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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 与圆锥曲线有关的问题 温州中学张良兵 知识就是力量 与圆锥曲线有关的问题 【内容地位】 圆锥曲线是高考的重中之重,高考对圆锥曲线的考查,主要考 查圆锥曲线的的定义、标准方程、几何性质,以及直线与圆锥曲线 的位置关系和求轨迹方程等内容。涉及的数学思想方法主要有数形 结合思想、等价转化思想、分类讨论思想、整体思想,以及配方、 换元、构造、待定系数法等数学方法。以圆锥曲线为载体在知识网 络的交汇点处设计问题也是近几年高考的一大特点。 【设计意图】 04年对圆锥曲线的考查,主要是对基本知识和基本概念的考 查,没有偏题、怪题、注重通性通法,淡化特殊技巧,因
2、此我设计 此课主要通过问题带动学生对基础知识的理解深化,让学生在已有 知识经验的基础上,主动研究,发现规律,形成能力。对课堂问题 不是讲解,而是和学生一起研究、解决。 【基础知识梳理】 问题 1.方程 x y 1 表示什么曲线? 问题 2. 双曲线 x y 1 的焦点是 _和_。(注意和常规下的 双曲线比较同时复习常规下的圆锥曲线方程的形式) 问题 3.曲线 x y 1 为什么表示双曲线?(引导学生回忆圆锥曲线的定 义) 和学生一起探究曲线上的点到两定点的距离差的绝对值是否是常 数。 双曲线的两个焦点为F1(-2,-2)、F2(2,2),设 P),(yx是双曲线 上任一点, 222 1 2 1
3、 2 1 2 1 )2 1 ()2()2 1 ()2( 22 2222 21 x x x x x x x x x x x xPFPF )()( (去绝对值时注意分2 1 x x和2 1 x x两种情况) 问题 4.你能用其它方法说明它是双曲线吗? 和学生一起尝试用双曲线的第二定义来探究。(同时引导学生复习 相关的几何性质) 问题 5.问过双曲线 x y 1 的某个焦点且弦长为22的弦长有几条? 知识就是力量 思考时可以将问题转化为求过双曲线2 22 yx右焦点弦长为22 的弦长有几条? 设直线与双曲线的交点为A、B。 当斜率k存在时,设过右焦点的直线方程为)2(xky,将其与 双曲线2 22
4、yx联立,得)01(0244) 1( 22222 kkxkxk 则 1 ) 12(2 , 1 4 2 2 2 2 k k xx k k xx BABA 。 由弦长公式得 1 ) 1(22 122 2 2 2 k k xxk BA k=0(直观可看出 ) 当 斜 率k不 存 在 时 , 将2x代 入2 22 yx得2y, 22AB。 (过焦点的弦长问题可用第二定义,比弦长公式运算量小,也可由 此推出通径长是交同一支中最短的弦长,讲解此问题时可以适当复 习直线与圆锥曲线的关系) 【例题讲解 】 例题 1. (2004 北京东城 ) 已知椭圆 C的中心在原点,左焦点为F1, 其右焦点 F2和右准线分
5、别是抛物线369 2 xy的顶点和准线。 求椭圆 C的方程; 若点 P为椭圆上 C的点, PF1F2的内切圆的半径为 7 5 ,求点 P 到 x 轴的距离; (此问在原题基础上添加的) 若点 P为椭圆 C上的一个动点,当F1PF2为钝角时求点 P的取 值范围。 ( 此问也可改成求F 1PF2的最大值 ) 设计意图主要复习圆锥曲线的基本知识,待定系数法和定义法等 通性通法的运用。 学生可能出现的问题:学生能够知道抛物线的开口方向,在定位顶 点和准线时易出错,所以在和学生一起解决问题时,在有些易出错 的地方故意出错,来加深学生对问题的理解。 解:抛物线的顶点为 (4,0) ,准线方程为 4 25
6、4 4 9 x, 设椭圆的方程为01 2 2 2 2 ba b y a x , 则有 c=4,又 4 25 2 c a , 9,25 22 ba椭圆的方程为1 925 22 yx 设椭圆内切圆的圆心为Q ,则 5 7 5 2 1 2121 212121 FFPFPFSSSS FQFQPFQPFPFF 知识就是力量 设点 P到 x 轴的距离为 h,则54 2 1 h 2 5 4 10 h。 设点 P的坐标为 (x0,y0) ,由椭圆的第二定义得: 002001 5 4 5, 5 4 5xexaPFxexaPF 由F1PF2为钝角知: 2 21 2 2 2 1 FFPFPF 4 75 4 75 0
7、 x即为所求。(此题也可以用向量的方法解决,也可将 椭圆的方程1 925 22 yx 与圆的方程16 22 yx联立消去y得 4 75 x,让学 生来体会点 P的横坐标的取值范围为什么是 4 75 4 75 0 x?) 例题2. (04 湖北高考与全国高考改编)设双曲线C 的方程为 01 2 2 2 ay a x 若双曲线与直线01:yxl的右支交于不同的两点A、B,求双 曲线离心率 e 的取值范围; 设点 Q),(yx在双曲线 C上第一象限上运动,试求点P),(xy x y 的 轨迹方程 E; 将中轨迹方程E的表达式,写成)(xfy的形式,求其单调 区间。 设计意图通过本例引导学生运用方程思
8、想、函数思想等数学方 法,培养学生分析、解决问题的能力。 学生可能出现的问题:基础知识梳理后让学生解决问题应该很容 易,他们可能在解决时不能理解求P点轨迹方程的实质,求点 P),(xy x y 的轨迹实质上是求点P的横纵坐标满足的关系式,因此设出 点 P的坐标后,找出它和Q的关系,利用代入的方法就很容易解决 了。 解:由双曲线与直线有两个不同的交点知: 方程组 01 1 2 2 2 yx y a x 有两组不同的解,消去y 整理得: 022)1 ( 2222 axaxa解为一正一负, 0 1 2 2 2 a a 10a 双曲线的离心率 2 2 1 1 1 aa a e 2e。 知识就是力量 设
9、 xyn x y m mny m n x 2 2 代入双曲线方程得:0 222 nmanma 即所求轨迹方程为0 222 yxayxa。)0,0(yx 由得 22 2 1xa xa y由0, 0 yx得函数的定义域为) 1 , 0( a , 0 1 222 222 / )(xa xaa y在) 1 , 0( a 上单调递增。 例 3. 已知双曲线的中心在坐标原点, 以坐标轴为对称轴 , 离心率为 2 5 , 且双曲线上动点 P到点(2,0) 的最近距离为 1. 证明 :满足条件的双曲线的焦点不可能在y轴上; 求此双曲线的方程; 设此双曲线的左右焦点分别是F1、F2,Q是双曲线右支上的动 点,过
10、 F1作F1QF2的平分线的垂线,求垂足M的轨迹。 设计意图通过此问题培养学生逻辑推理能力及掌握数学基本方 法如配方法等方法。 学生可能出现的问题:逻辑推理是学生的弱项,相当多的学生在解 决推理问题时说理不清,因果关系不明显,以至于失分较多。对问 题学生能够求出轨迹方程,但不会考虑轨迹的限制条件,不能准 确求出 x的范围。 解:用反证法,设双曲线的实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,则由 2 5 a c ,得 2 1 a b 。若双曲线焦点在y 轴上, 法 1:则其双曲线方程为)0(4 22 xy,求出PA(用表示),然后 利用PA的最小值为 1,推出矛盾。 法 2:焦点在在 y 轴上的双
11、曲线的渐近线为xy2,A 到渐近线的距离 1 5 4 d,不可能。 设双曲线的方程为:)0( 1 4 2 2 2 2 b b y b x ,则 P),(yx到 A 的距离为: ),22,( 5 4 ) 5 8 ( 4 5 )2( 2222 bbxbxyxPA 若 5 8 2b,即当 5 8 x时,1 5 4 5 42 min bPA,不可能。 若 5 8 2b,即当bx2时,PA有最小值122b,解得 2 1 b(舍去) 或 2 3 b,所以所求双曲线为:1 9 4 9 22 yx 。 设 M),(yx,延长 QF2与 F1M 交于点 T,连接 OM。 知识就是力量 MTMFQTQF 11 ,
12、点 Q 是双曲线右支上的动点, aOMaTFaQFQTQFQF22 2221 M 在以 O为圆心,a为半径的圆上。 圆的方程为)3 5 56 (9 22 xyx(注意讲清x的范围 )。 在几何画板上,拖动Q 时,当拖到无穷远处, QM 趋近 于双曲线的渐近线, 向左点 M 的极限位置(不可能达到的位置)是渐近线xy 2 1 与过F1且垂直 xy 2 1 的直线) 2 53 ( 2 xy的交点,联立xy 2 1 和) 2 53 (2 xy得 5 56 x。所以可得x的范围。 例 4.( 解密高考 P164) 椭圆 E的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心 率 e= 3 2 ,过点C(-1 ,0
13、) 的直线l交椭圆于A,B 两点,且满足 )(2BCCA (1)若为常数,试用直线l的斜率 k(k0)表示三角形OAB 的 面积。 (2)若为常数,当三角形OAB 的面积取得最大值时,求椭圆E 的方程。 (3)若变化,且=k 2+1,试问:实数 和直线l的斜率 k (kR),分别为何值时,椭圆E的短半轴长取得最大值? 并求此时的椭圆方程。 设计意图此题在向量的背景下把方程、不等式、函数联系在 一起,能够把前后知识联系起来,能够提高学生综合运用数学知 识和数学思想方法解决问题的能力。 学生可能出现的问题:问题综合性强、运算要求高,学生在解 决问题时不可能一蹴而就。问题是一个双参数问题,学生理不
14、清思路,建立不起来函数关系。 知识就是力量 解:设椭圆方程为:01 2 2 2 2 ba b y a x ,由 3 2 a c e及 222 cba, 得 22 3ba,故椭圆方程为: 222 33byx 直线) 1(xkyl:交椭圆于 A),( 11 yx,B),( 22 yx两点, 由BCCA得),1(), 1( 2211 yxyx 即 21 21 ) 1(1 yy xx 把) 1(xkyl:代入椭圆方程得: 0) 13(0336)13( 22222222 bbkbkxkxk且 13 6 2 2 21 k k xx 13 33 2 2 21 k bk xx 1 2 1 1 2 1 2 1
15、2221 xkyyyS OAB 由知道 ) 13)(1( 2 1 2 2 k x)0( 131 1 2 k k k S OAB )(2 32 1 1 1 1 3 1 1 1 k k SOAB 当且仅当 k k 1 3 时,即 3 3 k时,S取得最大值。 将 3 3 k代入中得 2 2 2 ) 1( 1 3b,故所求为 2 ) 1( 1 3 2 2 22 yx 由联立得1 )13)(1 ( 2 , 1 ) 131 2 2221 k x k x )( 将 21 xx,代入得1 231 2 1 1 3 4 3 22 2 )()()( b 当2时, 2 3b是的减函数, 故当=2 时33 max 3
16、 )( b故椭圆方程为33 22 yx。 【思维能力训练 】 1.(04辽宁高考 ) 已知点 A(-2,0) 、B(3,0 ),动点 P)(yx,满足 2 xPBPA,则 P点的轨迹是() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 2.已知椭圆1 24 22 yx 的弦 AB的中点坐标为 (1,1),则弦 AB的斜 率为() A.2 B. 2 1 C.-2 D. 2 1 知识就是力量 3.设 F是抛物线)0(2 2 ppxy的焦点 ,P 是抛物线上一点 ,FP 的 延长线交 y 轴于 Q,若 P恰好是 FQ的中点, 则PF=( ) A. 3 p B. 3 2p C.p D. 4 3p 4.在平
17、面直角坐标系中 , 若方程 222 )32() 12(yxyyxm表 示的曲线为椭圆 , 则m的取值范围是 ( ) A.10m B.1m C.50m D.5m 5.我国发射的“神州”五号载人飞船的运行轨道是以地球的中 心为一个焦点的椭圆,近地点距地面m千米,远地点距地面n 千米,地球的半径为R千米,则飞船运行轨道的短轴长为() A.2)(RnRm B.)(RnRm C.mn D.2mn 6.已 知 对 称 轴 为 坐 标 轴 的 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 )0,( ,bax a b y,若双曲线上有一点),( 00 yxM,使 00 yaxb, 则双曲线的焦点() A.在 x 轴
18、上 B. 在 y 轴上 C.当ba时在 x 轴上 D. 当ba 时在 y 轴上 7.已知抛物线) 1( 2 xay的准线方程为3x,那么抛物线的焦 点坐标为 _ 。 8.过双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的右焦点)0,(cF的直线交双曲线于M 、N两 点,交 y 轴于 P点,显然NFPNMFPM 21 ,规定: NF PN MF PM 21 ,则有 NF PN MF PM 的定值为 2 2 2 b a ,类比双曲线这 一结论,在椭圆01 2 2 2 2 ba b y a x 中, NF PN MF PM 的定值为 _。 9.已知曲线 3 32 )0, 0( 1 2 2 2 2 eba
19、 b y a x 的离心率,直线l过 A(a, 0)、B(0,b)两点,原点 O到l的距离是. 2 3 求双曲线的方程; 过点 B作直线 m交双曲线于 M 、N两点,若23ONOM, 求直线 m的方程 . 10.抛物线方程)0)(1( 2 pxpy,直线tyx与 x 轴的交点在 抛物线准线的右边 . 求证 : 直线与抛物线总有两个交点; 知识就是力量 设直线与抛物线的交点为A、B,且 OA OB,求p关于t的函数 )(tf的表达式; 在条件下 ,若t变化, 使得原点到直线AB 的距离不大于 2 2 , 求p的取值范围。 11.已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 1 ba b y a x C的一条准线方程是, 4 25 x其 左、右顶点分别是A、B;双曲线1: 2 2 2 2 2 b y a x C的一条渐近线方程 为 3x5y=0. 求椭圆 C1的方程及双曲线C2的离心率; 在第一象限内取双曲线C2上一点 P,连结 AP交椭圆 C1于点 M ,连结 PB并延长交椭圆 C1于点 N,若MPAM. 求证: 0ABMN。
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