k5专题:三角函数的性质及三角恒等变换(叶昭蓉).pdf
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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 三角函数的性质及三角恒等变形 温州中学叶昭蓉 概述:三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆,但研究的方法是采用代数中函数的研 究方法和代数运算的方法,于是使三角函数成了联系几何和代数的桥梁,使它在几何和代数 中都能有所作为。这无疑使三角函数在复数、立体几何和解析几何中有着广泛的应用。 【考点梳理】 一、考试内容 1.角的概念的推广,弧度制。 2.任意角的三角函数、单位圆中的三角函数、同角三角函数的基本关系、正弦、余弦的 诱导公式。 3.两角和与差的正弦、余弦、正切,二倍角的正弦、余弦、正切。 4.正弦函数、余弦函数的图像和性质、周期函数、函数y=
2、Asin( x+)的图像、正切函 数的图像和性质、已知三角函数值求角。 5.余弦定理、正弦定理。利用余弦定理、正弦定理解斜三角形。 二、考试要求 1.理解任意角的概念、弧度制的意义,并能正确地进行弧度和角度的换算。 2.掌握任意角的三角函数的定义,了解余切、正割、余割的定义,掌握同角三角函数的 基本关系,掌握正弦、余弦的诱导公式,了解周期函数和最小正周期的意义,了解奇函数、 偶函数的意义。 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、 正切公式, 掌握二倍角的正弦、余弦、 正切公式。 4.能正确地运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。5.了解正 弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性
3、质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和 函数 y= Asin( x+)的简图,理解A、的物理意义。 6.会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsin ,arccos ,arctanxxx表示。 7.掌握余弦定理、正弦定理,并能初步运用它们解斜三角形。 (2005年考纲删减知识点:“能利用计算器解决三角形的计算问题”) 三、知识网络: 知识就是力量 【命题研究】 分析近五年的全国高考试题,有关三角函数的内容平均每年有25 分,约占 17%,浙江 省 2004 年高考试题这部分内容有17 分,占总分11.3%。试题的内容主要有两方面;其一是 考查三角函数的性质和图象变换;尤其是三角函数的最大值
4、、最小值和周期, 题型多为选择 题和填空题; 其二是考查三角函数式的恒等变形,如利用有关公式求植,解决简单的综合问 题,除了在填空题和选择题中出现外,解答题的中档题也经常出现这方面的内容,是高考命 题的一个常考的基础性的题型。其命题热点是章节内部的三角函数求值问题,命题新趋势是 跨章节的学科综合问题。 数学试题的走势,体现了新课标的理念,突出了对创新能力的考查。 如:福建卷的第17 题设函数,a b f x2cos ,1 ,ax其中向量 cos , 3sin 2bxx ,.xR 113, 3 3 xx 若fx且求; (2)若函数y=2sin2x的图象按向量, 2 m nm c平移后得到函数y=
5、f x的 图象,求实数m 、n的值。此题“重视知识拓宽,开辟新领域”,将三角与向量知识交汇。 高考试题联系现行新教材,如全国(2)卷中的第17 题:已知锐角三角形ABC中, , 5 1 sin, 5 3 sinBABA(1)求证:BAtan2tan; (2)设3AB,求AB边 上的高,就与下列课本习题相接近,课本第一册(下)第四章三角函数的小节与复习例2: 已知 5 1 sin, 3 2 sin,求 tan tan 的值。 【复习策略】 三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分,新教材处理这一部分内容时有明显的降 调倾向,突出 “ 和、差、倍角公式” 的作用,突出正、余弦函数的主体地位,加强了
6、对三角函 数的图象与性质的考查,因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在 课本知识的重现上,要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握,力 求系统化、条理化和网络化,使之形成比较完整的知识体系;第二、三轮复习以基本综合检 测题为载体,综合试题在形式上要贴近高考试题,但不能上难度。当然,这一部分知识最可 能出现的是 “ 结合实际,利用少许的三角变换(尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的 应用)来考查三角函数性质” 的命题,难度以灵活掌握倍角的余弦公式的变式运用为宜。由 于三角解答题是基础题、常规题,属于容易题的范畴,因此,建议三角函数的复习应控制在 课本知识的
7、范围和难度上,这样就能够适应未来高考命题趋势。总之, 三角函数的复习应立 足基础、加强训练、综合应用、提高能力。 解答三角高考题的一般策略: (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。 (2)寻找联系:运用相关三角公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的三角公式,促使差异的转化。 三角函数恒等变形的基本策略: (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin 2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配 知识就是力量 凑角:
8、=( + ) ,= 2 2 等。 (3)降次,即二倍角公式降次。 (4)化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切)。 (5)引入辅助角。asin+bcos= 22 basin(+),这里辅助角所在象限由a、 b 的符号确定,角的值由tan= a b 确定。 第一课时 【典型例题分析与解答】 例 1、化简 sinsincoscoscoscos 2222 1 2 22 分析: 对三角函数式化简的目标是: (1)次数尽可能低; (2)角尽可能少; (3)三角函数名称尽可能统一; (4)项数尽可能少。 观察欲化简的式子发现: (1)次数为2(有降次的可能) ; (2)涉及的角有 、
9、、2 、2, (需要把2化为 ,2化为 ) ; (3)函数名称为正弦、余弦(可以利用平方关系进行名称的统一); (4)共有 3 项(需要减少),由于侧重角度不同,出发点不同, 本题化简方法不止一种。 解法一:(复角单角,从“角”入手) 原式sinsincoscos( cos)( cos) 222222 1 2 21 21 si nsi ncoscos( coscoscoscos) 22222222 1 2 4221 si nsi ncoscoscoscos 222222 1 2 si nsi ncossi ncos 22222 1 2 sincos 2 1 2 1 1 2 1 2 解法二:(从
10、“名”入手,异名化同名) 原式sinsin(sin) coscoscos 2222 1 1 2 22 cossi n(cossi n)coscos 2222 1 2 22 cossi ncoscoscos 22 2 1 2 22 coscos(si ncos ) 22 2 1 2 2 知识就是力量 12 2 2 1 2 12 22cos cossi n(si n) 12 2 1 2 2 1 2 cos cos 解法三:(从“幂”入手,利用降幂公式先降次) 原式 12 2 12 2 12 2 12 2 1 2 22 coscoscoscos coscos 1 4 12222 1 4 12222(
11、coscoscoscos )(coscoscoscos ) 2c o s2c o s 2 11 4 1 4 1 2 解法四:(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方) 原式(sinsincoscos )sinsincoscoscoscos 2 2 1 2 22 2c o s2c o s 2 1 2si n2si n 2 1 )(c o s 2 cos()cos() 2 1 2 22 1)(cos2 2 1 )(cos 221 2 注在对三角式作变形时,以上四种方法,提供了四种变形的角度,这也是研究其他三角 问题时经常要用的变形手法。 例 2、已知函数( )sincos ()f xabxcx
12、xR的图像过点(01)(1) 2 AB,且 b0,又 ( )f x的最大值为2 2 1,(1)求函数( )f x的解析式; (2)由函数 y=( )f x图像经过平移是 否能得到一个奇函数y=( )g x的图像?若能,请写出平移的过程;若不能,请说明理由。 解 : (1) 22 ( )sincossin()(tan) c f xabxcxabcx b , 由 题 意 , 可 得 22 1 1 2 21 ac ab abc ,解得 1 2 2 a b c ,所以( )12sin2cosf xxx; (2) ( )1 2sin2cos2 2sin() 1 4 f xxxx, 将( )f x的图像向
13、上平移1 个单位得 到函数2 2sin() 4 yx的图像,再向右平移 4 单位得到2 2sinyx的图像,故将 ( )f x的图像先向上平移1 个单位,再向右平移 4 单位就可以得到奇函数y=( )g x的图像。 注 本题考查的是三角函数的图象和性质等基础知识,其是高考命题的重点内容,应于以 重视。 知识就是力量 t 1 2 f(t) O 1 t 例 3、为使方程0sincos 2 axx在 2 ,0 内有解,则a的取值范围是() AaBa1111 CaD a10 5 4 分析一: 由方程形式,可把该方程采取换元法,转化为二次函数:设sinx=t ,则原方程 化 为0=1-a-t+t 2 ,
14、 且10t, 于 是 问 题 转 化 为 : 若 关 于t的 一 元 二 次 方 程 01 2 att在区间10,上有解,求a的取值范围,解法如下: 设由已知条件f ttta( ) 2 1 有 f f a a a ( ) ( ) 00 10 10 10 11 aaB的取值范围为,故选( )11 分析二: 2 0sincos0sincos 22 ,得由方程xxxaaxx 于是问题转化为:求函数在,上的值域,axxcossin 2 0 2 解法如下: axxxxxcossi nsi nsi n( si n) 222 1 1 2 5 4 x0 2 , sinx01, ,从而 当时, 无限逼近;sin
15、xa01 当时, 取最大值sinxa11 aaB的取值范围为,故选( )11 注换元法或方程思想也是高考考查的重点,尤其是计算型试题。 思维能力训练: 1、函数yxsin()2 5 2 的图象的一条对称轴方程是() A. x 2 B. x 4 C. x 8 D. x 5 4 知识就是力量 2、下列函数中,以 2 为周期的函数是() A. 1cos2 2 xy B. 32 1 tanxy C. yxxsincos22 D. yxxsincos22 3、已知是第三象限的角,若sincossin 44 5 9 2,则等于() A. 2 2 3 B. 2 2 3 C. 4 3 D. 2 3 4、已知3
16、sin 2 3 f xx ,则以下选项正确的是() A.312fffB. 123fff C. 321fffD. 132fff 5、函数0cossinxxxf以 2 为最小正周期, 且能在 x=2 时取得最大值, 则 的一个值是() A、 4 3 B、 4 5 C、 4 7 D、 2 6、如图,半径为2 的 M 切直线 AB 于 O 点,射线OC 从 OA 出发绕着O 点顺时针方向旋转到OB。旋转过程中, OC 交 M 于 P,记 PMO 为 x,弓形 PnO 的面积为xfS, 那么xf的图象是() A、B、C、D、 知识就是力量 7、已知,且,则的值为sincoscossin 1 842 。
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