k52006年高考第一轮复习数学:9.13立体几何的综合问题.pdf
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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 9.13 立体几何的综合问题 知识梳理 1.线与线、线与面、面与面间的平行、垂直关系. 2.空间角与空间距离. 3.柱、锥、球的面积与体积. 4.平面图形的翻折,空间向量的应用. 点击双基 1.若 RtABC 的斜边 BC 在平面 内,顶点 A 在外,则 ABC 在上的射影是 A.锐角三角形B.钝角三角形 C.直角三角形D.一条线段或一钝角三角形 解析:当平面ABC时,为一条线段,结合选择肢,知选D. 答案: D 2.长方体 AC1的长、宽、高分别为3、 2、1,从 A 到 C1沿长方体的表面的最短距离为 A A C C D D B B 1 1
2、1 1 1 2 3 A.1+3B.2+10C.32D.23 解析:求表面上最短距离常把图形展成平面图形. 答案: C 3.设长方体的对角线长为4, 过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为60, 则长方体的体积是 A.272B.82C.83D.16 解析: 先求出长方体的两条棱长为2、2,设第三条棱长为x,由 2 2+22 +x 2=42 x=22, V=2 222=82. 答案: B 4.棱长为 a 的正方体的各个顶点都在一个球面上,则这个球的体积是_. 解析:易知球的直径2R= 3a.所以 R= 2 3 a.所以 V= 3 4 R 3= 2 3 a 3. 答案: 2 3 a 3 5.
3、已知 ABC 的顶点坐标为A(1,1,1) 、B(2,2,2) 、C(3,2,4) ,则 ABC 的 面积是 _. 解析:AB=(1, 1,1) , AC =(2,1,3) ,cosAB,AC= 143 6 = 7 42 , 知识就是力量 sinA= 7 7 .S ABC = 2 1 |AB|AC|sinA= 2 1 314 7 7 = 2 6 . 答案: 2 6 典例剖析 【例 1】 在直角坐标系O xyz中,OA=(0,1,0) ,AB=( 1,0,0) ,OC=(2,0, 0) ,OS=(0,0,1). (1)求SC与OB的夹角 的大小; (2)设 n=(1,p,q) ,且 n平面 SB
4、C,求 n; (3)求 OA 与平面 SBC 的夹角; (4)求点 O 到平面 SBC 的距离; (5)求异面直线SC 与 OB 间的距离 . 解: (1)如图,SC=OCOS=(2, 0, 1) ,OB= OA+ AB=( 1,1,0) ,则 |SC|= 222 )1(02=5,|OB|= 222 011=2. S A B C O x y z cos=cosSC,OB= |OBSC OBSC = 25 002 = 5 10 ,=arccos 5 10 . nSC=0, n BC =0. SC=( 2,0, 1) , BC =OCOB=( 1, 1,0) , 2q=0,p=1, 1p=0. q
5、=2, (3) OA 与平面 SBC 所成的角 和 OA 与平面 SBC 的法线所夹角互余,故可先求 OA 与 n 所成的角 . OA=(0,1,0) ,|OA|=1,|n|= 222 211=6. cosOA, n= |OA| OA n n = 61 1 = 6 6 , (2) n平面 SBC, nSC且 n BC ,即 即 n= (1, 1, 2) . 知识就是力量 即OA,n=arccos 6 6 .= 2 arccos 6 6 . (4)点 O 到平面 SBC的距离即为OC在 n 上的投影的绝对值, d=|OC |n| n |= 6 2 = 3 6 . (5)OC在异面直线SC、OB
6、的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的 距离,故先求与SC、OB 均垂直的向量m. 设 m=(x,y,1) ,mSC且 mOB, 则 mSC=0,且 mOB=0. 2x1=0,x= 2 1 , x+y=0,y= 2 1 . m=( 2 1 , 2 1 ,1) ,d=|OC |m m |= 6 2 = 3 6 . 特别提示 借助于平面的法向量,可以求斜线与平面所成的角,求点到平面的距离,类似地可以求 异面直线间的距离.本题选题的目的是复习如何求平面的法向量,以及如何由法向量求角、 求距离 . 【例 2】如图,已知一个等腰三角形ABC 的顶角 B=120,过 AC 的一个平面 与顶 点
7、B 的距离为 1,根据已知条件,你能求出 AB 在平面 上的射影 AB1的长吗 ?如果不能, 那 么需要增加什么条件,可以使AB1=2? A B B C 1 解:在条件“等腰ABC 的顶角 B=120”下, ABC 是不能唯一确定的,这样线段 AB1也是不能确定的,需要增加下列条件之一,可使AB1=2: CB1=2; CB=5或 AB=5;直线AB 与平面 所成的角BAB1=arcsin 5 5 ; ABB1=arctan2; B1AC=arccos 4 15 ; AB1C= arccos 8 7 ; AC= 15 ; B1 到 AC 的距离为 2 1 ; B 到 AC 的距离为 2 5 ;二
8、面角BACB1为 arctan2 等等 . 思考讨论 本题是一个开放型题目,做这类题的思维是逆向的,即若AB1=2,那么能够推出什么结 果,再回过来考虑根据这一结果能否推出AB1=2. 【例 3】(2004 年春季北京)如图,四棱锥SABCD 的底面是边长为1 的正方形, 即 知识就是力量 SD 垂直于底面ABCD,SB=3, A B C D S M (1)求证: BC SC; (2)求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小; (3)设棱 SA 的中点为M,求异面直线DM 与 SB所成角的大小. 剖析: 本题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力
9、. (1)证法一:底面ABCD 是正方形, BCDC.SD底面 ABCD, DC 是 SC 在平面 ABCD 上的射影 . 由三垂线定理得BC SC. 证法二:底面ABCD 是正方形, BCDC.SD底面 ABCD, SDBC.又 DCSD=D, BC平面 SDC. BCSC. (2)解法一:SD底面 ABCD ,且 ABCD 为正方形, A A B B C C D 1 1 1 S M 可以把四棱锥SABCD 补形为长方体A1B1C1SABCD,如上图,面ASD 与面 BSC 所成的二面角就是面ADSA1与面 BCSA1所成的二面角,SCBC, BCA1S, SCA1S . 又 SDA1S,
10、CSD 为所求二面角的平面角. 在 RtSCB 中,由勾股定理得SC=2, 在 RtSDC 中,由勾股定理得SD=1. CSD=45, 即面 ASD 与面 BSC 所成的二面角为45. 解法二:如下图,过点S 作直线 lAD, A B C D S M l l 在面 ASD 上. 底面 ABCD 为正方形,lADBC. 知识就是力量 l 在面 BSC 上. l 为面 ASD 与面 BSC 的交线 . SDAD,BC SC, lSD,lSC. CSD 为面 ASD 与面 BSC 所成二面角的平面角. (以下同解法一). (3)解法一:如上图,SD=AD=1, SDA=90, SDA 是等腰直角三角
11、形. 又 M 是斜边 SA 的中点, DM SA. BAAD,BA SD,ADSD=D, BA面 ASD,SA 是 SB在面 ASD 上的射影 . 由三垂线定理得DM SB. 异面直线DM 与 SB所成的角为90. 解法二:如下图,取AB 的中点 P,连结 MP、DP. A B C D P M S 在 ABS 中,由中位线定理得PM BS. DM 与 SB所成的角即为DMP. 又 PM 2= 4 3 ,DP 2= 4 5 ,DM 2= 4 2 . DP 2 =PM 2+DM2. DMP=90. 异面直线DM 与 SB所成的角为90. 闯关训练 夯实基础 1.下图是一个无盖的正方体盒子展开后的平
12、面图,A、B、C 是展开图上的三点,则在正 方体盒子中,ABC 的值为 A B C A.180B.120C.60D.45 答案: C 2.在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,M、N 分别为 A1B1和 BB1的中点,那么直 线 AM 与 CN 所成的角为 1 1 1 1 A A B B C C D D M N 知识就是力量 A.arccos 2 3 B.arccos 10 10 C.arccos 5 3 D.arccos 5 2 解法一:AM= 1 AA+MA1,CN= CB+BN, AMCN=( 1 AA+MA1) (CB+BN)= 1 AABN= 2 1 . 而 |AM|=
13、 )()( 1111 MAAAMAAA= 2 1 2 1 |MAAA= 4 1 1= 2 5 .同理, |CN|= 2 5 . 如令 为所求之角,则cos= |CNAM CNAM = 4 5 2 1 = 5 2 , =arccos 5 2 .应选 D. 解法二:建立如图所示的空间直角坐标系,把 D 点视作原点O, 分别以DA、DC、 1 DD 的方向为x 轴、y 轴、 z 轴的正方向, 则 A(1,0,0) 、M( 1, 2 1 ,1) 、C(0,1,0) 、N( 1, 1, 2 1 ). 1 1 1 1 A A B B C C D D M N x y z AM=(0, 2 1 ,1) ,CN
14、=(1,0, 2 1 ). 故AMCN=01+ 2 1 0+1 2 1 = 2 1 , |AM|= 222 1) 2 1 (0= 2 5 , |CN|= 222 ) 2 1 (01= 2 5 . cos= |CNAM CNAM = 2 5 2 5 2 1 = 5 2 . =arccos 5 2 . 答案: D 知识就是力量 3.图甲是一个正三棱柱形的容器,高为2a,内装水若干 .现将容器放倒,把一个侧面作 为底面,如图乙所示,这时水面恰好为中截面,则图甲中水面的高度为_. A A B B C C 11 1 A A B B C C 1 1 1 1 1 E E F F A A B B C C 1
15、1 1 1 1 E E F F 甲乙 丙 解析:设正三棱柱的底面积为S,将图乙竖起得图丙,则V 水=V柱V 111 FEAAEF =S 2a ( 4 1 S) 2a= 2 3 aS.设图甲中水面的高度为x,则 S x= 2 3 aS,得 x= 2 3 a. 答案: 2 3a 4.在三棱锥 PABC 中,底面是边长为2 cm 的正三角形,PA=PB=3 cm,转动点 P 时, 三棱锥的最大体积为. 解析:点P 到面 ABC 距离最大时体积最大,此时面PAB面 ABC,高 PD=22. A C B D P V= 3 1 4 3 42 2 = 3 62 . 答案: 3 62 cm 3 5.把长、宽各
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