k5利用几何画板探索轨迹的教学.pdf
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1、知识就是力量 1 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 利用几何画板探索轨迹的教学 研究性学习一得 湖北省通山县第一中学李雪松 研究性学习是指学生在教师的指导下,从学生生活和社会经验中,选择和确定研究专题, 仿照科学研究的方法和过程,主动地获取知识,并应用知识来解决问题的学习活动。研究性 学习围绕一个主题或问题,以小组学习为主要形式,学生自主进行的探索性、实践性、开放 性课程。 研究性学习是以问题的解决为主要形式的学习活动,问题是它的重要载体,整个学 习活动以问题的自然形成序列。研究性学习更强调实践,注重体验,关注结果。其特点是内 容强调开放性、学习强调主体性、注重学生之间合作学习、讲求体验式、活
2、动化。 下面通过对一个数学问题的探索,谈谈我的一点体会。 教师: 求曲线的方程、 通过方程研究曲线的性质是解析几何的两大主要问题。今天与同 学们讨论一个问题:怎样探索点的轨迹。 问题是数学的心脏,思维从问题开始。我们先看一个具体的例子: 如图 1,过椭圆1 2 2 2 2 b y a x (0ba)的左焦点F1作弦 AB 。现在来研究焦点弦 AB 有关 的问题。 轨迹 1过原点 O 作弦 AB 的垂线,垂足为M,求点 M 的轨迹方程。 图 1 图 2 几何画板演示:拖动主动点A 在椭圆上转动或制作点A 在椭圆上运动的动画按钮,跟 踪点 M,得到点M 的轨迹是一个小圆。如图2 “怎样求出这个小圆
3、的方程?” 学生:按一般思路,假设弦AB 所在直线的斜率为k,则 AB 的垂线的斜率为 k 1 ,列 出这两条直线的方程,联立这两个方程解出交点(即垂足 )M 的坐标, 最后消去参数k 就得到 点 M 的轨迹方程。哇!好复杂。 学生们埋头进行着复杂的运算。其中一个学生望着投影大屏幕,既不动手,也不说话。 教师: “你为什么不动手做?” 学生: “我在想 , 这个轨迹是一个圆,而且是以OF1为直径的圆,是不是有什么简单 的方法做出来。噢,我知道了。一般的解题思路很容易想出来,但运算也很复杂。我有一个 很好也很简单的方法: 因为 OM AB ,所以 |OM| 2 +|F1M| 2 = |OF1|
4、2,若设点 M 的坐标为 (x ,y),点 F1的坐标 知识就是力量 2 为(c,0),则 x 2 + y2 + (xc)2 + y2 = c2,即222 ) 2 () 2 ( c y c x。这就是所求的轨迹方程。” “啊!这么简单?”同学们都惊讶起来。 马上又有一个学生说: “大家都被椭圆这个外表给迷惑住了。其实这个问题只与原点和 点 F1 的坐标有关,而与椭圆的弦无任何联系。就是给定两点O 与 F1,过这两点作两条互 相垂直的直线,求交点的轨迹方程。这当然很容易解得。 ” 教师: “很好。刚才同学们讨论得很不错。在探求点的轨迹时,一定要注意设法找出动 点所满足的几何条件,寻找动点与不动点
5、之间的几何关系。平面几何的有关结论对求点的轨 迹很有用处。下面我们将问题改变一下: 轨迹 2如图 3,求弦 AB 中点 P 的轨迹方程。” “猜猜看,点P的轨迹是什么?” 不少学生已经利用几何画板演示了出来: 几何画板演示:拖动主动点A,得到点P 的轨迹是 一个小椭圆,并且这个小椭圆的长轴是线段OF1即 半焦距 2 c 。如图 4。 “真是椭圆。 ”学生的兴趣被调动起来。 “怎样求这个小椭圆的方程?” 教师在下面观察学生的解法,却发现不少学生图 3 对这类问题无从下手。 教师: “根据求轨迹方程的一般步骤,求哪一点的轨迹方程,就应该假设该点的坐标为 (x,y),因此先设P 点坐标为 (x,y)
6、。要建立点P 的坐标 (x,y)满足的方程,观察图形,这 里有四个点A(x1,y1)、B(x2,y2)、P、F1,其中点F1是定点, A、 B、P 都是动点,但点A 是主动点,引起点P运动的原因是由于点A 在椭圆上运动。因此要找到点P 与 A、B、F 这 三个点的坐标之间的关系。这是解决问题的关键。” “点 P 与 A、 B 两点的坐标的关系怎样?” 学生: “根据中点坐标公式得到 2 21 xx x, 2 21 yy y。 ” “如何将 A、B、P、F1这四点的坐标联系起来?” “利用直线的斜率。 ” “直线 AB 的斜率怎样表示?” “有 21 21 xx yy k,还有 cx y k。
7、” “如何得到 21 21 xx yy ?” “, ” “A、B 两点在哪?满足什么方程?”图 4 “在椭圆上。满足 222 1 22 1 2 bayaxb, 222 2 22 2 2 bayaxb。 ” “知道怎样求 21 21 xx yy 了吗?” 学生很快得到下列解法(经过整理 ): 知识就是力量 3 设 A(x 1,y1),B(x2,y2), P(x,y), 22 bac,则 2 21 xx x, 2 21 yy y, 因为点 A、B 都在椭圆上,则 222 1 22 1 2 bayaxb, 222 2 22 2 2 bayaxb, 两式相减得0)()( 2121 2 2121 2 y
8、yyyaxxxxb, 于是有 cx y k ya xb yy xx a b xx yy 2 2 21 21 2 2 21 21 , 化简得1 ) 2 () 2 ( ) 2 ( 2 2 2 2 a bc y c c x ,此即为所求的轨迹方程。 教师: “以上解法是很典型的。这里设点A、B 的坐标,但并不需要求出,只是利用A、 B 的坐标进行过渡。这是解析几何中常用的一种求轨迹方法设而不求。寻找动点之间的 关系是求轨迹问题的关键。还有其它解法没有?” 一学生:“因为直线AB 经过点 F1,可以设直线AB 的方程为y=k(x+c) ,与椭圆方程联 立解方程组得出A、 B 两点的坐标 , ” 另一学
9、生:“不必解出A、B 的坐标,将直线AB 的方程为y=k(x+c) 代入椭圆方程得到 的一元二次方程的两根就是点A、 B 的横坐标x1, x2, 正好可以利用韦达定理得到 2 21 xx x, 2 21 yy y,将点 A、B 的横坐标都表示为直线AB 的斜率 k 的函数,消去参数k 就行了。” 教师: “很好。请同学们将解法写出来。” 以下是学生的另一种解法(经整理 ): 解法二:假设直线AB的斜率为k,则直线AB 的方程为y=k(x+c) ,代入椭圆方程 1 2 2 2 2 b y a x 得02)( 22222222222 bakcaxckaxkab 设 A(x 1,y1),B(x2,y
10、2), P(x,y),则 222 22 21 2kab ckaxx x, )2 2 ( 2 )2( 2 1 2 )()( 2 222 22 21 2121 c kab ckak cxxk cxkcxkyy y = 222 2 kab ckb ,由得 ya xb k 2 2 ,代入 y=k(x+c) 得)( 2 2 cx ya xb y, 整理得1 ) 2 () 2 ( ) 2 ( 2 2 2 2 a bc y c c x ,即为所求的方程。 学生: “我改变原椭圆的长轴或短轴的长,所求轨迹的形状也随着改变了,但这两个椭 圆的形状仍然十分相似,也不知有没有必然的联系?” 学生: “ 2 ) 2
11、( c 与 2 ) 2 ( a bc 的比例正好等于 22 :ba,哇!我发现这两个椭圆的离心率是一 知识就是力量 4 样的!因此它们的形状相同。” 教师: “很好。 看来大家已经掌握了求轨迹的关键寻找被动点与主动点之间的关系。 刚才所探索的都是弦AB 上特殊点的轨迹。 同学们能否利用几何画板探索其它点的轨迹?请 大家根据这个椭圆及弦AB ,自行发现问题,提出问题和解决问题。” 学生们立即投入到探索中。 一位学生: 轨迹 3“在弦 AB 上任意取一点Q,跟踪点Q,动画 , 哇!怎么点Q 的轨迹是这 样的?” 不少学生也发现了同样的问题。教师将这位学生计算机上的画面切换到大屏幕,几何画 板演示:
12、在弦AB 上任取一点Q,跟踪点Q,拖动主动点A,取到如下几何图形(如图 57 所示 ): 图 5 图 6 图 7 “呀!这是什么图形?” “怎么会有这样的图形?” “自学习解析几何以来还从没见过这样的图形。” “该给这个轨迹起个什么名字呢?” 学生们发出惊叹。 拖动点 Q,发现点 Q 的轨迹也发生变化。当点Q 接近中点P 时,点 Q 的轨迹图形接近 于中点 P 的轨迹小椭圆(如图 6),而当点Q 接近于点A 或 B 时,轨迹图形就接近于大 椭圆 (如图 7)。 轨迹 4 “老师,我发现,如果将弦AB 的两端 A、B 分别与椭圆长轴两个端点A1、 A2连起来, 则这两条直线 A2A 与 A1B
13、的交点 C 好象在椭圆的准线上。 ”另一个学生叫起来。 “老师,点Q 的轨迹不是我们所熟悉的圆、椭圆、双曲线或抛物线,其轨迹方程一定 很复杂。点C 的轨迹这么简单,那么应该可以求出其方程吧。” 教师: “试试看吧。 ” 采取常规方法“交轨法”求解: 设直线 AA 2、 BA1的方程分别为 y = k1(xa), y = k2(x+a), 将 AA 2的方程代入椭圆方程整理得 02)( 222 1 42 1 3222 1 2 bakaxkaxbka, 此方程的两根是A、A2 的横坐标 x1与 a, 故可求得 A(x 1,y1)点坐标为 ) 2 ,( 22 1 2 1 2 22 1 2 22 1
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