k5导数及其应用(叶乐琴).pdf
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1、知识就是力量 1 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 导 数 及 其 应 用 乐清中学叶乐琴 【知能目标】 1.了解导数概念的某些实际背景 (如瞬时速度, 加速度、光滑曲线切线的斜率等) ; 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导数的概念。 2、熟记基本导数公式: x m(m 为有理数 )、sinx、cosx、ex、ax、lnx、log ax 的导数; 掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数 的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要 条件和充分条件 (导数在极值点两侧异号 ); 会求一些实际问题 (一般指
2、单峰函数 )的最大 值和最小值。 【综合脉络】 1.知识网络 2.考点综述 有关导数的内容,在 2000年开始的新课程试卷命题时, 其考试要求都是很基本的, 以后逐渐加深,考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算,力求结合应用问题, 不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。本部分的要求一般有三个层次:第一层次 是主要考查导数的概念,求导的公式和求导法则;第二层次是导数的简单应用,包括 求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等;第三层次是综合考查,包括解决应 导数定义导数的几何意义 导函数 四则运算 求导法则 复合函数 求导法则 求简单函数的导数 导数的应用 导数的实际背景 判断函数 的单调性
3、求函数的 极大(小)值 求函数的 最大(小)值 基本求 导公式 知识就是力量 2 用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起, 设计综合题,通过将新课程内容和传统内容相结合,加强了能力考察力度,使试题具 有更广泛的实际意义,更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法, 这类问题用传统教材是无法解决的。 【例题探究】 例 1 (2003年烟台统考 )已知函数 f(x)=x 3+3ax2+3(a+2)x+1 既有极大值又有极小值, 则实数 a 的取值范围是。 【考查目的】 考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识和分析问题、解决问题的能力。 解:
4、f(x)=3x 2+6ax+3a+6,令 f(x)=0 ,则 x 2+2ax+a+2=0 又f(x)既有极大值又有极小值 f(x)=0 必有两解,即 =4a 2-4a-80 解得 a-1 或 a2。 探究: 本题通过求函数的导数,将函数问题转化为一元二次方程来探究,充分体现了函数与 方程相互转化的解题思想与解题策略。 【启迪迁移】 已知 f(x)=x 3+3ax2+3(a+2)x+1,试讨论函数 y=f(x)的单调性 提示: 按分 O , =O, -1 ,且 x0) 由题设 0a 时,( )0Fx,因此 F(x)在( ,)a上为增函数 . 从而,当 x=a 时,F(x)有极小值 F(a). (
5、 )0,F aba()0F b即0( )( )2 () 2 ab g ag bg. 设( )( )()ln2G xF xxa,则( )lnlnln2lnln() 2 ax G xxxax 当 x0 时,( )0G x,因此( )G x 在(0,+)上为减函数。 ( )0,( )0,G abaG b 即( )( )2 ()()ln2 2 ab g ag bgba,综上,原不等式得证。 【启迪迁移】 1证明:当 x0 时,有 3 sin 6 x xxx 2 (2004? 温州市一模 ? 21)已知数列 an各项均为正数, Sn为其前 n 项和,对于任 意的 nN*,都有 4Sn=(an+1) 2
6、(1)求数列 an的通项公式; (2)若 2 ntS n对于任意的 nN* 成立,求实数 t 的最大值。 分析:利用 Sn-Sn-1=an(n2)易得 an=2n-1,从而 Sn=n2则问(2)转化为 t 2 2 n n 恒成 立,故只需求出数列 2 2 nn n b的最小项,有以下求法: 法一:研究数列 bn的单调性。 法二 :数 列作 为 一 类特 殊的 函数 ,欲 求 2 2 n n 的 最 小 项 可 先研 究连 续 函数 2 2 (0) x yx x 的单调性,求导得 4 2( ln22) x x x y x ,易得 2 ln2 x为函数 2 2x y x 的极 知识就是力量 6 小
7、值也是最小值点,又 222 lnln2lnee ,所以 2 3 ln2 而 3 342 2 3 bb,故 3 8 9 tb (注:不能直接对 2 2 (*) n ynN n 求导,为什么?) 探究: 导数的引进为不等式的证明,甚至为研究数列的性质提供了新途径,充分地体现了数 列作为一类特殊函数其本质所在。 特别提示: 例 2、例 3、例 4 充分体现了导数作为工具分析和解决一些如函数性质、方程、不 等式、数列等问题的方法,这类问题用传统教材无法解决;此外,例4 还说明了一点:欲用导数, 得先构造函数。 例 5 已知双曲线:(0) m Cym x 与点 M(1,1) ,如图所示 . (1)求证:
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