k52006年高考第一轮复习数学:9.7空间向量及其坐标运算(B).pdf
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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 9.7 空间向量及其坐标运算(B) 知识梳理 1.若OP=xi+yj+zk,那么( x,y,z)叫做向量OP的坐标,也叫点P 的坐标 . 2.设 a=(x1,y1,z1) ,b=(x2,y2,z2) , 那么 ab=(x1x2,y1y2, z1z2) , a2 b=x1x2+y1y2+z1z2, cosa,b= 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 zyxzyx zzyyxx . 3.设 M1(x1, y1, z1) ,M2( x2,y2, z2) , 则|M1M2|= 2 21 2 21 2 21 )()()(zzyyx
2、x. 4.对非零向量a与 b,有 aba=kb;aba2 b=0. 点击双基 1.若 a=(2x, 1,3) , b=(1, 2y,9) ,如果 a 与 b 为共线向量,则 A.x=1,y=1 B.x= 2 1 ,y= 2 1 C.x= 6 1 ,y= 2 3 D.x= 6 1 ,y= 2 3 解析: a=( 2x,1, 3)与 b=(1, 2y,9)共线,故有 1 2 x = y2 1 = 9 3 . x= 6 1 ,y= 2 3 .应选 C. 答案: C 2.在空间直角坐标系中,已知点P( x,y,z) ,下列叙述中正确的个数是 点 P 关于 x 轴对称点的坐标是P1(x, y,z)点 P
3、 关于 yOz 平面对称点的坐标 是 P2(x, y, z)点 P 关于 y 轴对称点的坐标是P3(x, y,z)点 P 关于原 点对称的点的坐标是P4( x, y, z) A.3 B.2 C.1 D.0 解析: P 关于 x 轴的对称点为P1(x,y,z) ,关于 yOz 平面的对称点为P2( x,y, z) ,关于 y 轴的对称点为P3( x,y, z).故错误. 答案: C 3.已知向量 a=(1, 1,0) , b=( 1,0,2) ,且 kab 与 2ab 互相垂直,则k 值是 A.1 B. 5 1 C. 5 3 D. 5 7 解析: ka+b=k(1,1,0)( 1,0,2)=(k
4、1,k,2) ,2ab=2(1, 1,0) ( 1,0,2)=( 3,2, 2).两向量垂直,3(k1) 2k23 2=0.k= 5 7 . 答案: D 知识就是力量 4.已知空间三点A(1, 1,1) 、 B( 1,0,4) 、C(2, 2,3) ,则AB与CA的夹角 的大小是 _. 解析:AB=( 2, 1, 3) ,CA=( 1,3, 2) , cosAB,CA= 1414 )2(33)1()1()2( = 14 7 = 2 1 , =AB,CA=120. 答案: 120 5.已知点A(1,2,1) 、B( 1,3, 4) 、D(1, 1,1) ,若 AP =2PB,则 |PD|的值 是
5、_. 解析:设点P(x,y,z) ,则由AP=2PB,得( x1,y2,z1)=2( 1 x,3 y, 4z) ,即 ,3 , 3 8 , 3 1 ,281 ,262 ,221 z y x zz yy xx 解得则 |PD|= 222 )13()1 3 8 ()1 3 1 (= 3 77 . 答案: 3 77 典例剖析 【例 1】已知AB=( 2,2,1) , AC =(4,5, 3) ,求平面ABC 的单位法向量 . 解:设面 ABC的法向量 n=(x,y,1) ,则 nAB且 nAC,即 n2AB=0,且 n2AC=0, 即 2x+2y+1=0, 4x+5y+3=0, 特别提示 一般情况下
6、求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度,仅规定了方向,所以有一 个自由度,可把n 的某个坐标设为1,再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量, 故法向量的相反向量也是法向量,所以本题的单位法向量应有两解. 【例 2】 在三棱锥SABC 中, SAB=SAC=ACB=90, AC=2, BC= 13 , SB= 29 . (1)求证: SCBC; (2)求 SC 与 AB 所成角的余弦值. 解法一: 如下图,取 A 为原点, AB、 AS 分别为 y、z 轴建立空间直角坐标系,则有 AC=2, 即 ,1 , 2 1 y x n=( 2 1 ,1,1) ,单位法向量 n0= |n| n =
7、( 3 1 , 3 2 , 3 2 ). 知识就是力量 BC=13,SB=29,得 B(0,17,0) 、S(0,0,23) 、C(2 17 13 , 17 4 ,0) ,SC= (2 17 13 , 17 4 , 23) ,CB=( 2 17 13 , 17 13 ,0). x y z A B C S (1)SC2CB=0, SCBC. (2) 设 SC与 AB 所成的角为 , AB= (0, 17 , 0) ,SC2AB=4, |SC| AB|=4 17 , cos= 17 17 ,即为所求 . 解法二: (1) SA 面 ABC,ACBC,AC 是斜线 SC在平面 ABC 内的射影, S
8、CBC. (2)如下图,过点C 作 CDAB,过点 A 作 ADBC 交 CD 于点 D,连结 SD、SC, 则 SCD为异面直线SC与 AB 所成的角 .四边形 ABCD 是平行四边形, CD= 17 , SA=2 3 , SD= 22 ADSA=1312=5,在 SDC 中,由余弦定理得cos SCD= 17 17 ,即为所求 . S AB CD 特别提示 本题( 1)采用的是“定量”与“定性”两种证法.题( 2)的解法一应用向量的数量积 直接计算, 避免了作辅助线、平移转化的麻烦,但需建立恰当的坐标系;解法二虽然避免了 建系,但要选点、平移、作辅助线、解三角形. 【例 3】如下图,直棱柱
9、ABCA1B1C1的底面 ABC 中, CA=CB=1,BCA =90, 棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点 . A A B B C C 1 1 1 x y z M N (1)求BN的长; (2)求 cos 1 BA, 1 CB的值; (3)求证: A1BC1M. 知识就是力量 (1)解:依题意得B( 0,1,0) ,N(1,0, 1) , BN= 222 )01()10()01(=3. (2)解: A1(1,0, 2) ,B(0,1,0) ,C(0,0,0) ,B1(0,1,2) , 1 BA=( 1,1,2) , 1 CB=(0,1,2) , 1 BA2 1 CB=3
10、, 1 BA=6, 1 CB=5. cos 1 BA , 1 CB = | 11 11 CBBA CBBA = 10 30 . (3)证明: C1(0,0,2) ,M( 2 1 , 2 1 ,2) , BA1=( 1, 1, 2) ,MC 1 =( 2 1 , 2 1 ,0) ,BA12MC 1 =0, A1B C1M. 深化拓展 根据本题条件,还可以求直线AC1与平面 A1ABB1所成的角 .(答案是arcsin 10 10 ) 【例 4】如下图,在正方体ABCDA1B1C1D1中, E、F 分别是 BB1、CD 的中点 . A A D B C B C D 1 1 1 1 E F (1)证明
11、 ADD1F; (2)求 AE 与 D1F 所成的角; (3)证明面AED 面 A1D1F. 解:取 D 为原点, DA、DC、 DD1为 x 轴、 y 轴、 z轴建立直角坐标系,取正方体棱长 为 2,则 A(2,0,0) 、A1(2, 0,2) 、 D1(0, 0,2) 、E(2,2,1) 、F(0,1, 0). (1)DA2FD 1 =(2, 0,0) 2(0,1, 2) =0,ADD1F. (2)AE2FD 1 =(0,2,1) 2( 0,1, 2)=0, AED1F,即 AE 与 D1F 成 90角 . (3)DE2FD 1 =(2,2,1) 2( 0,1, 2)=0, DED1F.A
12、ED1F, D1F面 AED. D1F面 A1D1F,面 AED 面 A1D1F. 思考讨论 本题是高考题, 标准答案的解法较为复杂,而运用代数向量求解则轻而易举,充分显示 出代数化方法研究几何图形的优越性,这应作为立体几何复习的一个重点去掌握.通过坐标 法计算数量积去证垂直,求夹角、距离,是高考的重点. 闯关训练 夯实基础 知识就是力量 1.设 OABC 是四面体, G1是 ABC 的重心, G 是 OG1上一点,且OG=3GG1,若OG= xOA+yOB+zOC,则( x,y,z)为 A.( 4 1 , 4 1 , 4 1 )B.( 4 3 , 4 3 , 4 3 )C.( 3 1 , 3
13、 1 , 3 1 )D.( 3 2 , 3 2 , 3 2 ) 解析:OG= 4 3 1 OG= 4 3( OA+ 1 AG) = 4 3 OA+ 4 3 2 3 2 2 1( AB+AC) = 4 3 OA+ 4 1 (OBOA) +(OCOA) = 4 1 OA+ 4 1 OB+ 4 1 OC,而OG=xOA+yOB+zOC, x= 4 1 ,y= 4 1 ,z= 4 1 . 答案: A 2.在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,M、N 分别为 A1B1和 BB1的中点,那么直 线 AM 与 CN 所成的角为 A A D B C B C D 1 1 1 1 M N A.arc
14、cos 2 3 B.arccos 10 10 C.arccos 5 3 D.arccos 5 2 解法一:AM= 1 AA+MA1, CN = CB +BN,AM2 CN =( 1 AA+ MA1) 2( CB +BN)= 1 AA2BN= 2 1 . 而|AM|=)()( 1111 MAAAMAAA= 2 1 2 1 |MAAA= 4 1 1= 2 5 . 同理, |CN|= 2 5 .如令 为所求之角,则 cos= |CNAM CNAM = 4 5 2 1 = 5 2 , =arccos 5 2 . 解法二:建立如下图所示坐标系,把D 点视作原点O,分别沿DA、 DC 、 1 DD方向 为
15、 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向,则A(1, 0,0) , M(1, 2 1 ,1) ,C(0,1,0) ,N( 1,1, 2 1 ). 知识就是力量 D D A A B B C C 1 1 1 1 y x z O N M AM=(1, 2 1 ,1)( 1,0,0)=(0, 2 1 ,1) , CN=(1,1, 2 1 )( 0,1,0)=(1,0, 2 1 ). 故AM2CN=03 1+ 2 1 3 0+13 2 1 = 2 1 , |AM|= 222 1) 2 1 (0= 2 5 ,|CN|= 222 ) 2 1 (01= 2 5 .cos= |CNAM CNAM = 2 5 2 5
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- k52006 年高 第一轮 复习 数学 9.7 空间 向量 及其 坐标 运算
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