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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 南京高三函数数列第二轮专题复习 第一课时 1、 设数列 an 是公差不为零的等差数列,Sn是数列 an的前 n 项和,且 2 3 S9S2, S44S2,求数列的通项公式 2、已知数列 n a的前n项和 n S满足1,)1(2naS n nn (1)写出数列 n a的前三项 321 ,aaa; (2)求证数列 n n a)1( 3 2 为等比数列,并求出 na 的通项公式 3、 已 知 公 差 大 于 零 的 等 差 数 列 n a的 前n项 和 为 n S, 且 满 足 : .22,117 5243 aaaa ()求通项 n a; ()若数列
2、n b是等差数列,且 cn S b n n ,求非零常数c; 4、数列 an的前 n 项和记为Sn,已知 a1=1,an+1= n n2 Sn(n=1,2,3,) 证明: (i)数列 n Sn 是等比数列; (ii) Sn+1=4an. 知识就是力量 答案: 1、设数列 n a的公差为d 由题意得: )2(464 )2(9)33( 11 1 2 1 dada dada 0 0 1 d a 或 9 8 9 4 1 d a 因为0d所以 9 8 , 9 4 1 da 9 4 9 8 nan 2、 ( 1)在1,)1(2naS n nn 中分别令3 ,2, 1n得: 12 12 12 3321 22
3、1 11 aaaa aaa aa 解得: 2 0 1 3 2 1 a a a (2)由1,)1(2naS n nn 得:2,)1(2 1 11naS n nn 两式相减得:2,)1(2)1(2 1 1 naaa n n n nn 即:2,)1(22 1 naa n nn nn n nn nn aaa) 1( 3 2 ) 1( 3 4 2) 1( 3 2 )1( 3 4 2 1 11 )2)()1( 3 2 (2)1( 3 21 1 naa n n n n 故数列 n n a) 1( 3 2 是以 3 1 3 2 1 a为首项,公比为2 的等比数列 所以 1 2 3 1 ) 1( 3 2nn n
4、 a nn n a)1( 3 2 2 3 11 3、 ( 1)设数列 n a的公差为d 知识就是力量 由题意得: 2252 117)3)(2( 1 11 da dada 4 1 1 d a 或 4 21 1 d a (舍去) 所以:34na n (2)nn nn Sn 2 2 2 )341 ( 由于 cn Sn 是一等差数列故ban cn Sn 对一切自然数n都成立 即:bcnbacanbancnnn)()(2 22 0 1 2 bc bac a 2 1 0 2 c b a 或 0 1 2 c b a (舍去) 所以 2 1 c 4、 ( 1)由 nn S n n a 2 1 得: nnn S
5、 n n SS 2 1 即 nn S n n S 22 1 所以 n S n Snn 1 1 所以数列 n Sn 是以 1 为首项 ,公比为 2 的等比数列 (2)由( 1)得 1 2 nn n S 1 2 n n nS n n nS2)1( 1 所以 2 2 1 2)1( )2(2)1( )1(1 )2( )1(1 n n nn n n nn n nSS n a 所以 nn aS4 1 知识就是力量 第二课时 1、已知等差数列an ,公差大于 0,且 a2、a5是方程 x212x+27=0 的两个根,数 列 bn的前 n 项和为 Tn,且 Tn=1 n b 2 1 (1)求数列 an 、 b
6、n的通项公式; (2)记 cn= an bn,求证: nn cc 1 2、设 n a是由正数组成的无穷数列,Sn是它的前 n 项之和,对任意自然数 n an,与 2 的等差中项等于Sn与 2 的等比中项 . (1)写出 321 ,aaa; ( 2)求数列的通项公式(要有推论过程); 2、 已知数列 n a成等差数列, n S表示它的前n项和,且6 531 aaa, 12 4 S. 求数列 n a的通项公式 n a; 数列 nnS a中,从第几项开始(含此项 )以后各项均为负数? 4、设数列 an和bn 满足 a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且数列 an+1an (nN*)
7、是 等差数列,数列 bn2( nN*)是等比数列 . ()求数列 an和 bn的通项公式; ()是否存在kN*,使 akbk( 0, 2 1 )?若存在,求出k;若不存在,说 明理由 . 知识就是力量 答案: 1、 (1)设 n a的公差为d 由题意得: 0 27 12 52 52 d aa aa 即: 0 27)4)( 1252 11 1 d dada da 解得: 2 11 d a 所以:12nan 由 nn bT 2 1 1得: 11 2 1 1 nn bT 两式相减:) 2 1 1() 2 1 1 ( 1nnn bbb即: 1 3 1 nn bb 所以 n b是 3 1 以为公比b为首
8、项的等比数列 在 nn bT 2 1 1中令1n得: 11 2 1 1bb所以 3 2 1 b 所以 1 3 1 3 2 n n b (2) 1 ) 3 1 ( 3 2 )12( n nnn nbac 所以:) 1() 3 1 ( 9 8 ) 3 1 ( 3 2 )12() 3 1 ( 3 2 )12( 11 1 nnncc nnn nn 因为了1n所以 nn cc 1 知识就是力量 2、 (1)由题意得: 0 2 2 2 n n n a S a 令3, 2, 1n得: 0,0,0 )(2 2 2 )(2 2 2 2 2 2 321 321 3 21 2 1 1 aaa aaa a aa a
9、a a 解得:10,6,2 321 aaa (2)将 n n S a 2 2 2 两边平方得: nn Sa8)2( 2 用1n代替n得: 1 2 1 8)2( nn Sa 两式相减得: nnn aaa8)2()2( 2 1 2 即:0)2()2( 2 1 2 nn aa 即:0)4)( 11nnnn aaaa由于0 n a所以4 1nn aa 所以 n a是以 2为首项公差为4 的等差数列 所以24nan 3、 ( 1)设数列 n a的公差为d,由题意得: 1264 663 1 1 da da 解得: 2 6 1 d a 所以:82nan )7( 2 )286( nn nn Sn (2)令 n
10、nn Sab所以nnnbn)7)(82( 解不等式0)7)(82(nnn得:47nn或 所以数列从第8 项开始(含此项)以后各项均为负数 4、 ( 1)由题意得:)()()1()(1223121aaaanaaaann =3)1(2nn 知识就是力量 所以 )4()5()4( 21 nnanaa nnn 9 2 7 2 1 2 )4()2() 1( 6 )4()5(0)1()2(6 )4()5(0)1()2( 2 1 nn nn nn nna (2n) 上式对1n也成立 所以9 2 7 2 1 2 nnan 311 1 2 1 ) 2 1 () 4 2 (4) 2 2 )(2(2 nnn n b
11、 b bb 所以 3 ) 2 1 (2 n n b (2) 32 3 2 ) 2 1 (7 2 7 2 1 2 1 29 2 7 2 1k k kkk kkkkbac 当3 ,2, 1k时0 k c 当4k时 2 1 ) 2 1 ( 4 7 ) 2 7 4( 2 1 ) 2 1 ( 4 7 ) 2 7 ( 2 1 34232k k kc 故不存在正整数 k使 2 1 ,0 kk ba 知识就是力量 第三课时 1、设等差数列 n a的前 n 项和为 n S;设 1 4a,问 2 3 nn n SS S 是否可能为一与n 无关的常数?若不存在,说明理由若存在,求出所有这样的数列的通项公式 2、已知
12、等比数列 n a及等差数列 n b,其中0 1 b,公差0d,将这两个数列 对应项相加得到一个新的数列1,1,2, ,求这个新数列的前10 项之和 3、设 Sn为等差数列 an的前 n 项和 .(nN * ) ()若数列 an单调递增,且 a2是 a1、 a5的等比中项, 证明:.2 12nnn SSS ()设 an的首项为 a1,公差为 d,且)0( 2 3 1 dda,问是否存在正常数c,使 cScScS nnn12 2对任意自然数n 都成立,若存在,求出 c(用 d表示 ); 若不存在,说明理由. 知识就是力量 4、已知数列 n c,其中 nn n c32,且数列 nn pcc 1 为等
13、比数列,求常 数p 设 n a, n b是公比不相等的两个等比数列, nnn bac,证明数列 n c不 是等比数列 答案: 1、设等差数列 n a的公差为d,并假设存在d使 n nn S SS 3 2 是与n无关的常数k 令k S SS n nn 3 2 所以 d nn nakd nn nad nn na 2 )13(3 3 2 )1( 2 )12(2 2 111 恒成立 化简得:0 2 1 ) 2 1 (3) 2 3 2 9 ( 11 2 ndadaknkd对一切自然数n恒成立 所以 0 2 1 4) 2 1 4(3 0 2 3 2 9 ddk kd 即 1824 3 1 dk kd 解得
14、:739d解得: )739(3 1 k 故存在等差数列 n a使是一与n无关的常数 )1)(739(4nan 知识就是力量 2、设等比数列 n a的公比为q 由题意得: 2)2( 1)( 1 0 1 2 1 11 11 1 dbqa dbqa ba b 解得: 1 2 1 0 )( 0 1 1 0 1 1 1 1 d q a b q d a b 或舍去 所以1,2 1 nba n n n 所以新数列的前10 项的和为978 2 )90(10 12 12 10 10 S 3、 ( 1)设等差数列 n a的公差为d 由题意得: 0 51 2 2 d aaa 即: 0 )4()( 11 2 1 d
15、daada 解得: 1 2ad 所以 111 2)1(anadnaan 1 2a nSn 所以 1 22 11 2 1 2 2)1(4)2()2()(anananSSSnnn 0) 1(4)1(4 1 2 1 2 anan 所以 12 2 nnn SSS (2)假设存在正常数c使得cScScS nnn12 2恒成立 dndnd nn ndd nn naSn 2 1 2 1 2 )1( 2 3 2 )1( 令1n,则有cScScS 2312恒成立 即:042) 2 15 2 3 ( 2 2 cdcdcd 化简得:cdcdcd 2 15 2 3 227 知识就是力量 两边平方化简得:dc 2 1
16、以下证明当dc 2 1 时,cScScSnnn122恒成立 0 2 22 2 3 2 1 2 1 11 2 1 2 2 1 22 2 1 2 1 2 1 2 222 12 d n d n d n dndnddndndddndn cScScS nnn 故存在正常数dc 2 1 使cScScS nnn12 2恒成立 4、 ( 1)由题意得:q pcc pcc nn nn 1 1 恒成立对一切正整数n恒成立( q为常数) 即: 1111 3232)32(32 nnnnnnnn pqp 化简得:033932242 11 pqqppqqp nn 对一切正整数恒成立 所以: 0339 0224 pqqp
17、pqqp 解得: 3 2 q p 或 2 3 q p 所以:2p或3p (2)设数列, n a n b的公比分别为 1 q与 2 q, 21 qq 并假设数列, n c是等比数列,其公比为q 则有: nnnnbaqba11 即: 1 21 1 112111 nnnn qqbqqaqbqa 化简得:0 1 221 1 111 nn qqqbqqqa 即0 21 1 2 1 11 qqb q q qqa n 对一切正整数n恒成立 知识就是力量 所以: 0)( 0)( 21 11 qqb qqa 即:qqq 21 这与 21 qq互相矛盾 故, n c不是等比数列 函数专题 第一课时 1、 设函数.
18、10,|)(为常数其中aaxaxxf (1)解不等式f(x)0; (2)试推断函数f(x)是否存在最小值?若存在,求出其最小值;若不存在,说明理 由. 2、已知函数,4)( 2 bxaxxf(a0,,a bR,设关于 x 的方程0)(xf的 两根为 21, x x,xxf)(的两实根为、 ( 1)若1|,求 a, b 关系式 ( 2)若 a,b 均为负整数,且1|,求)(xf解析式 ( 3)若12,求证:) 1)(1( 21 xx7 ) 知识就是力量 3、已知函数xbxaxxf3)( 23 在1x处取得极值 (I)讨论)1 (f和) 1(f是函数)(xf的极大值还是极小值; (II) 过点)1
19、6, 0(A作曲线)(xfy的切线,求此切线方程 4、已知)(xf是定义在),(上且以 2 为周期的函数, 当2,0x时,其解析式 为1)(xxf (1)作出)(xf在),(上的图象; (2)写出)(xf在2 ,22()kkkZ上的解析式,并证明)(xf是偶函数 答案: 1、 ( 1)由0)(xf得:)10(0aaxax 该不等式等价于: 0)1(axa ax 或 0)1(axa ax 等价于: a a x ax 1 或 a a x ax 1 即: a a xa 1 或ax a a 1 所以不等式的解集是: a a x a a x 11 (2) axaxa axaxa xf 当 当 )1( )
20、1 ( )( 因为10a,所以当 ax 时,)(xf为增函数;当 ax 时,)(xf为减函数 所以当ax时, 2 min )(axf 知识就是力量 2、 ( 1)xxf)(即03 2 bxax 由题意得: 1 3 a b a 消去,得:94 2 aba (2)由于ba,都是负整数,故ba4也是负整数,且54ba 由94 2 aba得:9)4(baa 所以94, 1baa所以2, 1 ba 所以24)( 2 xxxf (3)令bxaxxg3)( 2 ,则21的充要条件为: 0)2( 0)1 ( g g 即: 064)2( 03)1 ( bag bag 又 a b xx a xx 21 21 4
21、所以 a gg a ba aa b xxxxxx )2( 3 7 )1 ( 3 10 46 6 4 6)(7)1)(1( 212121 因为0,0)2(,0) 1(agg所以07)1)(1( 21 xx 即:7) 1)(1( 21 xx 3、 ( 1)323)( 2 bxaxxf由于)(xf在1x处取得极值 知识就是力量 所以: 0)1( 0)1( f f 即: 0323 0323 ba ba 解得: 0 1 b a 所以:xxxf3)( 3 33)( 3 xxf 当11xx或时,0)( xf,此时)(xf为增函数; 当 11x 时,0)( xf,此时)(xf为减函数 所以)1(f是极小值,)
22、1(f是极大值 (2)设切点为 0 3 00 3,xxxB 由题意得:33 1632 0 0 0 3 0 x x xx 解得:2 0 x 所以切线的斜率为9)( 0 xfk 所以过点( 0,16)的切线方程为:169xy 4、 ( 1)略 (2)当22,2kkx时,有2,02kx,因为 2 为函数的周期, 所以:12)2()(kxkxfxf 对于,内的任一x,必定存在整数k,使得:22,2kkx 此时2,022,2,22kxkkx,又因为2 为函数的周期 所以:)(12122)22()(xfkxkxkxfxf 所以:)(xf是偶函数 知识就是力量 第二课时 1、设 f(x)=ax 2+bx+c
23、(abc),f(1)=0,g(x)=ax+b. ( 1)求证:函数y=f(x)与 y=g(x)的图象有两个交点; ( 2)设 f(x)与 g(x)的图象交点A、B 在 x 轴上的射影为A1、B1,求 A1B1的 取值范围; ( 3)求证:当x 3时,恒有f(x)g(x). 2、已知函数 xa ax xf 1 )()(Ra (1)证明函数)(xfy的图象关于点(a, 1)成中心对称图形; (2)当1ax,2a时,求证:2)(xf, 2 ; 知识就是力量 3、已知函数 2 0, ( )() , 1, xa xa f xaxb ab xb 当时, 当时, 当时. ()证明:对任意 2 ab x ,都
24、有 1 4 fx ; ()是否存在实数c,使之满足 2 ab fc ?若存在,求出它的取值范围; 若不存在,请说明理由 4、 知函数)0( 1 )( 2 x x x xf a)求函数)(xf的反函数)( 1 xf ; b)若2x时, 不等式)()()1( 1 xaaxfx 恒成立,试求实数a的范围 答案: 1、( 1)由题意得: cba cba0 所以0,0 ca 化简方程:baxcbxax 2 得:0)( 2 bcxabax acabbcaab4)()(4)( 22 因为0, 0 ca 所以0 所以:函数)(xfy与)(xgy的图象有两个不同的交点 (2)设方程0)( 2 bcxabax的两
25、根为 21,x x, 则: a cb xx a ba xx 2121 , 所以: a acab xxBA 4)( 2 2111 由于)(cab 所以: 知识就是力量 42 4 444)( 2 2 2 222 2111 a c a c a c a acc a acc a acab xxBA 将)(cab代入cba得: cca caa )( )( 解得: 2 1 2 a c 所以:32 2 3 11B A 2、(1)函数)(xfy的图象关于点) 1,(a对称的充分必要条件为: 2)()(xafxaf 由于 2 11 )( 1)( )( 1)( )()( x x x x xaa axa xaa ax
26、a xafxaf 所以:函数)(xfy的图象关于点)1,(a对称 (2)易证明)(xfy在2, 1 aa上为增函数 所以)2()()1(afxfaf 即: 2 3 )(2xf 3、 (1)因为b ba a 2 所以当bx时, 4 1 1)(xf 当bx ba 2 时,)(xfy为增函数 所以 4 1 ) 2 ()( ba fxf (2)易求得函数的值域为1 , 0 所以当0ba时,对一切实数 c,都有 2 )( ba xf 当2ba 时,对bc一切实数 c,都有 2 )( ba xf 当2ba时,不存在实数 c,使 2 )( ba xf成立 知识就是力量 当20ba时,解不等式组: bxa b
27、a ba ax 2 2 得: 当ab3时,bx ba ab 2 )( 当ab3 ,无解 下结论略 4、( 1)因为0x,所以:1 1 x x 由 2 1 x x y得:y x x1 解得: 1 1 y x 所以函数)(xf的反函数是)1( 1 1 )( 1 x x xf (1)不等式)()()1( 1 xaaxfx 恒成立 即)1)( 1 1 )1(xxaa x x恒成立 即:) 1)() 1(xxaax恒成立 即:)1(0)1()1( 2 xaax恒成立 所以:0)1()1( 2 aa 解得:21a 第三课时 1、已知函数babxaxxf,( 1)( 2 为实数),xR, )0)( )0)(
28、 )( xxf xxf xF (1)若 f (1) = 0,且函数( )f x的值域为0, ,求)(xF表达式; (2)在( 1)的条件下,当kxxfxgx)()(,2,2时是单调函数,求实数k 的 取值范围; 2、 设 f(x)=x 3+3x2+px, g(x)=x3+qx2+r, 且 y=f( x)与 y=g(x)的图象关于点 (0, 1) 对称 (I) 知识就是力量 求 p、q、r 的值; ( II)若函数g(x)在区间 (0,m)上递减,求m 的取值范围; ( III )若函数g(x)在区间n,上的最大值为2,求 n 的取值范围 3、已知二次函数 2 10,fxaxbxabR,设方程f
29、xx有两个实 数根 12 ,x x 如果 12 24xx,设函数fx的对称轴为 0 xx,求证: 0 1x; 如果 1 02x,且fxx的两实根的差为2,求实数b的取值范围 4、某商品在近30 天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系是: 2 0( 02 5 , 1 0 0 ( 2 53 0 ,) ttt P ttt N N 该商品日销售量Q(件)与时间t(天)的 函数关系式是:40(030,)QtttN,求这种商品的日销售额的最大值. 答案: 1、 ( 1)由题意得: 1 2 01 a b ba 解得: 2 1 b a 所以: )0(12 )0( 12 )( 2 2 xxx xxx
30、 xF (2)1)2()( 2 xkxxg 知识就是力量 当2,2x时,)(xg是单调函数的充要条件是: 2 2 2 2 2 2kk 或解得 : 26kk或 2、 ( 1)pxxxxf 23 3)(关于点( 0,1)对称的函数为:23 23 pxxxy 所以:2,3, 0rqp (2)23)( 23 xxxgxxxg63)( 2 所以:当 063)( 2 xxxg即:02xx或时,)(xg是增函数 当 063)( 2 xxxg即:20x时,)(xg是减函数 所以当)(xg在( 0,m)上是减函数的充要条件为:2m (3)由( 2)得:当30xx或时,2)(xf 所以:n的取值范围是30n 3、
31、 ( 1)xxf)(即为:1) 1()( 2 xbaxxg 它的两根满足42 21 xx的充要条件是: 03416)4( 0124)2( 4 2 1 bag bag b 又 a b x 2 0 ,所以: a gg a ba x 8 )2()4( 2 2 1 0 因为:0)4(,0)2(, 0gga,所以:01 0 x,即:1 0 x (2)由题意得: 2 4) 1( 0)2()0( 2 a ab gg 即: )0( 44) 1( 0124 22 a aab ba 消去a得:bb231)1(2 2 ,此不等式等价于: 22 23114 023 bb b 知识就是力量 解得: 4 1 b 4、 售额 Z=PQ= ),3025)(40)(100( ),250)(40)(20( Ntttt Ntttt = ),3025(4000140 ),250(80020 2 2 Ntttt Ntttt 当250t时,此时当900,10 max Zt 当3025t时, Z 为减函数,此时当1125,25 max Zt 所以:当 1125,25 max Zt
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