别是棱长为a 的正方体 ABCD A1B1C1D1的棱
5、 A1A、CC1的中点, 求四棱锥C1 B1EDF 的体积 . A A D B C B C D 1 1 1 1 1O E H F 解法一:连结A1C1、B1D1交于 O1,过 O1作 O1HB1D 于 H, EFA1C1, A1C1平面 B1EDF. C1到平面 B1EDF 的距离就是A1C1到平面 B1EDF 的距离 . 平面 B1D1D平面 B1EDF , O1H平面 B1EDF ,即 O1H 为棱锥的高 . B1O1H B1DD1, O1H= DB DDOB 1 111 = 6 6 a, 知识就是力量 V EDFBC 11 = 3 1 S EDFB1 O1H= 3 1 2 1 EFB1D
6、O1H= 3 1 2 1 2a3a 6 6 a= 6 1 a 3 . 解法二:连结EF,设 B1到平面C1EF 的距离为h1,D 到平面 C1EF 的距离为h2,则 h1+h2=B1D1=2a, V EDFBC 11 =V EFCB 11 +V EFCD 1 = 3 1 S EFC1 ( h1+h2)= 6 1 a 3 . 解法三: V EDFBC 11 =V FDCDEBA 1111 多面体 V 1111 DCBAE V DDCE 11 = 6 1 a 3 . 特别提示 求体积常见方法有:直接法(公式法);分割法;补形法. 【例 2】如图所示,在四棱锥PABCD 中,底面ABCD 是矩形,
7、PA=AB=2,BC=a, 又侧棱 PA底面 ABCD. (1)当 a 为何值时, BD平面 PAC?试证明你的结论. (2)当 a=4 时,求 D 点到平面 PBC 的距离 . (3)当 a=4 时,求直线PD 与平面 PBC 所成的角 . P A BC D 剖析: 本题主要考查棱锥的性质,直线、 平面所成的角的计算和点到平面的距离等基础 知识 .同时考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力. 本题主要是在有关的计算中,推理得到所求的问题,因而尽量选择用坐标法计算. 解: (1)以 A 为坐标原点,以AD、AB、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、 z 轴建立空间 直角坐标系,当a=2 时,
8、 BD AC,又 P ABD ,故 BD平面 P AC.故 a=2. (2)当a=4 时, D(4, 0,0) 、C(0,2,0) 、C(4,2,0) 、P(0,0,2) 、FB= (0,2, 2) , BC =(4,0,0). 设平面 PBC 的法向量为n,则 nPB=0,n BC =0,即( x,y,z) (0,2,2)=0, (x,y,z) (4,0,0) =0,得 x=0,y=z,取 y=1,故 n=(0,1,1) .则 D 点到平面PBC 的距离 d= | DC n n | | =2. (3)DP=(4,0,2) ,cosDP,n= |n n DP DP = 10 10 0,证DP,
9、n =,设 直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 ,则 sin=sin( 2 )=cos= 10 10 . 所以直线PD 与平面 PBC 所成的角为arcsin 10 10 . 【例 3】如图, 设三棱锥 S ABC 的三个侧棱与底面 ABC 所成的角都是 60, 又BAC=60, 且 SABC. (1)求证: SABC 为正三棱锥; 知识就是力量 (2)已知 SA=a,求 SABC 的全面积 . A B C D S O (1)证明:正棱锥的定义中,底面是正多边形;顶点在底面上的射影是底面的中心, 两个条件缺一不可.作三棱锥SABC 的高 SO,O 为垂足,连结AO 并延长交 BC 于 D.
10、 因为 SABC,所以 ADBC.又侧棱与底面所成的角都相等,从而O 为 ABC 的外心, OD 为 BC 的垂直平分线,所以AB=AC.又 BAC=60,故 ABC 为正三角形, 且 O 为其中 心.所以 SABC 为正三棱锥 . (2)解:只要求出正三棱锥SABC 的侧高SD 与底面边长,则问题易于解决.在 Rt SAO 中,由于SA=a, SAO=60,所以SO= 2 3 a, AO= 2 1 a.因 O 为重心,所以 AD= 2 3 AO= 4 3 a,BC=2BD=2ADcot60= 2 3 a,OD= 3 1 AD= 4 1 a. 在 RtSOD 中, SD 2=SO2 OD2 =
11、( 2 3 a) 2( 4 1 a) 2= 16 13 ,则 SD= 14 13 a. 于是, (SSABC)全= 2 1 ( 2 3 a) 2sin60 3 2 1 4 13 a 2 3 a= 16 )393(3 a 2. 深化拓展 (1)求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S正棱锥底=cos S正棱锥侧(为侧面与 底面所成的二面角).就本题cos = 13 1 , S ABC = 16 33 a 2,所以( S SABC) 侧= 6 33 a 2 13 1 = 16 393 a 2.于是也可求出全面积 . (2)注意到高SO= 2 3 a,底面边长BC= 2 3 a 是相等的,因此这类正
12、三棱锥还有高与 底面边长相等的性质,反之亦真. (3)正三棱锥中,若侧棱与底面边长相等,则变成四个面都是正三角形的三棱锥,这 时可称为正四面体,因此正四面体是特殊的正三棱锥,但正三棱锥不一定是正四面体. 闯关训练 夯实基础 1.(2004 年全国, 10)已知正四面体ABCD 的表面积为S,其四个面的中心分别为E、 F、G、H.设四面体EFGH 的表面积为T,则 S T 等于 A. 9 1 B. 9 4 C. 4 1 D. 3 1 解析:如图所示,正四面体ABCD 四个面的中心分别为E、F、G、H, 知识就是力量 A B C D E MN G F H 四面体EFGH 也是正四面体. 连结 AE
13、 并延长与CD 交于点 M, 连结 AG 并延长与BC 交于点 N. E、 G 分别为面的中心, AM AE = AN AG = 3 2 . MN GE = 3 2 . 又 MN= 2 1 BD , BD GE = 3 1 . 面积比是相似比的平方, S T = 9 1 . 答案: A 2.P 是长方体 AC1上底面 A1C1内任一点, 设 AP 与三条棱 AA1、AB、AD 所成的角为 、 、 ,则 cos 2 +cos2+cos2的值是 A.1 B.2 C. 2 3 D.不确定正 解析:以AP 为一条对角线截得小长方体AP,由长方体的对角线长定理可得cos 2 +cos 2 +cos 2=
14、1. 答案: A 3.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中, E、F、G、H 分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC 的中 点, N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 的边及其内部运动, 则 M 只需满足条件_ 时,就有MNAC. 答案:点M 与 F 重合 说明:本题答案不唯一,当点M 在线段 FH 上时均有MNAC. 4.在三棱锥 SABC 中, ASB=ASC=BSC=60,则侧棱SA与侧面 SBC 所成的角 的大小是 _. A B C S 答案: arccos 3 3 5.三棱锥一条侧棱长是16 cm, 和这条棱相对的棱长是18 cm, 其余四条棱长都是17 cm, 求棱锥的
15、体积 . 解:如图,取AD 的中点 E,连结 CE、BE, 知识就是力量 A B C D E F AC=CD=17,DE =8,CE 2=17282=225,BE=CE, 取 BC 的中点 F,连结 EF,EF 为 BC 边上的高, EF= 22 CFCE= 22 915=12. S BCE =108. AC=CD=17cm ,E 为 AD 的中点, CEAD ,同理 BEAD , DA平面 BCE. 三棱锥可分为以底面BCE 为底,以AE、DE 为高的两个三棱锥. VABCD=VABCE+VDBCE=2 3 1 S BCE AE=2 3 1 108 8=576(cm 3). 6.(2003
16、年春季北京)如图,正四棱柱ABCD A1B1C1D1中,底面边长为22,侧棱 长为 4,E、F 分别为棱 AB、BC 的中点, EFBD=G. A A D D B B C C 1 1 1 1 E G F (1)求证:平面B1EF平面 BDD1B1; (2)求点 D1到平面 B1EF 的距离 d. (1)证法一:连结AC. 正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形,ACBD.又 AC D1D, AC平面 BDD1B1. E、 F 分别为 AB、BC 的中点,故EFAC. EF平面 BDD1B1. 平面 B1EF平面 BDD1B1. 证法二: BE=BF, EBD=FBD =45, EFBD
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