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1、知识就是力量 1 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 课题:一元一次方程的概念 教材:人教版义务教育课程标准实验教科书数学七年级上册第二章第一节 授课教师:北京三帆中学(北京师大二附中初中部)耿旭龙 【教学目标】 1、通过对多个实际问题的分析,让学生体验从算术方法到代数方法是一种 进步,归纳并理解一元一次方程的概念,领悟一元一次方程的意义和作用. 2、在学生根据问题寻找相等关系、根据相等关系列出方程的过程中,培养 学生获取信息、分析问题、处理问题的能力. 3、使学生经历把实际问题抽象为数学方程的过程,认识到方程是刻画现实 世界的一种有效的数学模型,初步体会建立数学模型的思想. 【教学重点、难点】
2、使学生理解问题情境,探究情境中包含的数量关系,最终用 方程来描述和刻画事物间的相等关系 【教学方法】启发式讲授法 【教学过程】 知识就是力量 2 问题与情境师生活动设计意图 阶段 1 情境导入 回顾旧知 今年进行的德 国世界杯足球赛, 吸 引 了 全 球 的 目 光 . 你 喜 欢 足 球 吗?下面来看一个 与足球场有关的问 题. 引例德国世 界杯足球赛莱比锡 赛场为长方形的足 球场,周长为310 米,长和宽之差为 25 米,这个足球场 的长与宽分别是多 少米? 教师给出引例,带领学生进入到实际问 题的情境中 . 1、算术方法: 足 球 场 长 与 宽 的 和 为310 2=155 (米) 由
3、和差关系,得 足球场的长度为 (155+25) 2=90 (米) , 宽度为 90-25=65(米) . 2、方程方法: 设足球场的长度为x米, 那么足球场的宽度能用含 x的式子表示 为(25)x米. 根据“长方形的周长 =(长+宽) 2” , 列出方程:2(25)310xx. 教师指出,如何解出方程中的未知数x, 是今后要学习的知识 . 然后,请学生回顾方程的概念:含有未 知数的等式,叫做方程. 教师引导学生总结引例的研究方法,启 发学生比较算术方法和方程方法的区别: 用算术方法解决问题时, 只能用已知数, 而用方程方法解题时用字母表示的未知数也 可以参与运算 . 算术方法主要运用逆向思维,
4、列方程主 要运用正向思维 . 依据 新 课 程 的 理念,教师 要 创 造 性 地 使 用 教 材. 作为引 入 本 课 的 第 一 个 例 子, 选用了 “ 世 界 杯 足 球 赛 赛 场问题” , 以 激 发 学 生 的 学 习 兴趣,而且 设 置 了 符 合 学 生 认 知 水 平 的 问题情境, 以 达 到 由 浅入深、逐 步 提 高 的 目的. 知识就是力量 3 知识就是力量 4 阶段 联系实际 探究新知 请同学们用方 程来研究问题 . 例 1 青藏铁 路格尔木至拉萨段 全长共 1142 千米, 途中经过冻土路段 和 非冻 土路 段 . 若 列车在冻土路段的 速度为每小时 80 千
5、米,非冻土路段的 速度为每小时110 千米,全程行驶时 间为 12 小时,你能 算出列车经过的冻 土路段有多少千米 吗? 例 2 学校召 开运动会,王平负 责给同学们购买饮 料 . 现 在 要选 购两 种饮料共 40 瓶,其 中矿泉水 1.5 元一 瓶,茶饮料2 元一 瓶 . 王 平 计划 恰好 花费 65 元购买这些 饮料,那么两种饮 料应该各买多少瓶 呢? 教师引导学生从实际问题列出方程. 明确用方程研究问题,所以设列车经过 的冻土路段为 x千米,然后分析发现两个相 等关系: 冻土路段路程 +非冻土路段路程 =全程 冻土路段行驶时间+非冻土路段行驶时 间=全程行驶时间 可以利用第一个相等关
6、系,得到非冻土 路段行驶路程为(1142)x千米,再将第二个 相等关系用字母和数字表示出来,得到方程 1142 12 80110 xx . 由学生尝试分析数量关系,找出相等关 系,列出方程 : 购买矿泉水数量+购买茶饮料数量=总 的选购数量 购买矿泉水的费用+购买茶饮料的费用 =总的花费 预案 1设购买矿泉水的数量为 x瓶, 根据第一个相等关系,得到购买茶饮料的数 量为(40)x瓶. 根据第二个相等关系得到方 程1.52(40)65xx. 预案 2 设购买茶饮料的数量为x瓶, 通 过 设 置 问 题 情境,引导 学 生 关 注 社会,使学 生 进 一 步 经 历 列 方 程 研 究 实 际 问
7、 题 的 过程,培养 学 生 将 实 际 问 题 抽 象 为 数 学 问 题 的 能 力. 选 择 与 学 生 生 活 非 常 贴 近 的 情 境 来 设 计 问 题,引导学 生 关 注 生 活 及 培 养 学 生 在 生 活 中 应 用 数 学 的 意 识. 学生可 能 设 的 未 知数不同, 列 出 不 同 的方程,有 知识就是力量 5 例 3 将一个 底面半径是 5 厘米、 高为 36 厘米的“瘦 长”型圆柱钢材锻 压成高为 9 厘米的 “矮胖”型圆柱钢 材,底面半径变成 了多少厘米? ( 14. 3取 ) 归纳概念: 只含有一个未 知数(元) ,并且未 知 数 的 指 数 是1 (次)
8、的方程叫做 一元一次方程 则购买矿泉水的数量为(40) x瓶, 得到方程 65)40(5. 12xx. 预案 3 设购买购买矿泉水x瓶,购买 茶饮料y瓶,可以列出两个方程 40yx和6525.1yx. 教师指出预案 3 的方程也可以解决问 题,这方面的知识将在今后进一步学习. 先请学生回忆小学学过的圆柱体积公 式: 圆柱体积 =底面积高 再通过动画演示使学生注意到锻压前 后圆柱的体积不变,然后由学生根据这一相 等关系,设底面半径变成了 x厘米,列出方 程: 914.336514. 3 22 x . 在研究了四个实际问题后,教师引导学 生观察得到的方程: (1)2(25)310xx; (2) 1
9、142 12 80110 xx ; 利 于 培 养 学 生 的 发 散思维 . 设 计 的 问 题 情 境 可 以 让 学 生 关 注 生产实践 , 并 且 前 面 列 出 的 方 程 中 的 未 知 数 指 数 都是 1,而 本 例 列 出 的 方 程 中 的 未 知 数 指数是 2, 可 以 为 归 纳 一 元 一 次 方 程 的 概 念 提 供 对 比 的 实 例. 通过 观 察 、 思 考、分析六 个 方 程 的 特点,使学 生 经 历 概 知识就是力量 6 阶段 巩固练习 拓展思维 练习1 判断 下列式子是不是一 元一次方程,为什 么? (1)957x; (2)63 x; (3) 2
10、 245xx; (4)236y; ( 5)57yx; (6)92a (3)65)40(5 .12xx; (4)40yx,6525 .1yx; (5)914. 336514.3 22 x 找出前三个方程的共同特点:只含有一 个未知数,并且未知数的指数都是1,进而 归纳出一元一次方程的概念 (4)中的两个方程都分别含有两个未知数, 并且未知数的指数都是1,它们都是二元一 次方程 . 第 5 个方程中唯一的未知数的指数是2,它 是一元二次方程 . 得出概念后,请同桌的学生互相举出一元一 次方程的例子,进行辨析. 练习 1 设计的 6 个式子中,有的不是等 式,有的未知数不止一个,有的未知数的指 数不
11、是 1. 念 的 归 纳 和 概 括 的 过程,引导 学 生 深 层 次 地 参 与 到 概 念 的 形 成 过 程 中. 通过 练 习 使 学 生 巩 固 一 元 一 次 方 程的概念, 把 握 住 概 念的本质 . 知识就是力量 7 练习2 列方 程 研 究 古 诗 文 问 题: 隔墙听得客分银, 不 知人 数不 知 银 . 七两分之多四两, 九两分之少半斤 . (注:在古代1 斤 是 16 两,半斤就是 8 两) 练习3 设计 一道以“ 2008 北京 奥运会”为实际背 景的可列出一元一 次方程的应用题, 并进行交流 师生理解古诗文: 有几个客人在房间内分银子,每人分七 两,最后多四两,
12、每人分九两,最后还少八 两,问有几个人?有几两银子? 预案 1学生用x表示人数,然后根据 两种分法总银两数不变,得到方程 8947xx . 预案 2 用x表示总银两数,根据两种 分法人数相同,得到方程 48 79 xx . 然后,教师向学生介绍中国古代数学家 在方程发展过程中所做贡献: 在我国, “方程”一词最早出现于 九章 算术 九章算术全书共分九章,第八章 就叫“方程” 12 世纪前后,我国数学家用“天元术” 来解题,即先要“立天元为某某”, 相当于“设 x为某某” 14 世纪初,我国元朝数学家朱世杰创立 了“四元术”,四元指天、地、人、物,相当 于四个未知数 采用小组合作学习方式,以四人
13、小组为 单位合作设计一个实际问题,然后在全班进 行小组交流 . 设 计 古 诗 文 应 用 题 的 目 的 是 增 加 数 学 课 的 人文色彩, 使 学 生 感 受 数 学 来 源于生活, 应 用 于 生 活 的 文 化 内涵. 通过 介绍,使学 生 对 中 国 古 代 数 学 家 在 方 程 的 发 展 方 面 所 作 贡 献 增 加 了 解. 开放 的问题,可 以 使 学 生 开阔思维, 充 分 发 挥 想 象 力 和 创 造 力 . 小组合作, 组间交流, 还 可 以 培 养 学 生 的 合作意识 . 知识就是力量 8 阶段 归纳小结 布置作业 归纳小结: 布置作业: 教师引导学生从回
14、顾知识和总结方法两 个方面进行课堂小结 (1) 回顾知识 : 方程、一元一次方程的概念 (2) 总结方法 : 分析实际问题中的数量关系, 利用其中的相等关系列出方程,是用数学解 决实际问题的一种方法 . 设未知数列方程 (1) 阅读教材相关内容,然后完成教材第74 页的习题 6、7、8. (2) 选做作业:列方程解决问题 西安市出租车白天的收费标准为:起步 价元(即行驶距离不超过3 千米都需付 元) ,行驶超过 3 千米以后,每增加 1 千米加 收.5 元 (不足 1 千米时按 1 千米计算) 王 明和李红乘坐这种出租车去博物馆参观,下 车时他们交付了15 元车费, 那么他们搭乘出 租车最多走
15、了多少千米(不计等候时间)? 主要 由 学 生 进 行 总 结 和 互相补充, 教 师 只 做 适 当 的 点 拨,以培养 学 生 的 归 纳 概 括 能 力 为了 适 应 学 生 不 同 层 次 的需求,设 计 了 分 层 作业 . 教材 上 的 基 础 题 目 可 进 一 步 巩 固 课 堂 所 学 知识,选做 作 业 则 可 以 发 挥 学 生 学 习 的 自主性 . 教学设计说明 (一)教学目标的确定 本节课的教学目标是从知识与技能、过程与方法、情感与态度三 个方面,根据全日制义务教育数学课程标准中关于“一元一次方 程概念”的教学要求,结合学生的实际情况确定的 实际问题一元一次方程 知
16、识就是力量 9 学生在小学时已经能较为熟练的运用算术方法解决问题,列出的 算式只能用已知数; 而方程是根据问题中的等量关系列出的等式,其 中既含有已知数,又含有用字母表示的未知数通过比较,让学生感 受到方程作为刻画现实世界有效模型的意义,明确列方程的关键就是 根据题意找到“相等关系” ,能用方程来描述和刻画事物间的相等关 系 通过对实际问题的研究, 学生可以初步认识到日常生活中的许多 问题可以用数学方法解决,体验到实际问题“数学化”的过程 (二)教学过程的设计 通过设置“世界杯赛场问题”这一情境来复习方程的概念, 以激发学生的好奇心和主动参与学习的欲望通过比较算术方法和方 程方法的区别,初步体
17、验从算术到方程是数学的进步 设置的例题与练习给学生提供了丰富多彩的、贴近学生生活 实际的问题情境, 以鼓励和培养学生应用数学知识解决实际问题的意 识,并鼓励学生从不同的角度分析问题,根据不同的设法,列出不同 的方程在学习数学知识的同时,还渗透了对学生的人文教育 通过师生共同小结,发挥学生的主体作用,有利于学生巩固 所学知识,培养学生归纳、概括的能力 作业安排是为了让学生更进一步落实课堂教学目标,选做题是为 了满足不同层次学生的需求,为学有余力的学生提供发展空间. 4. 主要采用了启发式讲授的教学方法,以生活中的实际问题为例 来创设情境,引导学生关注国家大事、身边小事、生产实践等.在课 知识就是力量 10 堂上努力营造一种学生自主探究和合作交流的氛围,引导学生去分析 思考和归纳总结,进而达到对知识的“发现”和接受的目的有意识 地给学生创造一个欣赏数学、 探索数学的平台 , 渗透给学生由实际问 题抽象为方程模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想.
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